江西赣州市2025-2026学年高二下学期期中练习数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西赣州市2025-2026学年高二下学期期中练习数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在等差数列中，，则（）A.4 B.5 C.6 D.10【答案】B【解析】因为，，所以，解得.2.若函数满足，，则（）A.3 B. C. D.12【答案】A【解析】，所以．3.已知直线与直线，若，则（）A.1或 B.或5 C.1 D.【答案】D【解析】因为，所以，解得或，当时，，，此时两直线重合，不符题意；当时，，，两直线平行，所以.4.设等比数列的前n项和为，若，则（）A. B. C.5 D.3【答案】C【解析】设等比数列公比为，首项，则，即得，故.5.若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的的系数为（）A.20 B. C. D.15【答案】B【解析】由二项式系数的对称性可知，当只有第4项的二项式系数最大时，共有7项，即，由可知，第项，当时，解得，则的系数为.6.一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设事件为“第一次取得二等品”，事件为“第二次取得一等品”，则事件为“第一次取得二等品，且第二次取得一等品”，，，所以．7.我国古代数学名著《九章算术》中有一算法它的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，①第二步：将数列①的各项均乘以同一个数，得到一个新数列，，，…，则当时，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，，…，，所以，.8.如果数列对任意的，，则称为“速增数列”．若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（）A.44 B.45 C.46 D.47【答案】A【解析】因为数列为“速增数列”，，，，且，所以对，，，所以，且，所以相加得ak-即1024>kk+12当时，kk+12=990当时，kk+12=1035故正整数k的最大值为二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分.）9.给出下列说法，其中正确的有（）A.两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近于1B.离散型随机变量X服从两点分布，且，则C.随机变量，若，则D.用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60【答案】BCD【解析】两个变量线性相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，故A错误；随机变量X服从两点分布，则，又，解得，故B正确；随机变量，则，所以，所以，故C正确；若四位数为偶数，则其个位数字为0，2，4.当个位数字为0时，四位数有个；当个位数字为2或4时，四位数共有个，则偶数的个数为，故D正确.10.下列选项正确的是（）A.已知等比数列的前n项和为，则B.已知等差数列的前n项和为，且，，则C.已知数列满足，，则D.已知数列的前n项和为，若，，则【答案】ACD【解析】等比数列前项满足：，，.由等比中项性质，得，解得，A正确；等差数列性质：成等差数列，即.代入，得，解得，B错误；递推式构造等比数列：，得是首项为，公比为的等比数列，因此，即，C正确；时，，结合条件，约去正项得，所以是首项，公差为的等差数列，得，即.时，，因此，D正确.11.已知，分别是双曲线的左、右焦点，A是双曲线C左支上一点，B为的中点，若，为坐标原点，则（）A.双曲线C的离心率为 B.C. D.点A到x轴的距离为【答案】BD【解析】设双曲线的焦距为，实轴长为，虚轴长为，则，所以，所以，所以.所以双曲线的离心率为.所以A错误；因为B为的中点，为的中点，所以为的中位线，所以，所以.所以B正确；因为，所以.所以，所以.所以.所以，所以，所以C错误.由C知，，且.设点A到x轴的距离为，则的面积为，所以，所以D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.函数在点处切线的斜率为_______．【答案】【解析】，则函数在点处切线的斜率.13.已知为数列的前n项积，若，则数列的前项和_______．【答案】【解析】由题意，为数列的前项积，故满足，，因此，且.已知，将代入得：.等式两边同乘得：，即当时，，结合，得，即，解得.综上，数列是首项，公差的等差数列.由等差数列通项公式得：..14.已知数列满足，，则的最大值为_______．【答案】【解析】解：由数列满足，当时，，而满足上式，所以，设，,当时，当时，，则最大，则．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.记等差数列的前n项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．解：（1）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，则，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知：，可得，则，且，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以.16.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月11日3月12日3月13日3月14日3月15日温差101113129发芽数y（颗）2325302616（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记这两天中发芽的种子数超过25颗（不包含25颗）的天数为随机变量，求的分布列与期望；（2）研究发现种子的发芽数与昼夜温差近似成线性关系，请你求出关于的线性回归方程．附：回归方程中，，，解：（1）3月11日至3月15日发芽的种子数超过25颗（不包含25颗）的天数为2天，随机变量的可能取值为，，所以随机变量的分布列为012则；（2）由列表可知，，，设回归方程为，，故所求方程为.17.在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和满足．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）设等差数列的公差为，且，因为，且，，成等比数列，所以，即，解得(舍)，所以；数列的前n项和满足①，所以当时，，当时，②，所以由①②得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）由（1）可得，所以③，④，由③④得，.18.如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点.（1）若为棱的中点，求证；（2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.解：（1）如图：取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以.又为正三角形，所以平面，所以平面又平面，所以（2）设中点为，连接，则，又侧面底面，侧面底面侧面，所以底面.又底面，所以.又，所以两两垂直，故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系.因为三棱台两底面间的距离为，即，又三角形为正三角形，且，则，设，则设平面的法向量为，则，可取，设直线与平面所成的角为，则.由所以，故或（因为，故舍去），此时与点重合，所以当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.19.已知数列满足，．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前n项和；（3）若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和．解：（1）数列满足，an+1=3设，则，有，所以