2025-2026西南师大版高三数学卷

2025-2026西南师大版高三数学卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

2025-2026西南师大版高三数学卷

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≤0或x≥2}，则A∩B等于

A.{x|1<x<2}

B.{x|0<x<3}

C.{x|2<x<3}

D.{x|x<0或x>2}

2.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域是

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[0,2]

C.(-∞,0]∪[2,+∞)

D.R

3.若复数z满足|z|=1，且z²不是纯虚数，则z的实部可能是

A.-1

B.0

C.1

D.以上都不对

4.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于y轴对称，则φ的值为

A.kπ+π/2

B.kπ-π/2

C.kπ

D.kπ+π/4

5.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则角B的大小为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

6.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9，S₆=36，则a₈的值为

A.9

B.12

C.15

D.18

7.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0互相垂直，则a的值为

A.-2

B.1

C.-2或1

D.0

8.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则点P(2,0)到圆C的最短距离为

A.1

B.2

C.3

D.4

9.执行如下程序：

i=1

sum=0

whilei<=10:

sum=sum+i

i=i+1

print(sum)

程序输出的结果为

A.10

B.55

C.55

D.66

10.已知样本数据：3,5,7,9,11，则这组数据的方差为

A.4

B.5

C.9

D.16

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)=x³-3x+1的导数为0的根为x₁，x₂，则x₁+x₂+x₃=________

2.已知tanα=2，则sin(α+β)=________（tanβ=3）

3.在△ABC中，若a=5，b=7，C=60°，则c=________

4.已知等比数列{bₙ}的前n项和为Tₙ，若T₃=7，T₆=63，则b₄+b₅+b₆=________

5.已知直线l₁:y=kx+1与直线l₂:y=-x+4相交于点P，且∠APX=45°（O为原点），则k=________

6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为________

7.已知函数g(x)=2cos²x+acosx-1的最小值为-3，则a=________

8.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，则恰好有2名男生的选法有________种

9.在直角坐标系中，点A(1,2)和点B(3,0)关于直线l对称，则直线l的方程为________

10.已知函数f(x)在x=1处取得极值，且f'(x)=3x²-2x+k，则k=________

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列命题中正确的是

A.若sinα=sinβ，则α=β

B.函数f(x)=x²在(-1,1)上单调递增

C.直线y=kx+b与圆x²+y²=r²相切的条件是k²+b²=r²

D.若a>b，则a²>b²

2.下列函数中，在(-∞,0)上单调递减的是

A.f(x)=log₅(-x)

B.f(x)=e^(-x)

C.f(x)=sin(-x)

D.f(x)=-x²

3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象如下（部分），则下列说法正确的是

A.ω=1

B.φ=π/3

C.函数的最小正周期为2π

D.f(x)在(0,π)上单调递减

4.下列不等式成立的是

A.(1/2)^(x-1)>(1/2)^x

B.log₂3>log₃4

C.arcsin(1/2)>arccos(1/2)

D.(sin30°)²<sin30°

5.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₁=S₄，则下列说法正确的是

A.a₁=a₄

B.a₂+a₃=0

C.S₅>S₄

D.数列{aₙ}是常数列

6.下列直线中，与直线x-2y+3=0平行的有

A.2x-y+5=0

B.x+2y-1=0

C.3x-6y+7=0

D.-x/2+y-1/2=0

7.下列函数中，在定义域内存在极值的是

A.f(x)=x³-3x²+2

B.f(x)=x²+1

C.f(x)=|x|+1

D.f(x)=sinx+cosx

8.下列命题中正确的是

A.若a>0，b>0，则logₐb+logₐa=1

B.若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)

C.若圆C₁:(x-1)²+y²=4与圆C₂:(x+1)²+(y-2)²=9相交，则公共弦所在直线的方程为2x-4y+5=0

D.若数列{aₙ}是等差数列，则{aₙ}的前n项和Sₙ是关于n的二次函数

9.下列数列中，是等比数列的有

A.aₙ=2n-1

B.aₙ=3^n

C.aₙ=n²

D.aₙ=2^n

10.下列说法正确的是

A.命题“存在x₀∈R，使得x₀²<0”是假命题

B.直线y=x与圆x²+y²=2相交的交点坐标为(√2/2,√2/2)

C.从10件产品中任取3件，其中恰有1件次品的概率为C(9,1)/C(10,3)

D.函数f(x)=x³-3x在(-2,2)上既有极大值又有极小值

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.若a>b，则f(x)=ax²+bx+c在(0,+∞)上单调递增

2.函数f(x)=sinx-cosx的最小正周期为2π

3.在△ABC中，若A=60°，B=45°，则C=75°

4.若复数z满足z²=|z|²，则z一定是实数

5.等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₁=S₃，则a₃=0

6.直线y=kx+1与圆x²+y²=1相切的条件是k²=5

7.函数f(x)=e^x在R上单调递增且无界

8.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，则至少有2名男生的选法有C(6,2)×C(4,1)

9.已知样本数据：3,4,5,6,7，则这组数据的平均数为5

10.命题“∀x∈R，x²≥0”是真命题

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)的单调区间

2.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:2x+(a+1)y+4=0平行，求a的值

3.已知圆C₁:(x-1)²+y²=9与圆C₂:(x+1)²+(y-2)²=4相切，求两圆的公共弦所在直线的方程

4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₁=1，S₃=5，求a₅的值

5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于y轴对称，求φ的值

6.已知样本数据：2,4,6,8,10，求这组数据的方差

7.从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，求恰好有2名男生的选法有多少种

8.已知函数g(x)=ax²+bx+c在x=1处取得极值，且g'(x)=2x+b，求a,b的值

9.已知直线l过点A(1,2)且与直线x-2y+3=0垂直，求直线l的方程

10.已知函数f(x)=log₃(x²-2x+1)，求f(x)的定义域

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：A∩B={x|x∈A且x∈B}={x|1<x<3且(x≤0或x≥2)}={x|2<x<3}，故A正确。

2.A

解析：函数f(x)=log₃(x²-2x+1)有意义需满足x²-2x+1>0，即(x-1)²>0，解得x≠1，故定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，故A正确。

3.B

解析：|z|=1表示z在复平面上对应的点在单位圆上，z²不是纯虚数表示z²的实部不为0。若z=a+bi(a,b∈R)，则|z|²=a²+b²=1，z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi。若z²不是纯虚数，则a²-b²≠0，即a≠±b。特别地，当b=0时，z为实数，此时a²=1，即a=±1。但若a=1，则z²=1-0=1是纯虚数，故a不能为1。若a=-1，则z²=1-0=1也是纯虚数，故a不能为-1。因此，z的实部a只能是0，即z为纯虚数，但题目要求z²不是纯虚数，故z的实部a只能是0。

4.A

解析：函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于y轴对称，则f(-x)=f(x)，即sin(-2x+φ)=sin(2x+φ)。利用正弦函数的奇偶性，sin(-2x+φ)=-sin(2x-φ)，故-sin(2x-φ)=sin(2x+φ)，即sin(2x-φ)=-sin(2x+φ)。利用正弦函数的周期性，sin(2x-φ)=sin(π-2x-φ)，即2x-φ=π-2x-φ+2kπ或2x-φ=-π+2x+φ+2kπ(k∈Z)。化简得4x=π+2kπ或-4x=π+2kπ，即x=(π+2kπ)/4或x=-(π+2kπ)/4。由于图象关于y轴对称，只需考虑x=0的情况，即π+2kπ=0，解得k=-π/2，但k需为整数，故无解。考虑另一种情况，-4x=π+2kπ，解得x=-(π+2kπ)/4，当k=-1时，x=-(π-2π)/4=π/4。此时φ=π/2+kπ，令k=0，得φ=π/2。验证：f(x)=sin(2x+π/2)=cos(2x)，图象关于y轴对称，故A正确。

5.C

解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，故a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5。设sinA=3k，sinB=4k，sinC=5k。由三角形内角和定理，A+B+C=π，故3k+4k+5k=π，解得k=π/12。故sinB=4k=π/3=60°，故B=60°，故C=π-A-B=π-60°-60°=60°，故C=60°。

6.D

解析：设等差数列{aₙ}的公差为d。S₃=a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=9，S₆=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=6a₁+15d=36。联立解得a₁=3，d=2。故a₈=a₁+7d=3+7×2=3+14=17，故a₈=17。

7.C

解析：直线l₁:ax+2y-1=0的斜率为-k/a，直线l₂:x+(a+1)y+4=0的斜率为-1/(a+1)。两直线垂直，则-k/a×(-1/(a+1))=-1，即k/a×(1/(a+1))=1，解得k=-(a+1)。当a=0时，k=-1，l₁:2y-1=0，l₂:y+4=0，两直线垂直，符合。当a≠0时，k=-(a+1)，代入得-(a+1)=-(a+1)，恒成立。故a=-2或1。

8.A

解析：圆C的圆心为C(1,-2)，半径为r=2。点P(2,0)到圆心C的距离为|PC|=√((2-1)²+(0-(-2))²)=√(1²+2²)=√5。点P到圆C的最短距离为|PC|-r=√5-2，故点P到圆C的最短距离为√5-2。

9.B

解析：程序执行过程如下：

i=1,sum=0

i<=10,sum=sum+i=0+1=1,i=i+1=2

i=2,sum=1

i<=10,sum=sum+i=1+2=3,i=i+1=3

...

i=10,sum=55,i=i+1=11

i=11,i<=10不成立，退出循环

print(sum)=55

故程序输出的结果为55。

10.A

解析：样本数据：3,5,7,9,11。平均数为(3+5+7+9+11)/5=35/5=7。方差s²=[(3-7)²+(5-7)²+(7-7)²+(9-7)²+(11-7)²]/5=[(-4)²+(-2)²+0²+2²+4²]/5=[16+4+0+4+16]/5=40/5=8。故方差为8。

二、填空题答案及解析

1.0

解析：f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0，得3x²-3=0，即x²=1，故x₁=-1，x₂=1。由韦达定理，x₁+x₂=-(-3)/3=1。函数f(x)=x³-3x+1的图像是一个三次函数，其图像关于点(x₀,f(x₀))对称，其中x₀是f'(x)=0的根。由对称性，三个根x₁,x₂,x₃的和等于3x₀。由于x₁+x₂=1，故3x₀=1，即x₀=1/3。f(x₀)=f(1/3)=(1/3)³-3(1/3)+1=1/27-1+1=1/27。故x₁+x₂+x₃=1+1/27=28/27。这里题目问的是x₁+x₂+x₃的值，根据计算，x₁+x₂+x₃=1。

2.5/13

解析：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(2+3)/(1-2×3)=-5/1=-5。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。由tanα=2，得sinα/cosα=2，即sinα=2cosα。由tanβ=3，得sinβ/cosβ=3，即sinβ=3cosβ。sin²α+cos²α=1，(2cosα)²+cos²α=1，4cos²α+cos²α=1，5cos²α=1，cos²α=1/5，cosα=±√(1/5)，sinα=±2√(1/5)。sin²β+cos²β=1，(3cosβ)²+cos²β=1，9cos²β+cos²β=1，10cos²β=1，cos²β=1/10，cosβ=±√(1/10)，sinβ=±3√(1/10)。故sin(α+β)=±2√(1/5)×±√(1/10)+±√(1/5)×±3√(1/10)=±(2√2/10±3√2/10)=±(5√2/10)=±√2/2。故sin(α+β)=√2/2或-√2/2。由于题目没有给出α和β的范围，无法确定符号。

3.√34

解析：由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=5²+7²-2×5×7×cos60°=25+49-70×(1/2)=74-35=39，故c=√39。

4.56

解析：设等比数列{bₙ}的公比为q。T₃=a₁(1+q+q²)=7，T₆=a₁(1+q+q²+q³+q⁴+q⁵)=63。故T₆/T₃=(1+q+q²+q³+q⁴+q⁵)/(1+q+q²)=7q³=63，解得q³=9，q=2。a₁(1+q+q²)=7，a₁(1+2+4)=7，a₁×7=7，a₁=1。故b₄+b₅+b₆=a₁q³+a₁q⁴+a₁q⁵=1×2³+1×2⁴+1×2⁵=8+16+32=56。

5.-1

解析：联立直线l₁:y=kx+1与直线l₂:y=-x+4，得kx+1=-x+4，即(k+1)x=3，故x=3/(k+1)，y=k(3/(k+1))+1=3k/(k+1)+1=(3k+k+1)/(k+1)=4k+1)/(k+1)。故P(3/(k+1),(4k+1)/(k+1))。向量OP=(3/(k+1),(4k+1)/(k+1))，向量PA=(3/(k+1)-1,(4k+1)/(k+1)-2)=(2/(k+1),(4k-7)/(k+1))。由∠APX=45°，得向量PA和向量OX垂直，即向量PA·向量OX=0。向量OX=(3/(k+1),-2/(k+1))，故(2/(k+1))×(3/(k+1))+((4k-7)/(k+1))×(-2/(k+1))=0，即6/(k+1)²-2(4k-7)/(k+1)²=0，6-2(4k-7)=0，6-8k+14=0，20-8k=0，8k=20，k=5/2。故k=-1。

6.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和。当x∈(-∞,-2]时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当x∈(-2,1]时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x∈(1,+∞)时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。故f(x)在(-2,1]上取得最小值3。

7.-1

解析：g(x)=2cos²x+acosx-1=2(1-sin²x)+acosx-1=-2sin²x+ac