不等式强基计划专项测试题（含详细答案解析）

不等式强基计划专项测试题（含详细答案解析）适用范围：高中强基招生、自主招生、高考培优考试时长：90分钟满分：100分核心考点：均值不等式、绝对值不等式、柯西不等式、分式不等式、多元不等式最值、不等式证明一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.已知正实数a,b满足a+2b=1，则1aA.8B.9C.10D.122.不等式|x−1|+|x+2|<5的解集为（）A.(−3,2)B.(−2,3)C.(−∞,−3)∪(2,+3.已知x>0，则函数y=x+4A.2B.3C.4D.54.若实数a,b满足a2+bA.1B.2C.3D.45.已知x,y>0，且2x+y=xy，则x+2y的最小值为（）A.5B.7C.8D.96.由柯西不等式可知，函数y=2x−1A.2B.6C.23二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）7.已知a>1,b>1，则a28.不等式x−1x+29.若正实数x,y,z满足x+y+z=1，则xy+yz+zx的最大值为________。10.已知x∈R，则|x−2|+|x−4|三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答需写出详细步骤）11.（10分）已知正实数a,b满足2a+b=ab，求a+b的最小值。12.（12分）解绝对值不等式：|2x−1|−|x+3|>0。13.（14分）已知a,b,c为正实数，求证：ba14.（14分）已知x,y>0，且x+2y=2，求x2详细答案与解析一、单项选择题解析1.答案：B解析：已知a+2b=1，a,b>0，采用乘1法变形：1由均值不等式，2ab当且仅当2ab=2ba即a=b时取等，结合故最小值为5+4=9。2.答案：A解析：采用零点分段法，零点为x=−2、①x≥1时，不等式化为x−1+x+2<5，即2x+1<5，解得x<2，故1≤x<2；②−2<x<1时，不等式化为1−x+x+2<5，即3<5，恒成立，故−2<x<1；③x≤−2时，不等式化为1−x−x−2<5，即−2x−1<5，解得x>−3，故−3<x≤−2；综上，解集为(−3,2)。3.答案：B解析：x>0，将式子拆分适配三元均值不等式：y=x+由三元均值不等式a+b+c≥33x当且仅当x2=44.答案：B解析：展开式子(a−b)已知a2+b由均值不等式ab≤a2+b2此时(a−b)5.答案：D解析：由2x+y=xy，两边同除xy得2y则x+2y=(x+2y)由均值不等式，2xy+2y故最小值为5+4=9。6.答案：B解析：由柯西不等式(ay=y2≤(1+1)(2x−1+5−2x)=2×4=6当且仅当2x−1=5−2x即x=3二、填空题解析7.答案：8解析：令m=a−1>0,n=b−1>0，则a=m+1,b=n+1，原式==由均值不等式，m2n+n≥2m，n整体化简可得当a=b=2时，原式取最小值8。(−∞解析：分式不等式x−1x+2≥0等价于解得x≥1或x<−2。13解析：由恒等式(x+y+z)已知x+y+z=1，则1=x当且仅当x=y=z=13时取等，故10.答案：2解析：绝对值几何意义：数轴上点x到2和4的距离之和，当2≤x≤4时，距离和最小，最小值为4−2=2。三、解答题解析11.解析（10分）由2a+b=ab，a,b>0，两边同除ab得：2则a+b=(a+b)由基本不等式：2a当且仅当2ab=b代入2b+1故a+b的最小值为3+2212.解析（12分）解：原不等式|2x−1|>|x+3|，两边平方（两边均为非负数，不等号方向不变）：(2x−1展开整理：43因式分解：(3x+2)(x−4)>0解得：x<−23故不等式解集为−∞13.解析（14分）证明：已知a,b,c为正实数，则ba由三元基本不等式：对任意正实数x,y,z，有x+y+z≥33令x=b则b当且仅当ba=c综上，ba14.解析（14分）解：由x+2y=2得x=2−2y，因x,y>0，故2−2y>0，得0<y<1，将x=2−2y代入目标式：x该式为关于y的二次函数，开口向上，对称轴为y=1，定义域为y∈(0,1)，函数在定义域内单调递减，当y趋近于1时取值最小，代入y=1得x=0（舍去），优化解法：配方得3(y−1)在0<y<1范围内，当y→1时，式子最小值无限趋近于1，结合强基常规解法，采用均值不等式可得：当x=2x2试卷点评与答题总结1.整套试卷侧重不等式灵活变形，规避基础死板题型，贴合