2026小升初数学：一次方程组

专题14一次方程组

阅读与思考

一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消元

将一次方程组转化为一元一次方程来解，常用的消元方法有代入法和加减法.

解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等），需观察方程组的系数特点，从整体

上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧.

方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法.

对于含有字母系数的二元一次方程组，总可以化为的形式，方程组的解由

a2x+b2y=c2

的取值范围确定，当生,々,仇,。2，62，。2的取值范围未给出时，须讨论解的情况，基本

思路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论.

例题与求解

T—V=2

【例1】若加使方程组《'的解X,y的和为6,则〃?=_______________.

x+2y=m

（湖北黄冈市竞赛试题）

解题思路：用含小的式子分别表示x,y,利用x+y=6的关系式，求解切.

［例2］若4x—3y—6z=0,x+2y—7z=0（xyz工0）.则代数式一:十？--土亏的值等于（）

“2x12-3y2-10z2

119

A.一一B.——C.-15D.-13

22

（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：把z当作常数，解关于x,y的方程组.

【例3】解卜.列方程组.

xyz

⑴46

2x+3y-4z=-3

（“缙云杯”邀请赛试题）

11995x4-1997^=5989

[1997x+1995>'=7987

（北京市竞赛试题）

X]+工2=/+*3=+*4=…=再997+“1998="1998+再999

(3)

X)+x2+•••+A1998+$99g=1999

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

解题思路：根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整

体叠加.

UX+2V=1+6Z

【例4】已知关于x,y的方程组《"分别求出〃为何值，方程组的解为：

（1）有唯一一组解；（2）无解：（3）有无穷多组解.

（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况讨论.

■Nwr.-r•五,,bcdef.acdef八abdeT，/ubcef1

【例5】已知正数a,h,c,d,e,/满足———=4,——-=9,-----=16,———=-,

abcd4

abcdf1abcde1..,八狂

-----,------=一.求(Q+b+e)-(zb+d+/)的1Vt值.

e9/16

(uCADIOn武汉市竞赛试题)

解题思路：利用叠乘法求出口〃欧的值.

【例6】已知关于x,y的二元一次方程（a—3）x+（2〃-5）y+6—=（）,当。每取一个值时就有

一个方程，这些方程有一个公共解.

（1）求出这个公共解.

（2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（。-3）x+（2〃-5）歹+6—=0的解.

（2013年“实中杯”数学竞赛试题）

解题思路：分别令。取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解.

能力训练

A级

1.若3/»+5”+9+4/"2，1=2是关于->,的二元一次方程，则%的值等于.

n

（“希望杯”邀请赛试题）

23x+17y=63

2.方程组<的解为.

17x+23^=57

（辽宁省中考试题）

ax+5y=\5Q由于甲看错了方程①中的。得到方程组的解为x=-3,y=一

3.已知方程组〈

e

1：乙看错了方程②中的人得到方程组的解为x=5,y=4.若按正确的a,力计算，则原方程组的解

为•

（四川省联赛试题）

4.已知关于x的方程a（x-3）+/?（3x+l）=5（x+l）有无穷多个解，贝U“=,b=.

（“希望杯”邀请赛试题）

5.已知号+]-4）2+（：-5+2）2=0,则有（）.

A.x=2,y=3R.x=-6,y=3

C.x=3,y~6O.x——3,y=6

3x+2y=6

6.如果方程组4”的解也是方程4x+y+2a=0的解，那么a的值是（）.

3x-2y=2

9191

A.——B.------C.-2D.2

36

。+26+3c=0ab+be+ca/十“,

7.设非零实数。，b,c满足4,则nil—~~r的值为().

2〃+36+4c=0a~+b~+c~

1

A.一一B.0cD.1

24

（2013年全国初中数学竞赛试题）

2a-3b=\3,a=8.32(—川3的

8.若方程组<的解为t则方程组

3a+5b=30.96=1.23(x+2)+5(y—l)=30.9

x=8.3x=10.3x=6.3x=10.3

A.B.C.D.

y=1.2y=2.2y=2.2y=0.2

（山东省枣庄市中考试题）

2x+3=2k+1

9.已知关于x,>•的方程组，J"的解X,y的值的和为6,求k的值.

3x-2y=4k+3

（上海市竞赛试题）

10.解方程组.

361x+463尸一102

(1)

463x+361^=102

（云南省昆明市竞赛试题）

-U上=1

x-16y-3

(2)

11

-------------1-------------

2x-22y-l

（浙江省竞赛试题）

|国+47

(3)

2\x\-3\y\=-\

11.若M〜&满足下列方程组

2%1+x2+xi+x4+x5=6

X1+2X2+X3+X4+X5=12

-x,+x2+2xy+x4+J5=24,求3X4+2X5的值.

x

$+%+3+2X4+/=48

$+三+/+乙+2工5=96

（美国数学邀请赛试题）

B级

1.已知对任意有理数mb,关于x,y的二元一次方程（。一6）x—m+b）y=。+力有一组公共解,

则公共解为.

（江苏省竞赛试题）

（2x+y+3z=23,

2.设■{，则3x—2y+z=_________.

x+4y+5z=36

（2013年全国初中数学竞赛试题）

6x+mv=18

3.若关于x,歹的方程组7有自然数解，则整数〃?可能的值是___________.

3x-y=0

（2013年浙江省湖州市竞赛试题）

4.已知方程组（a-Dx+'=5,当。_______

b时，方程组有唯一一组解；当

x+y=b

「，b时，方程组无解；当4,b时，方程组有无数组解.

（“汉江杯”竞赛试题）

5.表示一种运算符号，其意义是aAb=2a-b,如果工△（IA3）=2,则工=（）.

13

A.IB.-C.-D.2

22

（江苏省竞赛试题）

6.已知'=」_=工，则三冬的值为（）.

xy+zz+x2y+z

33I

A.IB.-C.——D.-

224

（重庆市克寡试翘）

ax-2by=23ax-5by=9

7.已知关于x,y的两个方程组，和《具有相同的解，那么小匕的值是

2x-y=73x-y=11

).

a=3a=2a=-2a=-3

A.B.C.D.

b=2b=3b=-3b=-2

8.若a,c,d是整数,力是正整数,且满足〃+6=c，b-\-c=d,c+d=a,则。+b+c+d的最大值

是().

A.-1B.-5C.0D.1

（全国初中数学联赛试题）

9.解方程组

k+N=i

(1)

卜|+2M=3

（江苏省竞赛试题）

ab=1