空间向量的应用 作业-人教A版高一数学选择性必修第一册

・4空间向量的应用

知识预习

一、用空间向量研究直线、平面的位置关系

I.空间直线的向量表示式：取定空间中的任意一点。，可以得到点户在直

线/上的充要条件是存在实数，，使。户=函+/①，将旃=〃代人①式，得

OP=OA+tAB②，①式和②式都称为空间宜线的向量表示式.由此可知，空间

任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

2.空间平面的向量表示式：取定空间任意一点0,可以得到，空间一点尸

位于平面内的充要条件是存在实数-使9月+y而③我们把

③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点

及两个不共线向量唯一确定.

3.空间中直线、平面的平行：

①直线与直线平行：设叫，4分别是直线4，4的方向向量，由方向向量的定义

可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条

直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以

使得％=2%.

②直线与平面平行：设〃是直线/的方向向量，〃是平面a的法向量，/­

则/〃au>〃_L〃o〃♦〃=。.

③平面与平面平行：设4，勺分别是平面a,乃的法向量，则

aH00、//n2<=>32eR,使得阳=An2.

4.空间中直线、平面的垂直：

①直线与直线垂直：设直线小〃的方向向量分别为％,工,则

（。4_Lu2。I4•%=0.

②直线与平面垂直：直线/的方向向量为〃，平面a的法向量为小则

③平而与平面垂直：设平面a,6的法向量分别为％,叫，则

a10o'±n2<=>Wj-n,=0.

二、用空间向量研究距离、夹角问题

1.点到直线的距离：如图，向量Q在直线/上的投影向量为ZC，设

AP=a,则向量A户在直线/上的投影向量彳C=在RlZXAPQ中，由勾股定

理，得=击2-（。・〃）2.

2.点到平面的距离：如图，已知平面a的法向量为〃，A是平面a内的定

点，尸是平面a外一点.过点尸作平面a的垂线/,交平面a于点Q,则〃是直

线I的方向向量，且点P到平面a的距离就是Q在直线/上的投影向量行的长

度.因此P。=入口匕=白

|wl\n\

\APn\

3.异面直线所成的角：若异面直线4,4所成的角为。，其方向向量分别是

LlI,,.u-VI«•VI

”,V,贝Icose=|cos〈〃，w|=「一；

|M||v|

4.直线与平面所成的角：直线A8与平面a相交于点8,设直线A3与平面

a所成的角为夕，直线的方向向量为〃，平面。的法向量为〃，则

sin0=|cos<n,〃〉|=""=".

5.二面角：若平面a,〃的法向量分别是“和%,则平面a与平面尸的夹角

即为向量与和%的夹隹或其补角.设平面。与平面尸的夹角为。，则

COS0=|COS〈〃],%)|=%"I%•%I

I/II电II%II%I

预习小练

1.若4T,0,2),4(1,4,10)在直线/上，则直线/的一个方向向量为()

A.(1,2,4)B,(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)

2.如图所示，在长方体A8CQ-A4G〃中，AB=BC=2,AAl=^2fE,尸分别是

面ABCn，面BCG用的中心，则E,/两点间的距离为()

3.如图，在棱长为1的正方体A8CD-AqGR中，石为CG的中点，则直线AB

与平面8QE的夹角为()

4.如图，己知石，尸分别是棱长为1的正方体/仍CO-A4GQ的棱BC,CG的中

点，则截面.AEF。与底面ABCD所成的锐二面角的正弦值为()

B

A.-D.-------cD

334T

5.如图，点P为矩形48CD所在平面外一点，以_!_平面ABCRQ为线段”的中

点，AB=3,BC=4,PA=2,则点P到平面仅2。的距离为（）

6.如图，在直三棱柱ABC-A8C中，A4,=AC=AB=2,BC=2叵,Q为

的中点，£为AQ的中点，尸为8G的中点，则异面直线BE与A/所成角

的余弦值为（）

7.在棱长为2的正方体ABCO-AqCQ中，M,N分别是AR，CR的中点，则直

线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为.

8.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为

鳖喘.已知在鳖嚅夕一ABC中，平面ABC,E4===2.M为PC的

中点，则点P到平面MAB的距离为.

9.已知点E,F分别在壬方体ABCO-ABGQ的棱阳，CG上，且B1E=2EB,

CF=2FCl,则平面A£尸与平面ABC所成角的正切值为.

10.如图，在多面体A3cOEF中，四边形BCEF是矩形，AD〃BC,BC工CD,

BC=CD=1,AD=FA=FB=2,CM=2ME.

(1)证明：FAA.CD;

(2)求直线AF与平面MBD所成角的正弦值.

答案

1.答案：A

LILIUULU1

解析：由已知得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与AB

共线，故选A.

2.答案：C

解析：以点A为原点，A8所在直线为“轴，4。所在直线为），轴，朋所在直

线为z轴建立空间直角坐标系，则点夜），F2d,,所以

2

LU.U

|£F|=1(2-1)2+(1-1)2+-V2二逅,故选C.

2

3.答案:B

uiummUULU

解析：以点D为原点，DA.OC.OR分别为x轴、＞轴、z轴的正方向建立空间

UIHin.uin

/.™=(I,1,O),DE=(),1引'

UUU

48=(0」,一1).

UUDx+y=O,

itDB=0.日口

设平面BDE的一个法向量〃=y,z）.则,UUU即，1令x=1,则

n-DE=0,y+—z=0.

2

IILIU

3=7,z=2,.•.平面BDE的一个法向量为〃=(1,T,2).QBA=(O,-1J),

嚣加忌邛.又Q（跋加［。孙...他

四，.•.直线4出与平面BQE

6

的夹角为色.故选氏

3

4.答案:C

解析：以。为坐标原点，以DA,DC,DD、所在直线分别为x轴、）轴、z轴

建立空间直角坐标系，如图所示，

ITT-n-x+z=0

W_,=,即x，

{n-AE=0--+y=0

取),=1,则〃=(2,1,2)为平面AEFD.的一个法向量.又平面ABCD的一个法向量为

2

”=(0,0,1),・・・cos〈〃,〃〉=—,.\sin(w,u)=——.

33

5.答案：B

解析：如图，以4为原点，分别以AAAQMP所在直线为汇轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系,则8(3。0),D(0.4,0),P(0,0,2),Q0,0.1),

ULU1UUUULU

QB=(3,0,-1),«D=(-3,4,0),QP=(0,0,1).

lima

设平面BQD的一个法向量为〃=(x,y,z),则「瞿°,即《八+4〉。，

〃Q4=0,[3X-Z=Q.

令x=4,贝ljz=12,y=3,「.〃=(4,312).

LllIU

.•.点P到平面8QD的距离小”龙=上.

I〃l13

6.答案：B

解析：由题可知，在直三棱柱4BC-ABC中，AB,AC,A4t两两垂直.以A

为坐标原点，AB,AC,A4,所在直线分别为工轴y轴，z轴建立空间直角坐

标系，如图所示.

可得A(0,0,0),8(2,0,0),C,(0,2,2),0(1,0,2),£[1,0,1

"=(1,1/)，用=悖0,一1)

3

__lx-+lxO+lx(-l)屈

cos<AF,EB>=——-----.---=---,

,如39

故选B.

7.答案:现

3

解析：建立如图所示的空间直角坐标系,

则a0,0.0)，A(0,0,2),M(l,0,2),且(0,1,1),所以MN=(-1』,-1),平面ABCD的一个法

UULU

uuir/iiuimMN-DD、号设直线MN与平面

向量为。A=(0,0,2)所以cos〈MM(Q〃=-tititr~~tttitir

|MN|DR

ARC。所成的角为。,贝hine=也，J?fWcos6>=—.

33

8.答案：V2

解析：易知PALBC,AB1BC,故以5为坐标原点，BA,所

在直线分别为工轴，y轴，过点8且与平面A8C垂直的直线为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，

则5(0,0,0),A(2,0,0),尸(2,0,2),C(0,2,0),由M为尸C的中点可得

则丽而=(2,0,0),

设〃=(;v,y,z)为平面的一个法向量，

〃.丽=0,2x=0,

则即4

〃•丽=0,x+y+z=0,

令z=—1,则y=l,所以〃=(0,1,-1),所以点尸到平面M/W的距离

1〃1

9.答案：也

3

解析：如图，以点。为坐标原点，OA,DC,。口所在直线分别为x轴，)，轴,

z轴，建立空间直角坐标系Dryz,

设D4=l,由已知条件得D(0,0,0),A(l,Q0),4I[[)，»D,(0,0,1),则

uun(i\umn(,、uuuu

AE=(O,l引,AF=l-l,l,jl,D,D=(0,0,-1).

设平面A石厂的法向量为〃=(x,)，,z),

平面AER与平面A4C所成角为0,

1八

uuny+—z=0,

it-AE=0,Zfc.3

由,uinn得

2

n-AF=0y-x+y-I--z=0,

令y=l,则z=-3,x=-l>

所以〃二(一1,1,一3),

易得平面ABC的一个法向量加=崩=(0,0,-1),

贝Ucos0=|cos〈小in)|=~~~，

又。£[0,兀],所以sin。=立所以tan®=巫.

113

10.答案：(1)证明过程见解析.

(2)正弦值为*.

解析：(1)如图，取AQ的中点。，连接。8,OF,

则。4=OD=8C=CD=1.

因为BC〃AD,BC1CD,所以8_LAO,

所以四边形。BC。是正方形，OBLBC.

因为四边形BCEF是矩形，所以入

因为OBcBF=B,

所以3C_L平面OBR又。产u平面。BF,所以a?_LO「，所以AD_LO「.

因为FA-FB,OA-OB,OF-OF,所以尸;笈尸.

因为04_10歹，所以OB上OF,所以CD_L".

又CDJ.AD,OFcAD=O,所以C£>_L平面AOE凡

又A/u平面AQEE所以C£>_LA凡

(2)以。为坐标原点，OA,OB,。尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，

则4(