2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中测试卷（含答案）

-2027学年北师大版九年级数学上学期期中测试卷【满分：120分，时间：100分钟】一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法中，正确的是()A.平行四边形的对角线互相垂直 B.菱形的对角线相等C.矩形的对角线互相垂直 D.正方形的对角线互相垂直且相等2.关于x的一元二次方程的根的情况是()A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根3.下列各组中的四条线段成比例的是()A. B.C. D.4.如图，菱形的对角线，相交于点O，于点H，连接，若，菱形的面积为，则的长为()（4题）（5题）A.3 B.4 C.5 D.65.如图,E是的边延长线上一点,连接,交于点F,连接,,则等于()A. B. C. D.6.若,是关于x的一元二次方程的两个根,,则b的值为()A.-3 B.3 C.-5 D.57.如图，在中，，高，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为()（7题）A.15 B.20 C.25 D.308.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,书中有一个关于门和竹竿的问题,简译为：今有一扇门,不知门的高和宽.另有一竹竿,也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺,竹竿竖着放时比门的高长2尺,竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等,求门的对角线长.若设门的对角线长为x尺,则可列方程为()A. B.C. D.9.如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则的最小值是()（9题）（10题）A.2 B. C.1.5 D.10.如图，在方形ABCD中，，E是CD的中点，将沿BE翻折，得到，连接DF，则DF的长度是()A. B. C. D.二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在题中横线上）11.已知关于x的一元二次方程的一个根为3,则方程的另一个根是______.12.如图,在矩形中,,,点P为边上任意一点,过点P作,,垂足分别为E、F,则____________.13.如图，在中，CD，BE是的两条中线，CD交BE于点F，则的值为__________.（12题）（13题）14.如图,菱形的边长为4,,M为的中点,点N在上.若N是上动点,则的最小值为_________.（14题）（15题）15.如图，在中，，，点E是AB的中点，矩形BCDE的边DE与AC交于点F，连接BD.点G是AF的中点，点H是BD的中点，连接GH，则线段GH的长为______________.三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）解下列方程：(1)；(2).17.（8分）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F.（1）求证：；（2）若，，求CF的长.18.（9分）“金皇后”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地2024年种植64亩，到2026年的种植面积达到100亩.（1）求该基地这两年“金皇后”种植面积的平均增长率.（2）某超市调查发现，当“金皇后”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“金皇后”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元.若使销售“金皇后”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？19.（10分）已知关于的一元二次方程.(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于0,求k的取值范围.20.（8分）如图,在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为,,.(1)以原点O为位似中心,在第一象限内画出的位似图形,使与的位似比为；(2)求的长.21.（10分）如图,四边形是正方形,点G为边上一点,连接并延长,交的延长线于点F,连接交于点E,连接.(1)求证：；(2)求证：；(3)已知,求.22.（10分）阅读材料：角平分线分线段成比例定理：如图1,在中,平分,则.下面是这个定理的部分证明过程：证明：如图2,过点C作,交的延长线于点E.……解决问题：(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余过程；(2)如图3,在中,是角平分线,,,,求的长.23.（12分）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N.

【观察猜想】

(1)线段DE与AM之间的数量关系是____________，位置关系是_________；

【探究证明】

(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由.

答案以及解析一、选择题：1.答案：D解析：A、平行四边形的对角线互相平分，此选项错误，不合题意；B、菱形的对角线互相垂直，此选项错误，不合题意；C、矩形的对角线相等，此选项错误，不合题意；D、正方形的对角线一定互相垂直且相等，此选项正确，符合题意.故选D.2.答案：A解析：∵,∴,所以原方程有两个不相等的实数根,故选：A.3.答案：C解析：把各选项中的数值分别按照从小到大的顺序排列,若最小乘最大等于中间两项之积,则成比例;反之,则不成比例选项A,B,D中不成比例,选项C中,,符合题意.4.答案：C解析：四边形ABCD是菱形，，.，..，..故选：C.5.答案：B解析：是的边延长线上一点,,,,,,,,,,,故选：B.6.答案：A解析：由题意得：,,∵,∴,∴,故选：A.7.答案：B解析：设正方形EFGH的边长为x，则.四边形EFGH是正方形，，，.是的高，，四边形EHDN是矩形，，，.，（相似三角形对应高的比等于相似比）.，，，，解得，.故选B.8.答案：C解析：设门的对角线长为x尺,则可列方程为：故选：C.9.答案：A解析：如图，取AB是中点T，连接PT，FT.

四边形ABCD是菱形，

，，

，，

，，

四边形ADFT是平行四边形，

，

四边形ABCD是菱形，，，

E，T关于AC对称，

，

，

，

，

的最小值为2.故选：A.10.答案：D解析：如图，连接CF，交BE于H，在正方形ABCD中，，E是CD的中点，，，将沿BE翻折，得到，，，，，，，故选D.二、填空题：11.答案：2解析：关于一元二次方程的一个根为3,设另一个根为a,,解得,故答案为：2.12.答案：解析：∵矩形中,,,∴,∴,,连接,根据矩形的性质,得,,解得,故答案为：.13.答案：解析：，是的两条中线，是的中位线，，，，.14.答案：解析：菱形的边长为4,,,,是等边三角形,点关于的对称点为B点,连接交于点N,如图,∴此时最小,∵M为的中点,,,.故答案为：.15.答案：解析：连接EC，EG.点H是BD的中点，四边形BCDE是矩形，EC与BD的交点为点H，且点H是EC的中点.，，，又，点G为AF的中点，，是直角三角形，又点H是EC的中点，，.三、解答题16.答案：(1)(2),解析：(1),,解得：.(2),,或,解得：,.17.答案：（1）证明见解析（2）CF的长为8解析：（1）证明：四边形ABCD是矩形，，，E是AB中点，，，；（2）解：四边形ABCD是矩形，，，，，即CF的长为8.18.答案：（1）该基地这两年“金皇后”种植面积的平均增长率为25%（2）售价应上涨6元解析：（1）设该基地这两年“金皇后”种植面积的平均增长率为x，依题意，得，解得：，（不合题意，舍去）.答：该基地这两年“金皇后”种植面积的平均增长率为25%.（2）设售价应上涨y元，则每天可售出千克，依题意，得，整理，得，解得，，该水果售价不能超过15元，，，不符合题意舍去，符合题意.答：售价应上涨6元.19.答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)证明：关于一元二次方程,,,,,此方程总有两个实数根；(2),,解得或,此方程恰有一个根小于0,,解得.20.答案：(1)图见解析(2)解析：(1)如图所示：(2)由图可知：,,∴.21.答案：(1)证明见解析(2)证明见解析(3)解析：(1)证明：四边形是正方形,,,在和中,()；(2)证明：四边形是正方形,,,由(1)得：,,,,；(3)证明：四边形是正方形,,,,设,则有,,,,,,；故.22.答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)证明：∵,∴,,.∵平分,∴,∴,∴,∴.(2)∵是角平分线,∴.∵,,,∴,解得,经检验符合题意.故的长为.23.答案：(1)四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，

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