广东省佛山市南海区狮山镇英才学校2026-2027学年九年级（上）阶段性学情自测数学试卷（一）(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省佛山市南海区狮山镇英才学校九年级（上）阶段性学情自测数学试卷（一）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一元二次方程2x2-x+3=0的一次项系数、常数项分别是（）A.2，-3 B.2，3 C.1，-3 D.-1，32.如图，下列条件中，能使▱ABCD成为菱形的是（）A.AB=CD

B.AD=BC

C.AB=BC

D.AC=BD3.已知关于x的方程（k-3）x|k|-1-3x+4=0是一元二次方程，则k的值应为（）A.±3 B.3 C.-3 D.不能确定4.用配方法解方程x2+6x+1=0时，其中变形正确的是（）A.（x-3）2=10 B.（x+3）2=10 C.（x-3）2=8 D.（x+3）2=85.下列方程无实数根的是（）A.x2+6x=0 B.2x2+4x+1=0 C.x2-3x+5=0 D.（x-2）2=36.已知m,n是一元二次方程x2+x-2021=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）A.2020 B.2021 C.-2021 D.-17.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x,则由题意得方程为（）A.200（1+x）2=1000 B.200+200（1+x）+200（1+x）2=1000

C.200+200×3x=1000 D.200+200×2x=10008.下列四条线段能成比例线段的是（）A.1，1，2，3 B.1，2，3，4 C.2，2，3，3 D.2，3，4，59.如图，已知矩形ABCD的对角线长为10cm,E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长等于（）A.10cm

B.15cm

C.20cm

D.30cm10.如图，将面积为30的矩形ABCD放在平面直角坐标系中，若顶点B、D的坐标分别为（0，-1）、（0，9），则顶点C的坐标为（）A.（3，8）

B.（4，8）

C.（3，7）

D.（4，7）

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.根据如表：x-3-2-1…456x2-bx-5135-1…-1513确定方程x2-bx-5=0的解的取值范围是

.12.若=，则=

．13.若一个平行四边形的一条边的长为15，两条对角线的长分别为18和24，则它的面积为

.14.若关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是

.15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是

.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题7分)

解方程：

（1）x2-2x=3；

（2）x（x-2）+x-2=0.17.(本小题7分)

如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．18.(本小题7分)

如果，那么k的值是多少？19.(本小题9分)

如图，在矩形ABCD中，连接AC，点E在BC边上，且满足AE平分∠CAB，∠ACD=60°(1)用尺规完成基本作图：过点E作AC的垂线，交AC于点O，交AD于点F，连接CF．（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）所作图形中，求证：四边形AECF是菱形20.(本小题9分)

龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同.

（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；

（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？21.(本小题9分)

已知关于x的一元二次方程

(1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，满足x1+x2=2x1x2+5，求k的值22.(本小题13分)

“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．

【学习研究】材料1：定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．

材料2：解决含参数（如m,k,t等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点（x0，y0）都满足直线方程．如直线y=kx+k+1可化为y=（x+1）k+1，所以直线恒过（-1，1）点．

【初步思考】(1)请直接写出一元二次方程x2-7x+6=0的衍生点M的坐标为

．

【尝试应用】(2)关于x的一元二次方程x2-2（m+2）x+m2+4m=0．

①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点M的坐标．

②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，直接写出直线解析式y1=______

．

③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数y2=x2-5x+6，请求出y1-y2的最大值．

【拓展提高】(3)是否存在b、c,使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx+3（2-k）的图象上．若有请直接写出b、c的值；若没有，请说明理由。23.(本小题14分)

数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动.

【动手操作】

如图1，将边长为6cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC.打开后，再将正方形ABCD折叠，使得点D落在BC边上的点P处，得到折痕GH，折痕GH与折痕AC交于点Q.打开铺平，连接PQ、PD、PH.若点P的位置恰好使得PH⊥AC.

【探究提炼】

（1）∠PHC=______；

（2）求CQ的长；

【类比迁移】

（3）如图2，某学校有一块边长为32m的菱形空地ABCD，其中∠BCD=60°，现打算在空地中修建步道AC，MN，ND，DM，使得点M在BC上，点N在AC上，且MN=ND.请问步道MN，ND，DM所围成的△MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】A

11.【答案】-2＜x＜-1或4＜x＜5

12.【答案】

13.【答案】216

14.【答案】a＜2且a≠1

15.【答案】4.8

16.【答案】x1=-1，x2=3；

x1=2，x2=-1

17.【答案】证明：如图，连接BM、DM，

∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，

∴BM=DM=AC，

∵点N是BD的中点，

∴MN⊥BD．

18.【答案】解：当a+b+c≠0时，

∴a=k（b+c），b=k（a+c），c=k（a+b），

∴a+b+c=2k（a+b+c），

∴k=；

当a+b+c=0时，b+c=-a,

∴k===-1，

k的值为：

或-1．

19.【答案】【小题1】解：如图所示．

【小题2】证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，

∴∠CAB=∠ACD=60°．

∵AE平分∠CAB，

∴，

∵∠ACB=180°-∠B-∠CAB=30°，

∴∠CAE=∠ACE，

∴AE=CE．

∵EF⊥AC，

∴AO=CO，

∵AD∥CB，

∴∠FAO=∠ECO，

在△FOA和△EOC中，

，

∴△FOA≌△EOC（ASA），

∴AF=CE．

∵AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵AE=CE，

∴四边形AECF是菱形

20.【答案】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x,

依题意，得50（1+x）2=72，

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去），

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

（2）设该品牌头盔每个售价为y元，

依题意，得（y-30）[500-10（y-40）]=8000，

整理，得y2-120y+3500=0，

解得y1=50，y2=70，

为尽可能让顾客得到实惠，

，所以y=70不合题意，舍去．

所以y=50．

答：该品牌头盔每个售价应定为50元．

21.【答案】【小题1】证明：因为关于x的一元二次方程为，

所以Δ=[-（2k+1）]2-4×1×（）=4k2+4k+1-2k2+8=2k2+4k+9=2（k+1）2+7．

因为2（k+1）2≥0，

所以2（k+1）2+7≥7＞0，

所以无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根【小题2】解：因为方程的两个实数根为x1，x2，

所以x1+x2=2k+1，，

又因为x1+x2=2x1x2+5，

所以，

解得k1=0，k2=2，

所以k的值为0或2

22.【答案】【小题1】（1，6）【小题2】①∵这个方程根的判别式为Δ=[-2（m+2）]2-4（m2+4m）=16＞0，

∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；x2-2（m+2）x+m2+4m=0，

因式分解，得（x-m）（x-m-4）=0，

解得x1=m，x2=m+4（满足x1＜x2），

∴该方程的衍生点M的坐标为（m，m+4）．

②x+4；③7【小题3】直线y=kx+3（2-k）可化为：y=kx-3k+6=（x-3）k+6，

∴直线y=kx+3（2-k）的图象经过定点（3，6），

要使得不论k