北师大版数学 第一章 勾股定理（暑假单元自测） 新八年级 试卷 含答案

第一章勾股定理单元自测卷【新教材，北师大版】（考试时间：90分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各组数中，是勾股数的是（

）A．7，8，10 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13【答案】C【分析】根据勾股数的定义，需验证三个正整数中，两较小数的平方和是否等于最大数的平方，由此判断即可．【详解】A、，，，故不是勾股数，不符合题意；B、，，，故不是勾股数，不符合题意；C、，且三个数均为正整数，故是勾股数，符合题意；D、，，，故不是勾股数，不符合题意；2．在Rt△ABC中，斜边BC=4，则的值为（

）A．12 B．22 C．32 D．无法计算【答案】C【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC=4∴，∴，故选：C．3．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为x步，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可．【详解】解：设长方形田的宽为x步，宽与对角线的和为50步，则对角线长为步，∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为30步，∴根据勾股定理可得，C选项符合题意．4．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点处，且相距20海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号的航行方向是（

）A．北偏西40° B．北偏西 C．北偏东40° D．南偏东【答案】A【分析】先根据航行速度和时间求出PQ、的长度，再利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，最后结合方位角计算出“海天”号的航行方向。【详解】解：依题意，“远航”号航行一小时的路程：(海里)，“海天”号航行一小时的路程：(海里)，已知海里，在中：，，即，根据勾股定理的逆定理，，已知“远航”号沿北偏东50°方向航行，即，，因此，“海天”号的航行方向是北偏西40°。5．如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，，AB=10cm．将纸片沿直线DE折叠，使点A与点B重合，则CD的长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理得，利用折叠的性质得AD=BD，设，则，再利用勾股定理求出x的值即可求解．【详解】解：∵∠C=90°，，AB=10cm，∴，由折叠可得，AD=BD，设，则，在Rt△BCD中，，∴，解得，∴．6．如图，在△ABC中，，且△ABC周长为．点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．如果P，Q两点同时出发，那么经过3s，的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出△ABC的三边长，证明△ABC是直角三角形．设AB长为，BC长为，AC长为．根据△ABC的周长为，列出方程求出x的值，通过勾股逆定理△ABC是直角三角形，经过3秒时，求出BP，BQ，根据三角形面积公式即求出的面积．【详解】解：设AB长为，BC长为，AC长为．的周长为，即，，解得x=3，，，，，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°．经过，，，．故选：B．7．如图，点E在△ACD的高AB上，且△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若BE=3，AC=5，则CD的长为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根据三角形高的定义和等腰直角三角形的定义可推出，利用勾股定理求出BA的长，则可得到BD的长，据此可得答案．【详解】解：∵AB是△ACD的高，∴AB⊥CD，∴，∵△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，∴，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，∴BD=4，∴．8．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一个长方体的木块．已知AD=8米，AB=7米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是________米，A．17 B． C． D．19【答案】A【分析】画出木块展开后的平面图，对角线AC即为所求最短路径，用勾股定理计算即可．【详解】解：如图，将木块展开，则对角线AC即为所求最短路径，由题意可知，（米），米，∠B=90°，在Rt△ABC中，（米），所以从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是17米．9．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的面积分别为，，S3．若正方形EFGH的边长为2，则的值为（

）．A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点．设八个全等的直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，得到正方形EFGH的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到．【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，，∵正方形EFGH的边长为2，，∵正方形ABCD的面积为，正方形的面积为，．10．如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为10，高为20的长方体表面从顶点A爬到上表面的边上的点B处，点B离点C的距离为5，蚂蚁爬行的最短距离是（

）A．25 B． C． D．35【答案】A【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段AB的长，进而比较即可求解．【详解】解：∵两点之间，线段最短，∴蚂蚁沿着线段AB爬行时，路径最短，把长方体的侧面展开，有三种情况：如图①，∵BD=5+10=15，AD=20，∴；如图②，∵AC=10+20=30，，∴AB=30如图③，∵BD=5+20=25，，∴AB=25∵25<529∴蚂蚁爬行的最短距离是25．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在△ABC中，∠A=90°，，则_______．【答案】【分析】根据三角形边角对应关系，对边为斜边a，利用勾股定理得到，可将原式整理为，再代入计算即可．【详解】解：在△ABC中，∠A=90°，故；∴，∵，故，即．12．如图，直角三角形ABC两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________．【答案】30【分析】由图形的构成可得图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为以AC为直径的半圆面积加上以BC为直径的半圆面积加上△ABC的面积，再减去以AB为直径的半圆面积．【详解】解：在Rt△ABC中，AC=5，BC=12由勾股定理得：，∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和．13．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东40°方向航行，它们离开港口半小时后分别位于R，Q处，此时两艘轮船相距______．【答案】【分析】由方向角的定义可得，再利用勾股定理解答即可求解．【详解】解：由题意得，，，，，∴，∴，即此时两艘轮船相距．14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则BE=______．【答案】3【分析】设BE=x，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求解即可．【详解】解：设BE=x，则，∵将△ABC折叠，使点C与点A重合，∴，∵∠B=90°，∴，解得：x=3．即BE=315．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．若AC⊥BD，AB=4，，则______．

【答案】21【分析】根据勾股定理即可解答．【详解】解：，AB=4，，∴在Rt△AOB中，，∴在中，，又∵在Rt△AOD中，，在Rt△BOC中，，．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．16．如图，AD是△ABC的边BC上的高，分别以线段AB，AC，BD，CD为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，S3，．若，，则S3与之间满足的数量关系为______．【答案】【分析】先根据正方形面积公式得到边长与面积的关系，再在Rt△ABD和中用勾股定理得，，最后将数据代入化简即可．【详解】由题意可知，，，，．∵AD是△ABC的边BC上的高，∴在Rt△ABD和中，由勾股定理得，，即，，可得，，∵，，∴，即．三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若，，(1)求AC的长度；(2)求CD的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知直角三角形斜边和一条直角边，用勾股定理求出另一条直角边AC；（2）利用直角三角形两种面积表达式相等列等式，解方程算出斜边上的高CD．【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，，，∴．（2）解：∵，，，，∴，∴，解得．18．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，，，，连接AC．(1)求AC的长度；(2)求四边形ABCD的面积．【答案】(1)2(2)2【分析】（1）由勾股定理得，即可求解；（2）由勾股定理逆定理得∠CAD=90°，由即可求解．【详解】（1）解：∵∠B=90°，，；（2）解：，，，，=2．19．如图，△ABC是一张纸片，∠C=90°，AC=6，BC=8，先将其折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，(1)求CD的长；(2)求重叠部分的面积．【答案】(1)7(2)【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的求解，熟练掌握解决翻折图形的方法为解题关键．（1）先根据勾股定理求出AB的长，再有折叠性质得到：，设，再由勾股定理求出x的值，进而求出最后结果；（2）由勾股定理求出DE的长，再由三角形面积公式求出结果．【详解】（1）解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，，根据翻折可得：，设，根据图形翻折可得：，在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得：，解得：，；（2）解：在中，，．20．如图，在△ABC中，AD⊥BC．垂足为D，BD=CD，延长BC至E，使得，连接AE．(1)求证：；(2)若AB=5，AD=4，求△ABE的面积．【答案】(1)证明：∵AD⊥BC，，在△ABD和△ACD中，BD=CD∠ADB=∠ADC，∴∠B=∠ACB．(2)22【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明△ABD≌△ACD，即可得证；（2）利用勾股定理求出BD的长，利用全等三角形的性质得到，得出DE的长，再利用勾股定理求出AE的长，最后利用三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）略（2）解：∵AD⊥BC，AB=5，AD=4，，，由（1）得，△ABD≌△ACD，，，∴CE=5，∴，的面积．21．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B,C，通过道路BA，CA可前往观景点A，且．因景区改造，需要关闭通道AC，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路AD（点D在BC上）．经测量：，，．(1)判断AD是否为从A到河边的最近道路，并说明理由；(2)新修的路AD比原来的路AC近多少千米？【答案】(1)AD是从A到河边的最近道路，理由见解析(2)新修的小路AD比原来的路AC近【分析】（1）根据勾股定理逆定理可知AD⊥BC，根据垂线段最短判断即可；（2）根据勾股定理求出AC的值，即可得到答案．【详解】（1）解：，，，，，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，∴AD⊥BC，是从A到河边的最近道路；（2）解：，．由（1）可知AD⊥BC，∴∠ADC=90°，，，解得，，故新修的小路AD比原来的路AC近．22．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．(1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：a2(2)【结论运用】如图2，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°．若，AB的长比AC的长大1，求AB的长；(3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃ABC，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏AD，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏AD与三角形边BC互相垂直，预计栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，∴，∴，∴a2(2)13(3)600元【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解；（2）由，根据勾股定理得AC2+BC（3）根据题意可得AD⊥BC，设BD=x米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出AD=12米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资.【详解】（1）略（2）解：∵△ABC是直角三角形，∠C=90°．∴AC又∵AB的长比AC的长大1，∴，∴，解得．（3）解：根据题意可得AD⊥BC，设BD=x米，则米，在Rt△ABD中，，在中，，∴，则，解得x=5，∴米，∴（米），学校修建这道栅栏需要投资：（元）．答：学校修建这道栅栏需要投资600元．23．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题．素材一【提出问题】求代数式的最小值．素材二【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在CF上求点B，使．最小”问题．

素材三【解答过程】如图2，连接AD，交CF于点B，此时．的值最小，将AC延长至点H，使得，连接HD．∵，∴在Rt△ADH中，，∴，∴的最小值是13．

(1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为．(2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为km．(3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值．【答案】(1)(2)25(3)x的值为7.2【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可；（2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可；（3）构造△ABC，CD⊥AB，垂足为D，，进而得到AB=15，勾股定理逆定理结合等积法求出CD的长即可．【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，，∴，∴当三点共线时，最小，作DH⊥AC，则，∴，∴，∴代数式的最小值为；（2）解：由题意，为总路程，∵，∴要求的最小值，只需求得的最小值．如图1，将点A向上平移得到，连接，，则，∴，∴当三点共线时，此时的最小值为．过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D．由题意，可得，，∴的最小值为，∴最短路程为．（3）如图2，构造△ABC，CD⊥AB，垂足为D，．设CD=x，则，∴．∵，∴∠ACB=90°，∴，解得，∴x的值为7.2．24．综合与实践【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的π取3）素材1

如图1