2023年北京市高考数学试卷

第1页(共21页)1.(4分)已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x-1<0}.则MNN=()A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2<x≤1}C.{x|x≥-2}D.{x|2.(4分)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,√3),则z的共轭复数z=()3.(4分)已知向量a,b满足a+b=(2,3),),则A.-2B.-1C.04.(4分)下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.f(x)=-InxD.f(x)=3x-1A.-406.(4分)已知抛物线C:y²=8x的焦点为F,点M在C上，若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=A.7B.6第2页(共21页)A.102mB.112mC.117m10.(4分)数列{an}满足下列说法正确的是()A.若a₁=3,则{an}是递减数列，3MER,使得an>MB.若a₁=5,则{an}是递增数列，3M≤6,使得an<MC.若a₁=7,则{an}是递减数列，3M>6,使得an>MD.若a₁=9,则{an}是递增数列，3MER,使得an<M二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.(5分)已知函数f(x)=4x+log₂x,13.(5分)已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β,则tanα>tanβ.能说明命题p为假命题的一组14.(5分)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a₁=1,a₅=12,a₉=192,则a₇=,数列{an}的所有项的和③设M(x₁,f(x₁))(x₁≤a),N(x₂,f(x₂))(x₂>a),④设P(x₃,f(x₃))(x₃<-a),Q(x4,f(x₄))(x₄≥-a),若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。第3页(共21页)16.(13分)如图，四面体P-ABC中，PA=AB=BC=1,PC=√3,PA⊥平面ABC.(Ⅱ)求二面角A-PC-B的大小.17.(14分)已知函(I)求φ的值；上单调递增，且再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求w、φ的值.条件①:条件②:条件③:上单调递减.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.(13分)为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.时段价格变化第1天到第20天++0十+0+0十+00十第21天到第40天0++0十十0+0十+0+用频率估计概率.(I)试估计该农产品“上涨”的概率；第4页(共21页)19.(15分)已知椭圆E:1(a>b>0)(1)求E的方程；(2)点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于20.(15分)设函数f(x)=x-x³eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1.(Ⅱ)设g(x)=f(x),求g(x)的单调区间；(Ⅲ)求f(x)的极值点的个数.21.(15分)数列{an³,{bn}的项数均为m(m>2),且an,bn∈{1,2,…,m},{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,并规定Ao=B₀=0.对于k∈{0,1,2,…,m},定义rk=max{i|Bi≤Ak,i∈{0,1,2,…,(I)若a₁=2,a₂=1,a₃=3,b₁=(Ⅱ)若a₁≥b₁,且2r;≤rj+1+rj-1,j=1,2,…,m-1,求rn;(Ⅲ)证明：存在O≤p<q≤m,O≤r<s≤m,使得Ap+B₅=Aq+Br.第5页(共21页)题号123456789ADBCDDBCCB1.(4分)已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x-1<0}.则MNN=()A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2<x≤1}C.{x|x≥-2}D.{x|2.(4分)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,√3),则z的共轭复【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,√3),3.(4分)已知向量a,b满,则|a²-1b²=()A.-2B.-1C.04.(4分)下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是()【解答】解：对A选项，y=Inx在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)=-Inx在(0,+∞)上单调递第6页(共21页)对B选项，y=2×在(0,+∞)上单调递增，所在(0,+∞)上单调递减，B选项错误；对C选项，在(0,+∞)上单调递减，所以(0,+∞)上单调递增，C选项正确；对D选项，f(x)=3kx-1在(0,+∞)上不是单调的，D选项错误.5.(4分)的展开式中，x的系数是()A.-40∴T₃=80x,故x的系数为80.6.(4分)已知抛物线C:y²=8x的焦点为F,点M在C上，若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=A.7B.6第7页(共21页)【解答】解：由正弦定(R为三角形外接圆半径)可得：所以(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)可化为(a+c)(a-c)=b(a-b),8.(4分)若xy≠0,则“x+y=0”是的()B.必要而不充分条件【解答】解：由xy≠0,x+y=0,化为t²+2t+1=0,解得t=-1,9.(4分)刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF,四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形.若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在第8页(共21页)A.102mB.112mC.117mCC∴该多面体的所有棱长和为8×4+(25+10)×2+15=117.10.(4分)数列{an}满足下列说法正确的是()第9页(共21页)B.若a₁=5,则{an}是递增数列，3M≤6,使得an<MC.若a₁=7,则{an}是递减数列，3M>6,使得an>MD.若a₁=9,则{an}是递增数列，3MER,使得an<M【解答】解：法(i)对原式进行变形，得当n→+∞,an→-∞,A错误，同理可证明D错误，假设5<ax<6(k∈Z,k≥2),则ak+1-ak>0,即ak+1>5,又因所以5<ak+1<6,所以当n→+∞,an→6,B正确，故不存在M>6,an>M恒成立，C错误.法(ii),可得,n∈N+,当a₁=3时，+6,所以{an}是递减数列，无边界；a₁=7时，所以{an}是递减数列，有边界；二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。1.(5分)已知函数f(x)=4*+log₂x,则f(二)=1一【解答】解：∵函数f(x)=4*+log₂x,故答案为：1.12.(5分)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为√2,则C的方程为【解答】解：根据题意可设所求方程13.(5分)已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β,则tanα>tanβ.能说明命题p为假命题的一组α,β的值可以是案不唯一),则α>β,但tanα=tanβ,不满足tanα>tanβ,∴能说明命题p为假命题的一组α,β的值可以是14.(5分)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a₁=1,a₅=12,a₉=192,则a7=_48,数列{an}的所有项的和为第10页(共21页)1故答案为：48;384.15.(5分)设a>0,函数给出下列四个结论，正确的序号为②③设M(x₁,f(x₁))(x₁≤a),N(x₂,f(x₂))(x₂>a),第11页(共21页)选项①,取a=2,f(x)在区间(-1,+∞)上先单调递增，后单调递减，选项①错误；选项②,当a≥1时，x>a,f(x)=-√x-1<-√a-所以MM>yM-yN=1+√a>1,选项③所以0<a<1,选项④错误.故答案为：②③.第12页(共21页)16.(13分)如图，四面体P-ABC中，PA=AB=BC=1,PC=√3,PA⊥平面ABC.(Ⅱ)求二面角A-PC-B的大小. xx则A(0,1,0),B(0,0,0),C(1,0,0),P(0,1,1),第13页(共21页)设平面BPC的一个法向量取b=1,则17.(14分)已知函数f(x)=sinwxcosφ+cosωxsinφ,w>0,上单调递增，且再从条件①、条件②、条件③这三条件①:条件②:条件③:上单调递减.(Ⅱ)若选①:第14页(共21页)w、φ的值不存在.若选②:所以f(x)在时取得最小值-1,时取得最大值1,,所以,所以若选③:所以f(x)又因在时取得最小值-1,时取得最大值1,的最小正周期为所以18.(13分)为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.时段价格变化第1天到第20天+十0++0十0+十00十第21天到第40天0十十0十十0+0十十0+用频率估计概率.(I)试估计该农产品“上涨”的概率；(Ⅲ)由于第40天处于“上涨”状态，从前39天中15次“上涨”进行分析，19.(15分)已知椭圆E:1(a>b>0)的离心率(1)求E的方程；(2)点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于解得b=2,a²=9,(2)证明：A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),D(3,0),20.(15分)设函数f(x)=x-x³eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1.(Ⅱ)设g(x)=f(x),求g(x)的单调区间；(Ⅲ)求f(x)的极值点的个数.因为f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1,第17页(共21页)解得a=-1,b=1.所以g'(x)=-(6x-3x²)e-x+1+(3x²-x³)e-x+1=-x(x²-x0√3)+0-0十0-增单调递减单调递增单调递减所以g(x)在区间(-∞,0)和(3-√3,3+√3)上单调递增，在区间(0,3-√3)和(3+√3,+∞)上单调递减；(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当x∈(-∞,0)时，f(x)单调递增，又因为当x>3时，f(x)>0,所以f(综上，f(x)在定义域R上有3个极值点.21.(15分)数列{an,{bn}的项数均为m(m>2),且an,bn∈{1,2,…,m},{an³,{bn}的前n项和分别为An,Bn,并规定Ao=B₀=0.对于k∈{0,1,2,…,m},定义rk=max{i|B;≤Ak,i∈{0,1,2,…,(Ⅱ)若a₁≥b₁,且2r;≤r;+1+Tj-1,j=1,2,…,m-1,求rn;(Ⅲ)证明：存在O≤p<q≤m,O≤r<s≤m,使得Ap+B₅=Aq+B,.i0123213023613301470112(Ⅱ)由题意知rn≤m且rn∈N,则r;+1-r;≥r;-rj-1,即rm-rm-1≥rm-1-rm-2≥…≥r1-ro=1,当i≤j-1时，则rj+1-r;