2026-2027学年河北省石家庄卓越中学高二（上）第一次调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年河北省石家庄卓越中学高二（上）第一次调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(−1,2,1),b=(3,x,1)，且a⊥bA.0 B.1 C.2 D.32.已知直线经过点A(2,−8)，B(5,1)，则直线的斜率为(

)A.−3 B.13 C.3 D.3.已知a=(2,−1,3)，b=(−4,2,−x)，且a//b，则A.−6 B.5 C.4 D.64.已知非零向量a、b，且AB=a+2b， BC=−5a+6A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D5.若{a,b,A.{a,a−b,b} 6.已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①OA=2OB+μOC；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λOA+mOB+nOCA.1，−1 B.−1，0 C.0，1 D.0，07.如图，在三棱锥C−OAB中，G为AB的中点，AM=13AC，则MGA.−13OA+13OB+18.若正四面体S−ABC的棱AC，SB的中点分别为M，N，则直线SM与AN所成角的正弦值为(

)A.13 B.223 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题为真命题的是(

)A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b

B.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，必有AC=A110.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为BA.直线BC与AD所成的角为90°

B.直线AB与AD所成的角为60°

C.直线CA1与平面BB1C1C所成的角为30°

11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，设P是棱CC1的中点，Q是线段C1P上的动点(含端点)，M是正方形BCCA.点M的轨迹是一条线段

B.三棱锥B−A1PM的体积为定值

C.当点Q在线段C1P上移动时，必存在点M，使A1M⊥BQ

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，对于平面ABC外一点O，OM=xOA+yOB−3OC(x>0,y>0)，若M，A，B，C四点共面，则13.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则AD+12(BC14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，AP=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在三棱锥D−ABC中，已知△ABD是等边三角形，平面ABD⊥平面ABC，BC⊥AD．

(1)求证：BC⊥AB；

(2)若AB=2，CD=3，CP=λCD，且直线BP与平面ACD所成角的正弦值为3516.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点．

(1)求直线A1C与17.(本小题15分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、CD的中点．

(1)求证：D1F//平面A1EC1；

(2)求直线AC1与平面18.(本小题17分)

如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠DAB=90°，∠A1AD=∠A1AB=60°，M、N分别为棱AB、D1C1的中点，P为线段A1C上一点(包含端点)，且满足A1P19.(本小题17分)

如图所示，已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB/​/CD，∠BAD=90°，AB=2AD=4DC．

(1)求证：平面A1C1C⊥平面

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】BC

10.【答案】AC

11.【答案】AC

12.【答案】4

13.【答案】AF

14.【答案】1315.【答案】(1)证明：取AB中点E，连接DE．

因为△ABD是等边三角形，所以DE⊥AB．

又平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC．

因为BC⊂平面ABC，所以DE⊥BC．

又BC⊥AD，DE，AD⊂平面ABD，DE∩AD=D，所以BC⊥平面ABD．

因为AB⊂平面ABD，所以CB⊥AB；

(2)解：在等边△ABD中，AB=2，则DE=3．

由(1)知，DE⊥平面ABC，因为CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE．

在Rt△DCE中，CD=3，则CE=CD2−DE2=6．

在Rt△BCE中，BE=12AB=1，所以BC=CE2−BE2=5．

如图，以B为坐标原点，BC，BA为x轴，y轴，以过点B且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系B−xyz，

则A(0,2,0)，B(0,0,0)，．C(5,0,0)，D(0,1,3)．

设P(x,y,z)，则CD=(−5,1,3)，CP=(x−5,y,z)=λ(−5,1,3)，

所以P(516.【答案】解：(1)以A为坐标原点，分别以AB、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2a，则A1(0,0,2a)，C(2a,2a,0)，D1(0,2a,2a)，E(2a,0,a)，

可得A1C=(2a,2a,−2a)，D1E=(2a,−2a,−a)，

则cos<A1C，D1E>=A1C⋅D1E|A1C||D1E|=4a2−4a2+2a22317.【答案】解：(1)证明：根据题意可建系如图：

则A1(0,0,2)，E(2,1,0)，C1(2,2,2)，F(1,2,0)，D1(0,2,2)，

所以A1C1=(2,2,0),EC1=(0,1,2)，FD1=(−1,0,2)，

设平面A1EC1的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅A1C1=0n⋅EC1=0，即x+y=0y+2z=0，取n=(2,−2,1)，

所以n⋅FD1=0，又D1F⊄平面A1EC1，所以D1F//平面A1EC1；

(2)由(1)知AC1=(2,2,2)，

则|cos<n,AC1>|=|n⋅AC1||n||AC1|=23×23=39，

所以直线AC1与平面A1EC18.【答案】解：(1)设基向量a=AB，b=AD，c=AA1，

则AM=12a，AN=AA1+A1D1+D1N=AA1+AD+12AB=12a+b+c，

因为A1C=A1A+AC=−AA1+AB+AD=a+b−c，

19.【答案】(1)证明：设AB=2AD=4DC=4，DD1=h，

如图所示，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,h)，A1(2,0,h)，C1(0,1,h)．

AC=(−2,1,0)，BD=(−2,−4,0)，DC1=(0,1,h)，A1C1=AC=(−2,1,0)．

AC⋅BD=(−2)×(−2)+1×(−4)+0=0，所以AC⊥