《三角形的综合》期中压轴题-2026秋浙教版数学八年级上册复习

《三角形的综合》精选期中压轴题——浙教版数学八年级上册复习一、单选题1．（2025八上·杭州期中）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC，给出下列结论，其中一定正确的所有序号是()①BD=CE；②BE=DE；③BD⊥CE；④∠ECB+∠ABD=45°A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③2．（2025八上·宁波期中）如图，BD是△ABC的角平分线，BA=BC=10，AC=12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点，连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE=BC；③PC+PQ的最小值是245④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④3．（2025八上·杭州期中）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC，给出下列结论，①BD=CE；②BE=DE；③BD⊥CE；④∠ECB+∠ABD=45°其中一定正确的所有序号是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③4．（2025八上·长兴期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC有下列结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP.其中正确的是()A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④5．（2025八上·滨江期中）如图，在△ABC中，AB=AC，CM平分∠ACB，与AB交于点M，AD⊥BC于点D，ME⊥BC于点E，MF⊥MC与BC交于点F，给出下列结论：①∠AMC=3∠ACM；②若CF=7，则DE=7A．①错， B．对B.①，②都对C．①对，②错 D．①，②都错6．（2025八上·海曙期中）如图，等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，以下结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④SΔABC=S四边形AOCPA．5个 B．4个 C．3个 D．2个7．（2025八上·浙江期中）如图，在纸片△ABC中，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠至△ADB'，∠ACB=2α，连接CB'，CBA．60°+α2 B．60°+α C．90°−α8．（2025八上·安吉期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；AD2+CD2=4DE2；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF的面积为S△ABF，△BDE的面积为S△BDE，则S△ABF=S△BDE，其中正确的结论是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④二、填空题9．（2025八上·南湖期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，CD=3，AD=BD=8，点E在边AB上，连接CE．若∠ADE=2∠CBD，且BD平分∠CDE，则CE的长为．10．（2025八上·长兴期中）如图，在△OAB和△BCD中，OA=OB=3，CB=CD=1，∠AOB=∠BCD=90°.连结AD，取AD的中点E，连结OE.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O，C，B在同一直线上时，OE的长为.11．（2025八上·鄞州期中）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，P为BC延长线上一动点，以AP为直角边在AP的右侧作等腰直角△APQ，∠PAQ=90°，连结BQ，交直线AC于点M，若S△ABP=3S12．（2025八上·宁波期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N.CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结中，①∠AMD=45°；②MC+EM=NE；③EM：MC：NE=1：2：3；④S△ACD=2S△DNE·正确的序号是.13．（2025八上·杭州期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=9，点D是BC边上的一点，且BD=3，点E是AB边上一个动点，连接DE．现以DE为一边在右侧作等边△EFD，连接CF．（1）当点E与点B重合时，CF=．（2）在点E运动过程中，线段CF的最小值为．14．（2025八上·鄞州期中）如图，在△ABC中，AB,BC的垂直平分线DE,FG相交于点H，连接HA，（1）若∠BAH=23°，∠CAH=40°，则∠HBC的度数为．（2）若∠CAH=34°，则∠EHG的度数为．三、综合题15．（2025八上·杭州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，把△ABC沿着直线AB翻折得到△ABP，过点A作AE∥BC交BP于点D，连接BE．（1）求证：AD=DB；（2）若AD=10，△BDE是以DB为腰的等腰三角形，求此时AE的长；（3）若BE⊥AB，且SΔAPDS16．（2025八上·杭州期中）（1）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⟂OA,PN⟂OB.垂足分别是M、N，D是OP的中点.①若MD=5，则DN=▲②求证：∠MDN=2∠MON.（2）如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，1PM⟂OA,PN⟂OB,垂足分别是M、N，D是OP的中点.问∠MDN与∠MON有何数量关系，并说明理由.17．（2025八上·慈溪期中）（1）如图1，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①求证：△ACD≌△BCE．②求∠AEB的度数以及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长．18．（2025八上·瑞安期中）已知：如图1，△ABC≌△ABD，∠ACB=∠ADB=90°，∠ABC=∠ABD=30°，AB=4，E为平面内直线CD右侧一点.（1）求△ACD的面积.（2）当E在AB上且△ECD与△ACD面积相等时，求证：点E为AB的中点.（3）如图2，当△CDE的面积为3时，则BE-CE的最大值=.19．（2025八上·海曙期中）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点.AO⊥BC于点O，交CD于点E，FD⊥CD且CD=FD，FD，CA的延长线相交于点M.（1）求证：∠BAO=∠DFC；（2）求∠ABF的度数；（3）如图2，若N是AF的中点，求证：ND=NO.20．（2025八上·杭州期中）（1）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA,PN⊥OB．垂足分别是M、N，D是①若MD=5，则DN=__________．②求证：∠MDN=2∠MON．（2）如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA,PN⊥OB，垂足分别是M、N,D是OP的中点．问∠MDN与∠MON有何数量关系，并说明理由．21．（2025八上·鄞州期中）（1）【数学思考】在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，AD是△ABC的中线，AC=1，AB=2，求中线AD的取值范围．小聪同学延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．最后求得了（2）【深入探究】如图2，△ABC中，点D，E在BC边上，DC=DE，过点E作EF∥AB，交∠BAC的角平分线AD于点F，EF=3，求（3）【拓展延伸】如图3，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD平分∠BAC，点E为BC边的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，若S△ABC=16，22．（2025八上·诸暨期中）如图1，P是等边△ABC内一点，连结AP，BP.将线段BP绕点B顺时针旋转(60（1）求证：△APB≅△C（2）如图2，连结(CP，PP'.①当∠APB=130∘，且△C②当PB=2，AB=6，且PB‖CP23．（2025八上·宁波期中）（1）【图形感知】如图1，等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，l是过O点在∠AOB内部的一条射线，过A作AC⊥l于点C，过B作BD⊥l于点D，若AC=2，CD=3，求BD的长.（2）【问题探究】如图2，在等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，C是BD下方一点，连结BC、AC、CD，若∠ACB=60（3）【拓展启思】如图3，在△ABC中，.BA=CA，∠B=7524．（2025八上·鄞州期中）在等腰直角△ABC，AB=AC，∠BAC=90°．（1）如图1，D，E是等腰直角△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将AE绕点A逆时针旋转90°得到AF，连接CF，DF．①求证：△AED≌△AFD；②当BE=3，CE=7时，求DE的长．（2）如图2，D是等腰直角△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以A为直角顶点作等腰直角△ADE，当BD=3，BC=9时，则DE=．25．（2025八上·义乌期中）△ABC和△DBE是两个等腰直角三角形（BA=BC,（1）【问题初探】当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE，请证明：AD=CE；（2）【类比探究】当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图（3），在四边形ABCD中，∠BAD=90°,AB=AD,BC=34CD，连接AC，BD26．（2025八上·宁波期中）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，可以证明△BEC≌△CDA，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：（1）如图2，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°,AC=BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为0,2，C的坐标为−1,0，则点B的坐标为_______；（2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC,∠ACB=90°，AC=BC,AB与y轴交点D，点C的坐标为0,−1，A点的坐标为2,0，求点B的坐标．（3）如图4，等腰Rt△ABC,∠ACB=90°，AC=BC，当点C在x轴正半轴上运动，点A0,a在y轴正半轴上运动，点Bm,n在第四象限时，作27．（2025八上·长兴期中）请阅读下面的材料.（1）问题：如图1，若∠A=60°，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，探究图中线段BC，AC，AD之间的数量关系.小明同学的思路是：如图2，在BC上截取CE=CA，连接DE，先证△ACD≅△ECD，可得AD=DE，再证BE=DE，可得出结论，他的结论是(直接写出结论，不需要证明).（2）变式：如图3，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，若AE平分∠BAD，∠AED=90（3）拓展：如图4，在△ABC中，∠A=60∘，∠ABC

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】710．【答案】5或211．【答案】25或12．【答案】①②③13．【答案】3714．【答案】（1）27°（2）56°15．【答案】（1）解：根据折叠的性质可知，∠ABP=∠ABC，

∵AE∥BC，

∴∠EAB=∠ABC，

∴∠ABP=∠EAB，

∴AD=BD.（2）解：由（1）可知，AD=BD，

∵AD=10，

∴BD=10，

∵△BDE是以BD为腰的等腰三角形，

∴分两种情况讨论：

①当BD=ED时，则AE=AD+DE=2AD=10，

②当BD=BE时，

过点B作BF⊥AE于点F，如图所示：

则∠BDF=90°，

根据折叠的性质可知，∠P=∠C=90°，AP=AC=8，

∴∠P=∠BDF=90°，

在△BDF和△ADP中，

∠BDF=∠P∠BDF=∠ADPBD=AD，

∴△BDF≌△ADP（AAS），

∴BF=AP，

在Rt△BDF中，DF=BD2−BF2=6，

根据等腰三角形三线合一可知，DE=2DF=12，

∴AE=AD+DE=22，（3）解：过点B作BF⊥AE于点F，如图所示：

则∠BFD=90°，

∵∠C=90°，

∴∠BFD=∠C，

∵AE∥BC，

∴∠EAB=∠ABC，

在△ABF和△BAC中，

∠BFD=∠C∠EAB=∠ABCAB=AB，

∴△ABF≌△BAC（AAS）

∴BF=AC，BC=AF，

∴BF=AP，BC=PB，

∵SΔAPDSΔBDE=56，

∴12AP·PD12DE·BF=56，

∴PDDE=56，

设PD=5x，DE=6x，

∵BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，∴BC16．【答案】（1）解：①5

②∵PM⊥OA，

∴∠OMP=90°

在Rt△OMP中，D是OP的中点

∴DM=12OP=DO，

∴∠DMO=∠DOM

∴∠MDP=2∠MOP，

同理可知，∠NDP=2∠NOP（2）解：∠MDN=2∠MON，

理由如下：

∵PM⊥OA，

∴∠OMP=90°

在Rt△OMP中，D是OP的中点

∴DM=12OP=DO，

∴∠DMO=∠DOM

∴∠MDP=2∠MOP

同理可知，∠NDP=2∠NOP17．【答案】（1）解：①∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB−∠BCD=∠DCE−∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，②设AE交BC于K，如图：∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠AKC=∠BKE，∴∠BEK=∠ACK=90°，即∠AEB=90°；∵CM为等腰直角△DCE中DE边上的高，

∴DE=2CM，∵AE=AD+DE，∴AE=BE+2CM（2）作AE⊥AD，且AE=AD=4，连接DE，CE，如图，∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，∴AB=AC，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠DAB=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴BD=CE，∵AE=AD=4，∴∠EDA=∠DEA=45°，在Rt△EAD中，∵DE2=A∵∠EDC=∠ADC+∠EDA=90°，∴CE∴BD=CE=18．【答案】（1）解：因为∠ACB=∠ADB=90°，∠ABC=∠ABD=30°，AB=4所以AD=AC=2记AB与CD交点为F由等腰三角形三线合一，得AF⊥CD，DF=CF所以AF=1,DF=所以S（2）证明：因为△CDE的面积等于△ACD的面积所以AF=EF=所以AE=2AF=2又因为AB=4所以AE=所以E为AB的中点（3）219．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC，

∴AO=BO=CO，∠BOA=45°，

∴∠OBA=∠OAB=∠OAC=∠ACB=45°，

又∵CD=FD，FD⊥DF，

∴∠MDC=∠FDC=90°，∠DFC=∠DCF=45°，

∴∠BAO=∠DFC；（2）解：如图，在BC上取点G，连接DG，使得DG=DB，

∵DG=DB，

∴∠DBG=∠DGB=45°，

∴∠BDG=90°=∠FDC，∠DGC=135°，

∴∠BDF=∠CDG，

又∵DF=DC，

∴△FBD≌△CGD，

∴∠ABF=∠CGD=135°；（3）证明：延长ON交BF于点T，连接DT，DO，如图：∵∠FBI=∠BOA=90°，∴BF∥AO，∴∠FTN=∠AON.∵N是AF的中点，∴AN=NF，∵∠TNF=∠ONA，∴△TNF≌△ONA(AAS)，∴NT=NO，FT=AO，∵∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC，∴AO=CO，∴FT=CO，

由(2)知△FBD≌△CGD，∴∠TFD=∠DCO，∵DF=DC,∴△DFT≌△DCO(SAS),∴DT=DO,∠FDT=∠CDO,∴∠FDT+∠FDO=∠CDO+∠FDO,即∠ODT=∠CDF,∵∠CDF=9∴∠ODT=∠CDF=9∴ND=20．【答案】（1）①5解：②∵PM⊥OA，∴∠OMP=90°，在Rt△OMP中，D是OP∴DM=1∴∠DMO=∠DOM，∴∠MDP=2∠MOP，同理可知，∠NDP=2∠NOP，∴∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON；（2）解：∠MDN=2∠MON．理由如下：如图2，∵PM⊥OA，∴∠OMP=90°，在Rt△OMP中，D是OP∴DM=1∴∠DMO=∠DOM，∴∠MDP=2∠MOP，同理可知，∠NDP=2∠NOP，∴∠MDN=∠NDP−∠MDP=2∠MON．21．【答案】（1）解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．在△ACD和△EBD中，BD=CD∠BDE=∠CDA∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴AC=BE．∵AC=1，∴BE=1．在△ABE中，∵AB−BE<AE<AB+BE，即1<AE<3，∴1<2AD<3，∴1（2）解：延长AD至点G，使DG=DF，连接CG，在△FED和△GCD中，DG=DF∠FDE=∠GDC∴△FED≌△GCD(SAS)，∴∠EFD=∠G,EF=CG．∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EFD=∠G．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠G=∠CAD，∴△ACG是等腰三角形，∴CG=AC，∴EF=AC．∵EF=3，∴AC=3；（3）解：∵∠BAC=90∘，AD平分∴∠BAD=∠CAD=1∵EF∥AD，∴∠G=∠BAD=45°，∠AFG=∠CAD=45°，∴∠G=∠EFC=45°，AG=AF，

延长GE至点H，使GE=HE，连接CH，∵点E为BC边的中点，∴BE=EC．在△GBE和△HCE中，BE=EC∠BEG=∠CEH∴△GBE≌△HCE(SAS)，∴∠H=∠G=45°，BG=CH，∴∠H=∠EFC，∴△FCH是等腰三角形，∴FC=HC=6，∴BG=6．设AG=AF=x，则AB=BG−AG=6−x，AC=AF+CF=x+6，∵S∴AB×AC×1∴(6−x)(6+x)=32，解得x=2（负值舍去），∴AG的长为2．22．【答案】（1）证明：由旋转得：PB=P'B，∠PBP'=60°∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴∠ABC=∠PBP'，∴∠ABP=∠CBP'，在△APB和△CP'B∴△APB≌△CP'B(SAS)（2）解：①∵PB=P'B，∠PBP'=60°，∴△BPP∴∠BPC=∠BP'P=60°，由(1)知：△BAP≅△BC∴∠CP'B=∠APB=130°，∴∠CP'P=130°-60°=70°，∵△CP∴PC=PP'∴∠CPP'=180°-70°-70°=40°，∴∠CPB=40°+60°=100°；当PC=P'C时，∠CP∴∠CPB=60°+70°=130°；当PP'=CP'时，∠CP∴∠CPB=55°+60°=115°；综上，当△CP②33+123．【答案】（1）解：由题可知∠AOB=∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC=∠DBO=90°-∠BOD，在等腰Rt△AOB中，OA=OB，∴△AOC≌△OBD(AAS)，∴AC=OD=2，OC=BD，∵CD=3，∴AC=OD+CD=5，∴BD=5（2）解：如图，过D作DF⊥AC于点E，过B作BF⊥AC于点F，则S△ACD=12AC·DE=40,由题可知∠AFB=∠BAD=∠AED=90°，∴∠BAF=∠ADE=90°-∠DAE，∵AB=AD，

∴△ABF≅△DAE(AAS),∴AF=DE=8，∴CF=AC-AF=2，∵∠ACB=60°，∴∠CBF=30°，∴BC=2CF=4，

∴BF=BC（3）解：∵AB=AC，∠B=75°，∴∠A=30°，∵DF∥BC，∴∠DFE=∠ACB=75°，AD=AF，∴∠EDF=30°，∴∠DEF=∠DFE=75°，∴DE=DF,如图，过D作DI⟂AF于点D，则EI=FI，设DI=a，则AD=2a，则AI=3a,设CF=2b，

∴EF=CE−CF=4a−2b,

∴IF=IE=即b=3a,

∴AC=AF+CF=2a+2b=2+23a,

作C关于AB的对称点R，连接CR交AB于点R，则CG=RG，

在Rt△ACQ中，QC=1∵FG+GC=FG+GR≥FR,当且仅当F、G、R三点共线时取等，即FG+GC的最小值为FR的长，过F作FK⟂RC,

∴KC=12CF=3a,

即FG+GC的最小值为224．【答案】（1）①证明：如图1中，

∵BA=CA、EA=FA、∠BAC=∠EAF=90°，

∴△BAE≌△CAF，

∴∠BAE=∠CAF，

∵∠BAC=90°，∠EAD=45°，

∴∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=45°，

∴∠DAE=∠DAF，

在△AED和△AFD中，

AE=AF∠EAD=∠FADAD=AD，

∴△AED≌△AFD（SAS）．

②解：如图1中，设DE=x，则CD=7-x.

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵∠ABE=∠ACF=45°，

∴∠DCF=90°，

∵△AED≌△AFD（SAS），

∴DE=DF=x，

在Rt△DCF中，∵DF2=CD2+CF2，CF=BE=3，

∴x2=（7-x）2+32，

∴x=297，

∴DE=（2）35或25．【答案】（1）∵△ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板，∴∠DBE=∠ABC=90°，AB=BC，BD=BE，∴△DBA≅△EBC(SAS)，∴AD=CE；（2）AD=CE，AD⊥CE，理由如下：∵∠DBE=∠ABC=90°，∴∠DBA=∠BCE=90°−∠DBC，∵AB=BC，BD=BE，∴△DBA≅△EBC(SAS)，∴AD=CE，∠ADB=∠CEB，延长AD与CE交于点O，∵∠BDE+∠BED=90°，∴∠BDE+∠BEC+∠CED=90°，∴∠BDE+∠ADB+∠CED=90°，∴∠ODE+∠OED=90°，∴∠O=90°，∴AD⊥CE；（3）解：过A作AC⊥AM交CD延长线于M，过A作AN⊥CD交CD于N，∵∠ACD=45°，∴∠ACD=∠M=45°，∴AC=AM，∵∠BAD=90°∴∠BAC=∠DAM=90°−∠DAC，∴△ABC≅△ADM(SAS)，∴BC=DM，∠ACB=∠M=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∵A到直线CD的距离为5，∴AN=5，∵AC=AM，∴CM=2AN=10，∵BC=34CD∴CD=407,∴S26．【答案】（1）解：过点B作BD⊥OC交直线OC于点D，如图，

∴∠BDC=90°，

∴∠DBC+∠BCD=90°，

∵∠AOC=90°，

∴∠BDC=∠AOC，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠ACO=90°，

∴∠ACO=∠DBC，

在△BDC和△COA中，

∠BD