18.4.1负整数指数幂-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

#人教版八年级上册18.\(\boldsymbol{4}\).1《负整数指数幂》专项练习（约1700字）##知识要点速记1.**负整数指数幂法则**：当$a\neq0$，$n$是正整数时，$$\boldsymbol{a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}}$$也就是：一个不等于0的数的负$n$次幂，等于这个数的$n$次幂的倒数。拓展：$\dfrac{1}{a^{-n}}=a^n$。2.**零指数幂**：$a^0=1\quad(a\neq0)$。3.正整数指数幂的运算性质，对负整数指数幂仍然成立（底数不为0）：-$a^m\cdota^n=a^{m+n}$-$(a^m)^n=a^{mn}$-$(ab)^n=a^nb^n$-$a^m\diva^n=a^{m-n}$\(\boldsymbol{4}\).**科学记数法（小于1的小数）**：绝对值小于1的正数可以写成$a\times10^{-n}$，其中$1\lea<10$，$n$是正整数，$n$等于原数左边起第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）。5.提醒：**底数不能为0**；负指数不是负号，只代表取倒数。##一、选择题1.$3^{-2}$的结果是（）A.$-\(\boldsymbol{9}\)$B.$\(\boldsymbol{9}\)$C.$\dfrac{1}{\(\boldsymbol{9}\)}$D.$-\dfrac{1}{\(\boldsymbol{9}\)}$2.计算$(-2)^{-1}$等于（）A.$2$B.$-2$C.$\dfrac12$D.$-\dfrac12$3.下列式子正确的是（）A.$0^{-2}=0$B.$(-3)^0=1$C.$a^{-1}=-a$D.$\dfrac{1}{x^{-2}}=\dfrac{1}{x^2}$\(\boldsymbol{4}\).用科学记数法表示$\(0.000025\)$，正确的是（）A.$2.5\times10^{-\(\boldsymbol{4}\)}$B.$2.5\times10^{-5}$C.$25\times10^{-6}$D.$2.5\times10^{5}$5.化简$a^2\cdota^{-3}$的结果是（）A.$a$B.$\dfrac1a$C.$-a$D.$-1$##二、填空题6.$5^{-1}=$________；$\left(\dfrac1\(\boldsymbol{4}\)\right)^{-1}=$________。7.$\left(-\dfrac13\right)^{-2}=$________。8.计算：$x^{-3}\divx^{-1}=$________。\(\boldsymbol{9}\).将$\dfrac{1}{a^{-\(\boldsymbol{4}\)}b^2}$化为只含正整数指数幂的形式：________。10.若$(x-2)^0+(x-3)^{-1}$有意义，则$x$的取值范围是________。##三、解答题（写出完整步骤）11.计算：（1）$\(\boldsymbol{4}\)^{-2}$；（2）$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{-3}$12.计算：（1）$a^{-2}\cdota^{5}$；（2）$(x^{-2}y^3)^{-2}$13.计算：（1）$2^0-3^{-1}+\left(\dfrac12\right)^{-1}$（2）$(2\times10^{-3})\times(3\times10^{-\(\boldsymbol{4}\)})$1\(\boldsymbol{4}\).把下列各式化成只含有正整数指数幂的形式：（1）$m^{-2}n^3$；（2）$\dfrac{a^{-3}b}{c^{-2}}$15.用科学记数法表示下列各数：（1）$\(0.0000036\)$；（2）$\(0.000102\)$##四、拓展探究16.小红计算：$(-3)^{-2}=-3^2=-\(\boldsymbol{9}\)$，哪里错了？写出正确过程。17.已知$a=2^{-1}$，$b=3^0$，$c=\left(\dfrac1\(\boldsymbol{4}\)\right)^{-1}$，比较$\(a,b,c\)$的大小。18.一个纳米粒子的直径是$35$纳米，$1$纳米$=10^{-\(\boldsymbol{9}\)}$米，请用科学记数法表示该直径为多少米。---##参考答案与解析1.C解析：$3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac1\(\boldsymbol{9}\)$2.D解析：$(-2)^{-1}=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac12$3.B解析：A，0的负指数幂无意义；C，$a^{-1}=\dfrac1a$；D，$\dfrac{1}{x^{-2}}=x^2$。\(\boldsymbol{4}\).B解析：$\(0.000025\)=2.5\times10^{-5}$5.B解析：$a^2\cdota^{-3}=a^{2-3}=a^{-1}=\dfrac1a$6.$\boldsymbol{\dfrac15}$；$\boldsymbol{\(\boldsymbol{4}\)}$7.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{9}\)}$解析：$\left(-\dfrac13\right)^{-2}=\dfrac{1}{\left(-\dfrac13\right)^2}=\(\boldsymbol{9}\)$8.$\boldsymbol{x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}}$\(\boldsymbol{9}\).$\boldsymbol{a^\(\boldsymbol{4}\)b^2}$10.$\boldsymbol{x\neq2\(\boldsymbol{x\neq2且x\neq3}\)x\neq3}$解析：零指数要求底数≠0，负指数分母≠0。11.（1）$\(\boldsymbol{4}\)^{-2}=\dfrac{1}{\(\boldsymbol{4}\)^2}=\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}$（2）$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{-3}=\dfrac{1}{\left(-\dfrac{2}{5}\right)^3}=\dfrac{1}{-\dfrac{8}{125}}=\boldsymbol{-\dfrac{125}{8}}$12.（1）$a^{-2}\cdota^{5}=a^{-2+5}=\boldsymbol{a^{3}}$（2）$(x^{-2}y^3)^{-2}=x^{(-2)\times(-2)}y^{3\times(-2)}=\boldsymbol{x^{\(\boldsymbol{4}\)}y^{-6}=\dfrac{x^\(\boldsymbol{4}\)}{y^6}}$13.（1）原式$=1-\dfrac13+2=\boldsymbol{\dfrac83}$（2）原式$=6\times10^{-3+(-\(\boldsymbol{4}\))}=\boldsymbol{6\times10^{-7}}$1\(\boldsymbol{4}\).（1）$m^{-2}n^3=\boldsymbol{\dfrac{n^3}{m^2}}$（2）$\dfrac{a^{-3}b}{c^{-2}}=\boldsymbol{\dfrac{bc^2}{a^3}}$15.（1）$\(0.0000036\)=\boldsymbol{3.6\times10^{-6}}$（2）$\(0.000102\)=\boldsymbol{1.02\times10^{-\(\boldsymbol{4}\)}}$16.错误：负指数幂是取倒数，不是直接把指数的负号拿到前面；不能把$(-3)^{-2}$当成$-(3^2)$。正确：$$(-3)^{-2}=\dfrac{1}{(-3)^2}=\dfrac1\(\boldsymbol{9}\)$$17.$a=2^{-1}=\dfrac12$，$b=3^0=1$，$c=\left(\dfrac1\(\boldsymbol{4}\)\right)^{-1}=\(\boldsymbol{4}\)$所以：$\boldsymbol{\(\boldsymbol{a<b<c}\)}$18.$35\times10^{-\(\boldsymbol{9}\)}=3.5\times10\times10^{-\(\boldsymbol{9}\)}=\boldsymbol{3.5\times10^{-8}}$米答：直径是$3.5\times10^{-8}$米。##易错总结1.$a^{-n}$是**倒数**，不是负数；偶数次负指数，负底数结果为正；2.0没有负整数指数幂；零指数幂$a^0=1$前提$a\neq0$；3.指数运算公式对负指数同样适用，先算指数加减，最后再改写为正指数；\(\boldsymbol{4}\).小数科学记数法：$10$的指数是负数，数前面0的个数；5.结果一般要求**全部改写为正整数指数幂形式**，不要保留负指数在答案里。下一节是**分式方程**，需要继续这套格式的专项练习吗？人教版数学（新教材）八年级上册18.4.1负整数指数幂授课教师：.

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级：

8年级（

）班.

时

间：.

2026/11/1

第十八章分式

我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。知道负整数指数幂的意义及表示法.能运用分式的有关知识推导整数指数幂的意义.能运用分式的有关知识推导整数指数幂的意义.问题1你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质？正整数指数幂：当n是正整数时，an=a·a·…·a.n个探究新知1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将

aa，aaa，aaaa，…，写成a2，a3，a4…，所以我将，，，…，写成a-1，a-2，a-3

….”【思考】你认为牛顿的这个设想合理吗？即，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？探究新知由分式的约分可知，当a≠0时，a3÷a5=把正整数指数幂的运算性质am

÷an=am-n

(a≠0，m，n都是正整数，m＞n)中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，则有

a3÷a5=a3

-

5=a-2探究新知由上面两式，如果规定，就能使am÷an=am–n这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形.am÷an=am–n（a≠0，m，n是正整数）.可以m＞n；可以m=n；可以m＜n.a3÷a5=a3

-

5=a-2a3÷a5=归纳总结负整数指数幂的意义一般地，当

n是正整数时，这就是说，a-n

(a≠0)是

an的倒数.a–n=(a≠0).a-n

(a≠0)属于分式探究新知【思考】引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质am·an=am+n（m，n是正整数）能否推广到m，n是任意整数的情形？引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数.探究新知【总结】一般地，am∙an=am+n这条性质对于m、n是任意整数的情形仍然适用.探究新知事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂.（n是整数）；am∙an=am+n（m，n是整数）；(am)n=amn（

m，n是整数）；

(ab)n=anbn

（n是整数）；am÷an=am–n（a≠0，m，n是整数）；整数指数幂的运算性质：1.

下列结果正确的是(

)A

C

返回

C

A

返回例题练习解：(1)(2)(3)(4)计算：（1）a-2÷a5

（2）

（3）(a-1b2)3

（4）探究新知根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，am

÷an=am-n

，am∙a-n=am+(-n)

=am-n

，因此am

÷an

=am∙a-n即同底数幂的除法am

÷an可以转化为同底数幂的乘法am∙a-n探究新知特别地，，所以，即商的