广东省深圳市部分学校2026-2027学年高二上学期10月期中数学试卷（含答案）

2026—2027学年度第一学期高二年级第一阶段质量监测数学试题时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A(2,2,3)，B(-1,2,1)，则A.3 B.13 C.13 D.122.已知直线l经过点A(0,1)，B(2,9)，则直线lA.-4 B.4 C.143.直线a,b的方向向量分别为a,b，平面α,A.若a∥α，则a⊥n B.若C.若α⊥β，则n∥m D.若4.过点A(2,1)A.x-y=1C.x-2y=0或x+y=35.已知平面α经过点A(2,1,0)，其一个法向量为n=(2,-1,2)，则点P(2,1,6)到平面A.2 B.3 C.4 D.66.如图，已知四面体ABCD的棱长都是4，M为棱AD的中点，则AB⋅CMA.-4 B.-2 C.27.已知A(2,-3)、B(2,1)，若直线l经过点P(0,-1)，且与线段AB有交点，则A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.[-2,2] C.(-∞,-1]∪试卷第1页（共4页）8.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，且AB=2，光线从AB边上的中点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（反射点分别为Q，R），则光线经过的路径总长PQ+QR+RP=A.10 B.15 C.210 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.关于直线l:A.直线l的倾斜角为πB.直线l在y轴上的截距为2C.直线l经过第一、三、四象限D.直线l与直线x+y10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若非零向量a,b,c满足a⊥B.若对空间中任意一点O，有OP=12OA+C.若空间向量a=(0,1,1)，b=(1,1,2)，则a在b上的投影向量为D.已知直线l的方向向量为a=(2,1,-1)，平面α的法向量为b=(-4,-2,2)，则l∥α11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=A点Q为棱AA1A.BC1∥B.四棱锥Q-CBB1C.BQ+C1QD.直线AB与平面A1CM所成角的正弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线3x+4y-3=0与直线13.若A(5,-1)，B(1,1)，C(2,3)，则△ABC14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P试卷第2页（共4页）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题13分）已知向量a=(1,0,1),(1)2a(2)a,(3)求a与b的夹角θ．16.（本小题15分）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1)求边AC所在的直线的一般式方程；(2)求BC边上的中线AM所在直线的一般式方程；(3)求边AB上的高所在直线的一般式方程．17.（本小题15分）四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD(1)求证：平面PAC⊥平面PBD(2)设点M为棱PC的中点，求直线BM与平面PBD所成角的正弦值．试卷第3页，共4页18.（本小题17分）已知直线l:((1)求证：直线l过定点；(2)若P(2,1)到直线l的距离最大，求a(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．19.（本小题17分）在如图所示的实验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN长度保持相等，记CM=BN=a(1)求证：MN∥平面CBE(2)求MN的长，并求其最小值；(3)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．试卷第4页（共4页）2026-2027学年度第一学期高二年级第一阶段质量监测数学试题参考答案题号12345678910答案CBADCADAABBC题号11答案ACD1.C【详解】1.已知A(2,2,3)，B(-1,2,1)，则2.B【详解】直线l的斜率k=3.【答案】A【知识点】空间位置关系的向量证明【详解】选项A，若直线a∥α，直线a的方向向量a平行于平面α，而平面α的法向量n⊥α，因此a选项B，若直线方向向量a∥b，则直线a∥b，不是a选项C，若平面α⊥β，则两个平面的法向量n⊥m选项D，若直线b⊥α，则直线b的方向向量与平面α的法向量n平行，不是垂直，故D故选：A.4.D【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：a，b，则a①a=b②a≠0,b≠0则b=-a，则设直线方程为：xa+y综上所述：该直线方程为x-2y=0故选：D5.C【详解】已知点A(2,1,0)在平面α上，连接平面内点A和待求点PAP=(2-2,1-1,6-0)=(0,0,6)答案第1页（共10页）点到平面的距离公式为：点与平面内任意一点构成的向量，在平面法向量方向上的投影的绝对值，即d=因为AP⋅n=0×2+0×(-1)+6×2=12所以点P到平面α的距离为：d=6.A【详解】∵四面体ABCD的棱长都是4，∴四面体的4个面均为边长是4的等边三角形，∵点M为棱AD的中点，∴AM∴AB=-4×4×1故选：A.7.D【详解】过点P作PC⊥AB，垂足为点设直线l交线段AB于点M，设直线l的斜率为k，且kPA=-当点M在从点A运动到点C（不包括点C）时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时-1=当点M在从点C运动到点B时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时0≤k综上所述，直线l的斜率的取值范围是[-1,1]．答案第2页（共10页）故选：D.8.A【详解】以A为坐标原点，AB、AC分别为x轴y轴建立平面直角坐标系，因为△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，且AB=2，则lBC:x+y-2=0，点P(1,0)，所以点P关于y轴的对称点为P1(-1,0)，设点P关于直线lBC:x+y9.AB【详解】直线l:x-y+2=0对于A，直线l的斜率为1，所以倾斜角为π4，故A对于B，当x=0时，y=2，所以在y轴上的截距为2，故对于C，作出直线l的图象如下：由图象可知直线l经过第一、二、三象限，故C错误；对于D，直线x+y-1=0的斜率为-1，与直线l故选：AB.10.BC【详解】对于A，若a=(1,0,0)，b=(0,1,0)，c=(0,0,1)，则满足a⊥b，c⊥b，此时a与c对于B，∵OP=12OA+23OB-对于C，a在b上的投影向量为a⋅bb对于D，∵a⋅b=-8-2-2=-12，∴a与b不垂直，∴l与α不平行且不在故选：BC.11.ACD【详解】以点A为坐标原点，AC、AB、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B则A1M=(0,1,-2)，A对于A，设平面A1CM的一个法向量为由m⋅A1M令x=1，则y=2，z=1，所以平面A1CM∴m⋅BC1=2-4+2=0，BC1⊄平面A1对于D，设直线AB与平面A1CM所成角为AB=(0,2,0)，所以sinθ=对于B，过点A作AE⊥BC，垂足为E，又因为BB1⊥平面ABC，AE所以AE⊥BB1，BC∩BB1=B,BC,BB因为AA1∥BB1,BB1⊂平面CBB1C所以点A和点Q到平面CBB1因为∠BAC=90°，AB=AC=2，所以BC=2所以四棱锥Q-CBB1C1对于C，展开侧面得出矩形CBB1C1，当连接BC1交ABQ+C1Q的最小值为BC故选：ACD.12.2【详解】直线3x+4y-3=0则它们之间的距离是|-3-7|13.5【详解】kAB=-1-15-1=-12，故答案为：5.14.-【详解】设正方体外接球球心为O，外接球半径为3，设正方体边长为a，3a=6，a=23PM⋅故答案为：-615.【详解】（1）因为向量a=(1,0,1)，b=(2,-2,0)，所以2a+b=(2,0,2)+(2,-2,0)=(4,-2,2)（2）由题意，向量a=(1,0,1)，b∴a=1（3）因为a⋅b=1×2+0×(-2)+1×0=2，所以cosθ=a⋅由θ∈[0,π]，可得16.【详解】（1）由A(4,0),得所在的直线的斜率kAC=3-00-4所以AC所在的直线的方程：y-3=-34x，即所以边AC所在的直线的一般式方程：3x+4y-（2）由A(4,0),得BC的中点M坐标为(3,5)， 6分AM所在的直线的斜率kAC=5-03-4所以中线AM所在直线的方程：y-5=-5(x-3)，即所以中线AM所在直线的一般式方程为5x+y-（3）由A(4,0),B(6,7),C(0,3)得，边AB的斜率所以边AB上的高所在直线的斜率k=-27，所以AB上的高所在直线的方程为：y-3=-27即2x所以边AB上的高所在直线的一般式方程为2x+7y-17.【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)、C(2,2,0)、P(0,0,2)、B(2,0,0)、D则AC=(2,2,0)，AP=(0,0,2)，BP=(-2,0,2)，DP=(0,-2,2)设平面APC的法向量为m=(x,y,z)，则m设平面PBD的法向量为n=(a,b,c)，则n所以m⋅n=0，所以平面PAC⊥平面PBD（2）因为点M为棱PC的中点，所以M(1,1,1)， 9所以BM=(-1,1,1)， 11设直线BM与平面PBD所成角为θ，所以sinθ=n⋅所以直线BM与平面PBD所成角的正弦值为13， 1518.（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标；（2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离；（3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程.(1)证明：由直线l:(aay-2ax-y+3x则由y-2x=0-y+3故直线l过定点Q(1,2)； 5（2）当动直线l满足定点Q(1,2)与直线外点P(2,1)的连线垂直于lP(2,1)到直线l的距离最大， 6因为kPQ=2-11-2=-1，则因为l:(a-1)y=(2a-3)x（3）由l:(a当y=0时，x=-12a-3；当x因为直线与坐标轴交于正半轴，故-12a-3>01此时三角形面积为S=12×要使面积取最小值，只需取y=2a由y=2a2-5当a=54时，y=2a2-5------------------16分此时直线方程为54-1y=2×519.【详解】(1)由题意，因为四边形ABCD，ABEF均为正方形，所以AB⊥BC，又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BC⊂平面所以BC⊥平面ABEF.因BE⊂面ABEF，所以BE⊥BC，即直线BA,BE,BC故可以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系：因为正方形ABCD，ABEF的边长为1，所以B(0,0,0)，A因为CM=BN=a，所以N22所以