高中数学人教A版（2019）必修第一册 1.1集合的概念 练习（含解析）

1.1集合的概念练习一、单选题1．若集合，则集合中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取（

）A．1 B．-1 C．-1和1 D．03．设整数,集合.令集合若和都在中,则下列选项正确的是A．, B．,C．, D．,4．下列各组对象不能构成集合的是（

）A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数C．2023年高考数学难题 D．所有无理数5．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形6．下列各组对象可构成一个集合的是（

）A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生7．集合中的元素个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．设集合，集合且，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（

）A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1C．若，则 D．若n=1，则10．若集合中含有3个元素，则实数的取值可以是（

）A． B． C．6 D．211．下列说法错误的是A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为B．方程的解集为C．集合与是同一个集合D．若，则12．若，则有（

）A． B．C． D．函数的最大值为－2三、填空题13．已知集合，则集合中元素的个数是.14．对于任意两个正整数，，定义运算⊕如下：①当，奇偶性相同时，；②当，奇偶性不同时，．若集合，则的元素个数为．15．已知集合，，若且，则．16．用列举法表示集合＝四、解答题17．集合可化简为以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？试说明理由.学生甲：由得或，故；学生乙：问题转化为求直线与抛物线的交点，得到.18．若集合具有以下性质：①；②若，则，且时，.则称集合是“好集”.(1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论；(2)设集合是“好集”，求证：若，则；(3)设集合是“好集”，求证：若，则；19．已知集合中的元素都是正整数，对任意，定义.若存在正整数k，使得对任意，都有，则称集合S具有性质.记是集合中的最大值.（1）判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论；（2）若集合S具有性质，求证：①；②.参考答案：1．C【分析】根据条件，直接写出集合，即可得到结果.【详解】由，即，所以集合中的元素个数为5个，故选：C.2．C【分析】根据集合中元素的互异性即可得答案.【详解】由集合元素的互异性知，a2≠1，即.故选：C【点睛】本题考查元素的互异性，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.3．B【详解】特殊值法,不妨令,,则,,故选B．如果利用直接法:因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.【考点定位】新定义的集合问题4．C【分析】根据集合的意义，逐项判断即可.【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合；对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合；对于C，2023年高考数学难题模棱两可，给定一个2023年高考数学题不能判断其是否是难题，不能构成集合；对于D，无理数明确可知，可以构成集合.故选：C5．D【分析】由集合元素的互异性可得解.【详解】根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形.故选：D.6．D【分析】根据集合的性质判断即可.【详解】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性.故选：D7．B【解析】表示出集合A中的元素，即可得出个数.【详解】，集合A中有2个元素.故选：B.【点睛】本题考查集合元素个数的求解，属于简单题.8．C【解析】对A中元素进行讨论，若满足且则此元素是B集合中的元素.【详解】集合，集合，当时，可得；当时，可得；当时，可得.综上.故选：C【点睛】本题考查集合的含义与表示，属于基础题.9．BC【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得：.对于A:m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；对于B:,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；对于C:若，有，解得：，故C正确；对于D:若n=1，有，解得：或，故D不正确.故选：BC【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.10．AC【分析】由集合中元素的互异性列式即可求得结果.【详解】由题意知，，解得且且，故选：AC.11．BCD【分析】根据集合的定义与表示逐项分析判断．【详解】对于：因为等价于或，如果，则点在第一象限，如果，则点在第三象限，所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为，故正确；对于：由于方程的解集等价于，解得，故解集为，故错误；对于C：集合表示的函数值的取值范围，是数集，集合表示抛物线的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误；对于：因为，则，故错误，故选：BCD．12．BCD【分析】根据实数的非负性，绝对值，偶次方都是非负数，得出，解方程组得a、b、c的值，对选项A、B、C逐一判断，利用二次函数求最值判D选项.【详解】由，可得，解得，所以，故A错；由，而，当，时，，所以，故B对；，故C对；，当时，函数的最大值为－2，故D对；故选：BCD13．5【分析】分别给进行取值，可计算求得中元素，进而确定集合，得到结果.【详解】当或或时，

当，或时，或

，当，或时，或

，当，或时，或

，综上所述：，共个元素故答案为：【点睛】本题考查集合中元素个数的求解问题，关键是能够读懂描述法所表示的集合的含义，进而根据要求求得集合.14．【分析】根据定义结合已知条件，对、分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解【详解】因为，当、都是正偶数时，则集合中含有，，，，共个元素；当、都是正奇数时，则集合中含有，，，，，共个元素；当、一个为正偶数，一个为正奇数，则集合中含有，，，共个元素；所以的元素共有个.故答案为：15．【分析】直接根据确定可能的取值，由去掉不能取的值即可求解.【详解】因为，，所以可能的取值为，因为，，所以的值不能取，所以，故答案为：.16．{﹣3，﹣6，6，3，2，1}【分析】根据x∈N，且，列举求解.【详解】因为x∈N，且：当x＝0时，；x＝1时，；x＝3时，；x＝4时，；x＝5时，；x＝8时，；∴A＝{﹣3，﹣6，6，3，2，1}．故答案为：{﹣3，﹣6，6，3，2，1}．【点睛】本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.17．甲正确【分析】先解方程组得解集，再根据集合代表元素得应为数集，不是点集，即可得出结果.【详解】同学甲正确，同学乙错误.由于集合的代表元素为，因此满足条件的元素只能为和；而不是实数对，，故同学甲正确.18．(1)B不是“好集”；是“好集”(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用定义，判断集合B和有理数集是否是“好集”；（2）由，若，则，从而得出；（3）任取，若或时，显然；且时，有，则，得，有，即.【详解】（1）B不是“好集”,理由是：，，而，∴B不是“好集”；是“好集”，理由是：，；对任意，，有，且时，，∴有理数集Q是“好集”.（2）因为集合是“好集”，所以.若，则，即.所以，即.（3）对任意一个“好集”，任取，若或时，显然.且时，由定义可知：.所以，即.所以.由（2）可得：，即.19．（1）集合具有性质，集合不具有性质；（2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】（1）根据定义，任意，都有，对集合A和B进行计算即可；（2）不妨设，（i）由得，，所以，再结合新定义即可得解，（ii）由（i）可知，对任意，都有，所以，所以，因为对任意，，所以，所以，即，再利用反证法即可得解.【详解】（1）集合具有性质，集合不具有性质.（