高中数学人教A版（2019）必修第一册 5.5三角恒等变换 练习（含解析）

5.5三角恒等变换练习一、单选题1．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．的化简结果是A． B．C． D．3．若方程在上有两个不同的实数解，则参数的取值范围是（

）．A． B． C． D．4．已知角满足，则（

）A． B． C． D．5．下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．6．已知，则（

）A． B． C． D．7．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次的天顶距分别为和，若第一次“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（

）倍A． B． C． D．8．函数的值域为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则在下列区间上单调递增的是A． B． C． D．10．已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于轴对称C．的最小值为2 D．在上为增函数11．下列正确的是（

）A． B．C． D．12．下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．已知，则.14．=.15．函数化成（，）16．若，则.四、解答题17．化简：．18．化简．19．已知，设，记（1）求证：；（2）求的表达式.20．设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；（2）若函数（且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．21．在这春光明媚的季节里，2021江苏省梁丰高级中学“校长杯”班级足球联赛正如火如荼地举行，在高一年级某场比赛中，两个班级的比赛场地为矩形（如图），现已知矩形中米，米，宽为5米的足球门在边的中间放置.（1）比赛中，同学甲在距离为18米，离为12米的地点处获得直接任意球机会，准备直接射门，求其有效射门角度；（求出的某个三角函数值即可）（2）同学乙在边线上带球突破（视作点在边上移动），准备起脚向球门射门，求该同学应在何处（长为多少米时）射门角度最佳.（即使最大）（以上问题不考虑场上其他因素）22．如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．（1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？参考答案：1．D【解析】将函数用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立的不等量关系，即可求解.【详解】，在区间上是增函数，，.当时，取得最大值，而在区间上恰好取得一次最大值，，解得，综上，.故选:D.【点睛】本题考查三角函数恒等变换、正弦函数的性质，整体代换是解题的关键，属于中档题.2．A【分析】先整理，再由两角和正弦的展开式逆用可得解.【详解】故选A.【点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用，涉及诱导公式的化简，属于基础题.3．A【分析】先利用辅助公式将原方程化得，再将问题转化为与的交点问题，结合图像，易得的取值范围.【详解】依题意，由得，原方程可化为，令，，则原方程在上有两个不同的实数解，转化为与的图像在上有两个交点，作出与的图像，结合图像，可得，即．故选：A．.4．A【分析】由诱导公式将所给式子化简得，得，再根据二倍角公式可得出的值.【详解】由得：，即，.故选：A.【点睛】本题考查诱导公式和余弦二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.5．B【分析】根据三角恒等变换公式计算每个式子的值，即可得答案；【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对D，，故D错误；故选：B.【点睛】关键点点睛：本该题考查利用三角恒变换中的二倍角公式、同角三角函数的平方关系求值，能够熟练掌握并应用相应的公式是正确解题的关键.6．A【分析】应用，结合两角和的余弦即可求解.【详解】,则.故选：A7．B【分析】由题意可得，，再根据结合两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意可得，，所以，即第二次的“晷影长”是“表高”的倍.故选：B8．B【分析】利用降幂公式，两角和的余弦公式化简函数，再结合辅助角公式，即可求得函数的值域.【详解】∵函数∴，其中.∵∴函数的值域为.故选：B.9．ACD【解析】逆用两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的单调增区间求出的单调增区间，即可得到答案.【详解】.令，，可得，.当时，函数在上单调递增.又，，所以C，D满足题意；当时，函数在上单调递增，所以A满足题意.故选：ACD.【点睛】本题考查了用用两角和的正弦公式，考查了正弦函数的递增区间，属于基础题.10．AD【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可判断A正确；举反例即可排除B；取特殊值计算即可判断C错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D正确.【详解】对于A，因为，设的正周期为，则，即，所以，由诱导公式可得，即，又，故，即，则，故，所以的最小值为，即的最小正周期为，故A正确；对于B，因为，又与不关于轴对称，所以的图象关于轴对称，故B错误；对于C，因为，所以2不是的最小值，故C错误；对于D，因为，所以，故在上单调递减，且，又在上单调递减，所以在单调递增，故D正确.故选：AD.11．CD【分析】利用三角函数的诱导公式及两角和与差的三角函数公式的逆应用，逐一计算四个选项是否正确即得结果.【详解】对于A，因为所以，故A错误；对于B，，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，故D正确.故选：CD.12．BC【分析】逆用二倍角的余弦、正切、正弦公式计算判断A，B，C；用特殊角的三角函数值计算判断D作答.【详解】由二倍角的余弦公式，得，A不正确；由二倍角的正切公式，得，B正确；由二倍角的正弦公式，得，C正确；，D不正确.故选：BC13．【分析】根据同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角差的正切公式计算即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故答案为：.14．1【分析】根据式子结构，分子分母同除cos6°，构造一系列符合二倍角正弦公式的形式，再用诱导公式，约分即可.【详解】故答案为：1.【点睛】三角化简的方法：直接用公式、切割化弦、异名化同名、异角化同角.15．【分析】根据二倍角公式和辅助角公式整理即可.【详解】解：.故答案为：16．【分析】根据诱导公式和二倍角公式可求.【详解】.故答案为：.17．【分析】由于侧重角度不同，出发点不同，所以本题化简的方法不止一种．法一：利用半角公式把化为，化为；法二：函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；（3）次数为2（有降次的可能）；（4）有平方项（可以进行配方）．【详解】法一（“角”入手，“倍角”变“单角”）:原式．法二（从“名”入手，“异名”化“同名”）：原式．法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）：原式．法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）：原式．18．【分析】法1：由倍角余弦公式得，以此形式及和差角余弦公式化简求值；法2：应用和差角正弦公式及平方关系化简求值.【详解】法1：由倍角公式，得．原式．法2：．19．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由已知可得，然后结合和差角的正弦公式展开后再结合同角基本关系即可求解；（2）由已知结合两角和的正切公式即可求解即可.【详解】（1）由，得：即故.（2）由，得：即解得：，故.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦及正切公式的简单应用，属于中档题.20．（1）（2）见解析（3），【分析】（1）利用列方程，并用二倍角公式进行化简，求得或，进而求得集合.（2）由，得（且），化简后根据的取值范围，求得的取值范围.（3）首先根据为偶函数，求得当时，的解析式，从而求得当时，的解析式.依题意“当，恒成立”，化简得到，根据函数解析式的求法，求得时，以及，进而求得函数在集合上的解析式.【详解】（1）由得化简得，，所以或．由解得或，，即或，．又由解得，．所以集合，或，即集合．（2）证明：由，得（且）．变形得

，所以．因为，则，所以．（3）因为函数在上是偶函数，则．当，则，所以．所以，因此当时，．由于与函数在集合上“互换函数”，所以当，恒成立．即对于任意的恒成立．即．于是有，，．上述等式相加得，即．当（）时,，所以．而，，所以当时，，【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查二倍角公式和特殊角的三角函数值，考查指数运算和指数函数的值域，考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.21．（1）；（2）.【分析】（1）分别作，，，，由两角和的正切公式求得即得；（2）设，，，，由两角差的正切公式求得，再结合基本不等式求得最大值可得．【详解】（1）分别作，，垂足分别为，，由题意可知米，米，米，米，所以米，米，在中，，在中，，∴（2）设，，，，当且仅当时等号成立，此时最大，所以该同学应在距离点为时射门角度最佳22．（1）（千米）；（2）（万元）.【解析】（1）根据P位于弧的中点，则P位于的角平分线上，然后分别在正中求解.（2）设，，然后分别在表示，，在中由余弦定理表，再由求解.【详解】（1）由P位于弧的中点，在P位于的角平分线上，则，，由，且，∴为等边三角形，则，三条街道的总长（千米）；（2）设，，则，，，，由余弦定理可知：，，则|，