第2课时 有理数的加减混合运算

第2课时有理数的加减混合运算教学目标课题2.1.2第2课时有理数的加减混合运算授课人素养目标1.熟练掌握有理数的加法和减法运算.2.掌握有理数的加减混合运算，能用加法运算律简化运算，提高运算能力.3.能运用有理数的加减混合运算解决简单实际问题，增强应用意识.4.利用减法求数轴上两点之间的距离，体会数形结合的思想.教学重点1.将有理数的加减混合运算统一为加法运算.2.在有理数的加减混合运算中运用加法运算律简化运算.教学难点1.在加减混合运算中灵活地使用运算律.2.用减法求数轴上两点之间的距离.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课【情境导入】如图，某地在节日期间进行无人机灯光表演.若表演从空中某一高度开始，下表是其中一架无人机的高度变化情况：高度变化记作上升2.5m＋2.5m下降3.2m－3.2m上升1.1m＋1.1m下降1.4m－1.4m此时无人机比起始点高还是低，高或者低多少米？如何列式计算？2.5－3.2＋1.1－1.4.这个式子中既有加法又有减法，这节课我们就来学习有理数的加减混合运算.【教学建议】让学生交流讨论，指定学生代表回答，酌情引导学生列出算式，若学生列出2.5＋（－3.2）＋1.1＋（－1.4）要予以认可，并让学生尝试计算.设计意图借助现实生活中的情境，激发学生学习兴趣，启发学生用有理数的运算解决实际问题，引出有理数加减混合运算的学习.活动二：问题引入，合作探究探究点1有理数的加减混合运算问题（教材P32例5）计算（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）.（1）联想小学学过的知识，用加减混合运算的方式该怎么计算？从左到右依次计算：（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）＝（－17）－（－5）－（＋7）＝（－12）－（＋7）＝－19.联想有理数减法法则，只用加法该怎么计算？即可以先根据有理数减法法则，把减法转化为加法，再进行有理数的加法运算：（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）＝（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7）＝［（－20）＋（－7）］＋［（＋3）＋（＋5）］＝（－27）＋（＋8）＝－19.（3）以上两种算法结果相同吗？由此你可以得到什么结论？两种算法的结果相同.结论：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算归纳总结：思考：（1）算式（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7）是－20，＋3，＋5，－7这四个数的和，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为－20＋3＋5－7.这个算式可以读作“负20、正3、正5、负7的和”，或读作“负20加3加5减7”.（2）由（1）可知，（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）的运算过程还可以怎样简写？（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）＝－20＋3＋5－7＝－20－7＋3＋5＝－27＋8＝－19.例1（教材P33例6）计算14－25＋12－17.【对应训练】教材P34练习第1，2题.【教学建议】指定学生代表回答问题，教师酌情引导学生利用加法运算律解答问题（2）.通过对两种算法的比较，让学生体会加减混合运算可以统一成加法.【教学建议】提醒学生：（1）在一个式子中，如果第一个数带有负号，通常可以不用括号把这个数括起来；（2）把－20＋3＋5－7这个式子看成一个和，便于直接运用加法运算律.要和学生强调，在简写后的加法算式中，使用加法交换律简化加减混合运算，交换加数的位置时，要连同该数的符号一起交换，这是个易错点.指定学生代表回答对应训练中的问题，检查运算过程和简写过程有无问题，并提醒其他学生注意.设计意图以问题串的形式探究有理数的加减混合运算，引导得出加减混合运算可统一成加法运算的结论，再借助运算律简化运算，并能简化写法，有效提高学生的运算能力.设计意图探究点2利用有理数的减法求数轴上两点之间的距离问题（教材P33探究）在数轴上，点A，B分别表示数a，b.对于下列各组数a，b：a＝2，b＝6；a＝0，b＝6；a＝2，b＝－6；a＝－2，b＝－6.（1）观察点A，B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？如图.当a＝2，b＝6时，点A，B之间的距离为4；当a＝0，b＝6时，点A，B之间的距离为6；当a＝2，b＝－6时，点A，B之间的距离为8；当a＝－2，b＝－6时，点A，B之间的距离为4.（2）利用有理数的运算，你能用含有a，b的算式表示上述各组点A，B之间的距离吗？当a＝2，b＝6时，点A，B之间的距离为4＝6－2；当a＝0，b＝6时，点A，B之间的距离为6＝6－0；当a＝2，b＝－6时，点A，B之间的距离为8＝2－（－6）；当a＝－2，b＝－6时，点A，B之间的距离为4＝（－2）－（－6）.思考：一般地，你能发现点A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗？归纳总结：点A，B之间的距离等于a，b中较大的数减去较小的数的差，总是一个大于或等于0的数，引入绝对值，可总结为点A，B之间的距离为|a－b|.【教学建议】学生口答问题（1），指定学生代表回答问题（2），酌情引导学生关注a－b的正负，结合绝对值的性质，将算式统一成|a－b|的形式.通过具体实例逐步让学生了解如何利用减法求数轴上两点之间的距离，并综合绝对值，将数轴与减法联系起来，体会数形结合的思想.活动三：知识延伸，巩固升华例2某人的账户近期在手机银行上办理了8项业务：转出950元，转入500元，转出800元，转入1200元，转入2500元，转出500元，转出200元，转入400元.这时，该账户上的钱是增加了，还是减少了？增加或减少了多少元？解：记转入为正，转出为负.由题意，得－950＋500－800＋1200＋2500－500－200＋400＝（500－500）－950－800－200＋1200＋2500＋400＝0－1950＋4100＝2150.答：该账户上的钱增加了，增加了2150元.【对应训练】一家电脑公司仓库原有电脑100台，一个星期内调入、调出的电脑记录是：调入38台，调出42台，调入27台，调出33台，调出38台.这个仓库现有电脑多少台？解：记调入为正，调出为负.由题意，得100＋38－42＋27－33－38＝（38－38）＋100＋27－42－33＝0＋127－75＝52.答：这个仓库现有电脑52台.【教学建议】先引导学生观察题中有无具有相反意义的量，再规定正负，并列式计算.运算过程中提醒学生先观察算式中有无相反数，有相反数先提出来单独计算，其余部分再借助加法运算律灵活计算.设计意图将新知识应用到实际问题中，使学生进一步掌握有理数的加减混合运算，提高运算能力与应用意识.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.有理数加减混合运算的步骤是什么？2.你会求数轴上两点之间的距离吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P35习题2.1第5题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计第2课时有理数的加减混合运算1.有理数加减混合运算的基本步骤2.利用有理数的减法求数轴上两点之间的距离3.利用有理数加减混合运算解决实际问题教学反思通过一个现实情境，引出本节课的重点学习内容，再通过对同一算式两种算法的比较、分析，让学生体会到加减混合运算可以统一成加法，以及加减混合运算可以写成省略括号和加号的形式，继而利用加法运算律简化计算.接着借助具体例子使学生了解用有理数的减法求数轴上两点之间的距离，体会数形结合的思想.在例题的讲解中，教师重点强调解题的规范性和每一步的理论依据，帮助学生更好地理解计算的过程，提高学生的运算能力与应用意识.解题大招有理数的加减混合运算有理数的加减混合运算的基本步骤①将加减混合运算统一为加法运算；②省略括号和加号进行简写；③利用加法运算律简化运算注意①在用加法运算律简化运算的过程中，之前学过的常用简化方法（如同号结合法、相反数结合法、同分母结合法、凑整结合法等）依然适用，区别只是算式经过了简写；②对于算式中有绝对值的，先去绝对值符号再计算例计算：（＋14）－（＋4）＋（－2）－（－26）＋（－3）；（2）（－eq\f(7,10)）－（－2.3）＋（－0.1）－（＋2.2）＋（＋eq\f(7,10)）＋（＋3.5）；（－eq\f(1,4)）－（－eq\f(5,7)）＋（－0.75）＋eq\f(2,7)－（＋eq\f(13,25)）；（－6eq\f(3,8)）＋|0－2eq\f(1,2)|－（＋8eq\f(5,8)）＋|－3eq\f(1,2)|.解：（1）原式＝14－4－2＋26－3＝14＋26－4－2－3＝40－9＝31；（2）原式＝－eq\f(7,10)＋2.3－0.1－2.2＋eq\f(7,10)＋3.5＝（－eq\f(7,10)＋eq\f(7,10)）＋（2.3－0.1－2.2）＋3.5＝0＋0＋3.5＝3.5；（3）原式＝－Ａeq\f(1,4)＋eq\f(5,7)－eq\f(3,4)＋eq\f(2,7)－eq\f(13,25)＝（－eq\f(1,4)－eq\f(3,4)）＋（eq\f(5,7)＋eq\f(2,7)）－eq\f(13,25)＝－1＋1－eq\f(13,25)＝－eq\f(13,25)；（4）原式＝－6eq\f(3,8)＋2eq\f(1,2)－8eq\f(5,8)＋3eq\f(1,2)＝－6eq\f(3,8)－8eq\f(5,8)＋2eq\f(1,2)＋3eq\f(1,2)＝－15＋6＝－9.培优点利用有理数的减法求数轴上两点之间的距离阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题.例如：|4－（－1）|表示4与－1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与－1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；类似地，|5＋3|＝|5－（－3）|表示5，－3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a，b，那么点A，B之间的距离可以表示为|a－b|.解决问题：如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为－3和8，数轴上另有一个点P表示的数为x，试探索：（1）①点A，B之间的距离为11；②点P，A之间的距离为|x＋3|；（用含x的式子表示）（2）①若点P在A，B两点之间，则|x＋3|＋|x－8|的值为11；②若|x＋3|＋|x－8|＝13，则点P表示的数x为－4或9.解析：（1）①点A，B之间的距离为|－3－8|＝11.②点P，A之间的距离为|x－（－3）|＝|x＋3|.（2）①根据题意，|x＋3|＋|x－8|的值就等于点P到A，B两点的距离之和.因为点P在A，B两点之间，所以易得|x＋3|＋|x－8|的值等于点A，B之间的距离，即为11.②因为|x＋3|＋|x－8|＝13，所以点P到A，B两点的距离之和为13，此时点P应在点A的左侧或点B的右侧.当点P在点A左侧时，点P到点A的距离应为（13－11）÷2＝1，所以此时点P表示的数为－3－1＝－4；同理，当点P在点B右侧时，点P到点B的距离应为1，此时点P表示的数为8＋1＝9.所以点P表示的数x为－4或9.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.某品牌酸奶外包装上标明“净含量:300mL±5mL”,随机抽取该品牌四种口味的酸奶分别称重如下表.其中,净含量不合格的是()种类原味草莓味香草味巧克力味净含量/mL295300310305A.原味 B.草莓味C.香草味 D.巧克力味2.下列大小比较错误的是()A.|-34|<-(-911) B.-(+214)<-[-(-C.-|-(-6)|<-(+5) D.-0.01>-0.13.某玩具商店周年店庆,全场八折促销,持会员卡可在促销活动的基础上再打六折.某电动玩具车原价300元,小明持会员卡购买这个电动玩具车需要花()元.A.240 B.180C.160 D.1444.将数据42000000用科学记数法表示为()A.0.42×108 B.4.2×106C.4.2×107 D.42×1065.某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的价格为10元/本,乙种读本的价格为8元/本.设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为()A.8x元 B.10(100-x)元C.8(100-x)元 D.(100-8x)元6.下列说法中正确的是()①-0.5x2y3与5y2x3不是同类项;②两个单项式的和一定是多项式;③2π与-4是同类项;④单项式mn3的系数与次数之和为4.A.①② B.②③C.①③ D.②④7.老师在课堂上讲去括号法则时,给出一道题:2(a+b)-3(a+b),甲、乙分别给出了不同的解法:甲乙2(a+b)-3(a+b)=(2-3)(a+b)=-(a+b)=-a-b.2(a+b)-3(a+b)=2a+2b-(3a+3b)=2a+2b-3a-3b=-a-b.则去括号正确的是()A.甲对,乙错 B.甲和乙都错C.甲和乙都对 D.甲错,乙对8.在古代,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.有位父亲为了准确记录孩子的出生天数,在粗细不同的绳子上打结(如图),由细到粗(右细左粗),满七进一,那么孩子已经出生了 ()A.1335天 B.516天C.435天 D.54天9.如果关于x的代数式4x2+2x-1与ax2+x+a的和不含x2项,那么这个和为 ()A.3x-5 B.3x+3 C.4x-4 D.3x-310.已知A=4x2-2x,B=x,C=2-x2,D=y2,E=y-x.则下列说法正确的个数是 ()①多项式A+4C+B+D-E的值与x的取值无关;②当x2-13y2=2时,多项式A+3B+C-D+E③存在正整数x和正整数y,使得D-C=11.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题(将结果填在题中横线上)11.计算:-2-(-3)=.

12.请回忆有理数的运算法则,写出下列相关运算的第一步:(1)-8-5=-8+();(2)12÷(-2)=12×(13.某细菌的直径为0.696μm,用四舍五入法将数据0.696精确到百分位的近似数为.

14.计算:-[-(+2)]=,-|-2|=.

15.-4m2-5m+2m2+6m+3m2合并同类项的结果为.

16.一个“数据转换器”的示意图如图所示,它的作用是求转换器内各代数式的和.现输入x的值,经过转换器,输出的值为y.若无论输入的x为何值,输出的y值不变,则m=.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:(1)(-85)×154÷((2)-32+(78-1)×(-2)218.以下是小方化简整式3x-2(x+y)的解答过程,他的解答过程是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答过程.解:3x-2(x+y)=3x-2x+y=1+y.19.先化简,再求值:(1)2(2x-3)-3(13x+1),其中x=2(2)已知3x-my2与2x3y4-n是同类项,求3(m+n)-12(m-n)-5(m+n)+12(m-n20.在一次考试中,晓珊将题目“若m=-1,n=1,则多项式2mn3-3(m4n-mn3)-5(mn3+2n2)+11n2的值为”中的已知条件“m=-1,n=1”看成了“m=1,n=1”,并进行了计算.但试卷批改出来后,该题的答案竟然填对了,晓珊百思不得其解,请帮晓珊解释为什么.

21.小明有以下8张卡牌,第一组卡牌上标有数,第二组卡牌上标有多项式,请你根据要求完成以下任务.第一组:1-42-3第二组:a2+bab-ba2+12a-2任务1:请在第一组卡牌中选择3张卡牌,使所标数的积最小,请列出算式并求得结果;任务2:请在第一组中选择1张卡牌,在第二组中选择2张卡牌,将这3张卡牌上所标的数与多项式相加,化简结果为二项式,请列出算式并求其结果.22.三个连续的奇数(均为一位数),最大的数是2n+1,将这三个连续的奇数按照从小到大的顺序排列(即最小的数位于百位,最大的数位于个位),得到一个三位数,记为M.(1)用整式表示M,并化简;(2)若将这三个连续的奇数按照从大到小的顺序排列,所得到的三位数记为N,则N-M的值是否为定值?请通过计算说明.23.如图,每个小正方形的面积均为1,第1个等式:2+4=2×3第2个等式:2+4+6=3×4第3个等式:

……据此规律:(1)请写出第3个等式:;

(2)猜想第n个等式为(用含n的等式表示);

(3)已知如上图所示的一个草垛的最底端有2024支小正方形草束,则这堆草垛共有多少支草束?24.【感悟方法】数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系,有些运算结果由每个变量的值来确定,也有些运算结果与某个变量无关,但这无关变量有时也有它的意义.(1)已知代数式(2x2+ax-13y+15)-(x-2y+1-bx2)的值与字母x的取值无关,其中a,b是常数,求a,b【迁移运用】请用(1)中的方法解决下面的问题:(2)某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车.已知甲品牌自行车的进价为1000元/辆,乙品牌自行车的进价为1200元/辆.该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆,有多种进货方案.销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%,乙品牌自行车的售价为每辆2000元.为鼓励顾客多消费,商店决定每售出一辆乙品牌的自行车,返还顾客现金a元,甲品牌的自行车售价不变.要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后,商店最终获利相同,求a的值.综合训练1.C2.B3.D4.C5.C6.C7.C8.B9.A10.C解析:A+4C+B+D-E=4x2-2x+4(2-x2)+x+y2-(y-x)=4x2-2x+8-4x2+x+y2-y+x=y2-y+8,故说法①符合题意;A+3B+C-D+E=4x2-2x+3x+2-x2-y2+y-x=3x2-y2+y+2,当x2-13y2=2时,原式=3×2+y+2=y+8,故说法②不符合题意因为D-C=y2-(2-x2)=11,所以y2-2+x2=11.即y2+x2=13.当x=2,y=3或x=3,y=2时,22+32=13,故说法③符合题意.综上所述,符合题意的有2个.故选C.11.112.(1)-5(2)-113.0.7014.2-215.m2+m16.-317.解:(1)-85×154÷((2)-32+78-1×(-2)2=-9+-18×4=-9-18.解:小方的解答过程有误,去括号时出现错误,正确的解答为:3x-2(x+y)=3x-2x-2y=(3-2)x-2y=x-2y.19.解:(1)2(2x-3)-31=4x-6-x-3=3x-9,当x=2时,原式=3×2-9=-3.(2)3(m+n)-12(m-n)-5(m+n)+12(m-n)=-2(m+n因为3x-my2与2x3y4-n是同类项,所以-m=3,2=4-n,所以m=-3,n=2.原式=-2×(-3+2)=-2×(-1)=2.20.解:2mn3-3(m4n-mn3)-