2026-2027学年八年级数学上学期期中自测卷（第1-3章）-北师大版（含答案）

2026-2027学年八年级数学上学期期中自测卷（第1-3章）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．若2026的两个平方根分别是m和n，则m+2mn+n的值是（

）A．0 B．2026 C．−4052 D．40522．若点Aa,3，B2,b是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点Ma,−bA．2,3 B．−2,3 C．2,−3 D．−2,−33．下列各式中，计算正确的是（

）A．3×5=C．73−124．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若∠ACB=90°，AC=6，BC=4，则该“数学风车”的周长为（）A．40 B．42 C．48 D．565．正整数a、b分别满足350<a<390，2<b<A．4 B．8 C．9 D．166．中国象棋是中华民族的文化瑰宝．象棋的玩法口诀：马走日，象走田，卒子一去不回还；车是一杆枪，炮是隔山箭，老将老士不出院．“象”在棋盘上只能走“田”字，“象”不可能走到（

）A．(0,2) B．(1,2) C．(2,4) D．(4,2)7．若108=ab，ab为最简二次根式，则a−bA．3 B．−3 C．9 D．−98．若m，n是正整数且m>n，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中a=m2+n2，b=2mn，c=m2A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，259．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A−1,1，B−1,−2，C1,−2，D1,1，动点E从0,1出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动，同时动点F从0,−2出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动，则动点E，F第A．−1,1 B．1,1 C．−1,−1 D．0,−210．如图所示的长方体中，DE=3，BE=4，AB=2．AB的中点C处有一粒米，一只蚂蚁沿着长方体表面（包括底面）从点D处爬到点C处去吃米，有无数种走法，其中最短路程是（

）A．34 B．52 C．58 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．化简−b212．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______．13．在平面直角坐标系中，已知点A2,4，点B5,2，平移线段AB，使点A，B的对应点C，D均落在坐标轴上，则点C的坐标是14．如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC=___________．15．如图，在四边形ABCD中，AB=23，CD=2，∠A=∠C=90°，∠B=60°，则AD的长为__________16．如图所示，在长方形OABC中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为4,6，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着O→C→B→A的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形OBP的面积是8时，P点坐标是______________________．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）按要求解题(1)若x+4+5y−10=0(2)若31−2x+318．（6分）解答(1)已知x=8−78+(2)若a=15−219.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是平面内一点（不与点A，B，C重合），连接BD，CD，∠BDC=90°，连接AD．将△ADC沿直线AD翻折，得到△ADG，连接CG．(1)如图1，当点D在△ACG的内部，BD交AC于点E，点F是BD上一点，且BF=CD，连接AF．①求证：△ABF≌△ACD；②若AD=1，CD=2，求点G到直线BC(2)如图2，当点D在△ACG的外部，且∠CAD=15°时，求AB:DG的值．20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于点Px,y，若点Q的坐标为ax+y,x+ay，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，如：点P1,4的“3级关联点”为Q3×1+4,1+3×4(1)已知A2,−6的“5级关联点”是点B，求点B(2)已知点Mm−1,2m的“−3级关联点”N位于y轴上，求点N21．（10分）如图是由边长为1个单位的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点都叫做格点，三角形ABC的三个顶点都在格点上，利用网格画图．(1)在图中建立直角坐标系，使得点A的坐标为0,2；(2)点Px,y是三角形ABC内一点，将三角形ABC平移后点P对应点P′x+8,y−1(3)求三角形ABC的面积；(4)设点Q在y轴上，且三角形ABQ的面积为3，求点Q的坐标．22．（10分）如图，在海平面上，O为灯塔，A、B为两个港口．其中港口A在灯塔O的北偏西25°方向上，距离灯塔60海里．港口B在灯塔O的北偏东65°方向上，距离灯塔80海里．一艘轮船从港口A沿直线向港口B运输货物，航行的平均速度为每小时20海里．(1)求港口A到港口B的直线距离；(2)为保障航行的安全，灯塔O将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为50海里，在轮船从港口A向港口B航行的过程中，接收安全信号的时长不低于1小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由．23．（12分）阅读下列信息材料：信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、2等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5−2得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2<5<3，是因为根据上述信息，回答下列问题：(1)若19的整数部分为m，小数部分为n，则m=________，n=________________；(2)已知x+y=10+3，若x是整数，且0<y<1，求y(3)一张长方形信封的周长为20+23cm，且长、宽之比为2:1，小明制作了一张边长为24．（12分）探究以下问题：【探索求知】(1)如图1，在四边形ABCD中，连接AC,BD,∠CAB=60°,∠ADC=30°,CD=32,AD=6，AB=AC，以AD为边在△ACD左侧作等边△ADD①判断△CAD′能否由②求BD的长；【实践运用】(2)如图2，步道CD, CE将等腰△ABC广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，∠ACB=120°，AC=BC, ∠DCE=60°，AD=2km，BE=3参考答案一、选择题1．C解：∵2026的两个平方根是m和n，∴m+n=0，m2∴n=−m，∴mn=−m∴m+2mn+n=(m+n)+2mn=0+2×(−2026)=−4052．2．D解：∵点A(a,3)，B(2,b)在与x轴平行的直线上，∴b=3，∵两点到y轴的距离相等，∴|a|=2，即a=±2，∵两点是不同的点，当a=2时，A、B坐标均为(2,3)，两点重合，不符合题意，∴a=−2，∴点M(a,−b)的坐标为(−2,−3)．3．C解：对于选项A：3×对于选项B：6÷对于选项C：∵12=2∴73对于选项D：6+4．D解：∵AC=6，BC=4，∠ACB=90°，∴BC为较短的直角边，∵将较短的直角边向外延长一倍，∴延长部分BD=BC=4，∴新直角三角形的直角边CD=BC+BD=4+4=8，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=∴“数学风车”的周长为AD+BD×4=5．D解：∵33=27<50<4∴3<350<4<∵正整数a、b分别满足350<a<3∴a=4，∴ba故选：D．6．B由图可知“象”当前位置是(2,0)，根据象棋规则“象走田字”，走一步后坐标的横、纵坐标变化量一定是2和2，因此新坐标横、纵坐标的和的奇偶性和起点一致：起点(2,0)横纵坐标和为2+0=2，是偶数；A选项(0,2)：0+2=2，是偶数，符合象走后的坐标特征，可以走到；B选项(1,2)：1+2=3，是奇数，不符合特征，象不可能走到；C选项(2,4)：2+4=6，是偶数，可以走到；D选项(4,2)：4+2=6，是偶数，可以走到．7．A解：∵108=36×3，∴108=∵ab∴a=6，b=3，∴a−b=6−3=3．8．B解：A、∵a=13，b=12，c=5，a=m2+n2∴m2解得：m=3n=2B、∵a=15，b=12，c=9，a=m2+n2∴m2解得：n2=3，∵m、n无正整数解，故选项B符合题意；C、∵a=17，b=8，c=15，a=m2+n2∴m2解得：m=4n=1D、∵a=25，b=24，c=7，a=m2+n2∴m2解得：m=4n=39．A解：由点A(−1,1)，B(−1,−2)，C(1,−2)，D(1,1)可知AB=CD=3，AD=BC=2，∴四边形ABCD的周长为2×(3+2)=10；∵点E从(0,1)出发逆时针运动，点F从(0,−2)出发顺时针运动，∴两点初始沿运动方向的路程和为1+3+1=5，∴第一次相遇用时5÷(1+4)=1秒；∵第一次相遇后每次相遇需合走一圈，用时10÷(1+4)=2秒，∴第2026次相遇时，点E运动的总时间为1+(2026−1)×2=4051秒，∴点E运动的总路程为1×4051=4051；∵4051=405×10+1，∴点E回到起点后又逆时针运动了1个单位长度.，∵起点(0,1)逆时针运动1个单位长度到达点A(−1,1)，∴第2026次相遇时的点的坐标是(−1,1)．10．D解：∵C为AB中点，AB=2，∴BC=1；分三种情况讨论：将底面与右侧面展开在同一平面，此时直角三角形两直角边分别为DE+BC=3+1=4和BE=4，路径长为42将底面与后侧面展开在同一平面，此时直角三角形两直角边分别为DE=3和BE+BC=4+1=5，路径长为32将前侧面与右侧面展开在同一平面，此时直角三角形两直角边分别为DE+BE=3+4=7和BC=1，路径长为72∵32<故最短路程为42二、填空题11．−解：−b12．0或64解：设这个数是x，则3x两边同时6次方，得x2即x2∴x2=0或∴x=0或x=64．故答案为：0或64．13．−3,0或0,2解：设平移后横坐标的变化量为a，纵坐标的变化量为b，由题意得：C2+a,4+b，D∵A2,4，B∴AB与x轴、y轴均不平行，∴点C,D不可能同时落在x轴上，也不可能同时落在y轴上，则分以下两种情况：①当点C在x轴上，点D在y轴上时，则4+b=0，5+a=0，解得a=−5，∴2+a=2+−5∴此时点C的坐标是−3,0；②当点C在y轴上，点D在x轴上时，则2+a=0，2+b=0，解得b=−2，∴4+b=4+−2∴此时点C的坐标是0,2；综上，点C的坐标是−3,0或0,2．14．45°解：如图：连接AC，由勾股定理可得：AC=AB=12+∵AC∴△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°，∴∠ABC=45°．15．2解：如图，延长AD、BC相交于点E，∵∠A=90°,∠B=60°，∴∠E=90°−60°=30°，∴BE=2AB=43，DE=2CD=4在Rt△BAE中，由勾股定理得，AE=B∴AD=AE−DE=6−4=2．16．0,4或43,6解：在长方形OABC中，∵点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为4,6，∴A点坐标为4,0，C点坐标为0,6，设点P移动的时间为ts①当P在OC上（0≤t≤6），则P点坐标为0,t，∴S△OBP解得t=4，∴P0,4，②当P在CB上（6<t≤10），则P点坐标为t−6,6，BP=BC−x∴S△OBP解得t=22∵223∴P43③当P在BA上（10<t≤16），则yP=OC+BC+AB−t=16−t，P点坐标为4,16−t，∴S△OBP解得t=14，∵16−14=2，∴P4,2，综上，P点坐标是0,4或43,6或三、解答题17．（1）解：根据题意可得x+4=0,5y−10=0，解得x=−4,y=2，∴xy=−4×2=−8，∵3−8∴xy的立方根为−2；（2）解：∵31−2x∴31−2x∴1−2x=−3x+5，解得x=4，∴1−=1−=1−2=−1．18．（1）解：∵x=8∴x∵y=8∴y∴x∴x+y+2（2）解：a=1移项得a−2=5两边平方得a2∴a∴a∴=====a+4==519．(1)①证明：由翻折可得，AG=AC，∠AGD=∠ACD，∵AB=AC，∴AG=AB，∴∠ABF=∠AGD=∠ACD，∵AB=AC，∠ABF=∠ACD，BF=CD，∴△ABF≌△ACD(SAS②解：∵△ABF≌△ACD，∴AF=AD=1，BF=CD=2，∠BAF=∠CAD∴∠CAD+∠CAF=∠BAF+∠CAF，即∠DAF=∠BAC=90°，由勾股定理得：DF=A由翻折可知，DG=CD=2∴BG=BF+DF+DG=32，BD=BF+DF=2由勾股定理得，BC=B设点G到直线BC的距离为h，∴S即12解得h=3∴点G到直线BC的距离为310（2）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC∵∠CAD=15°，将△ADC沿直线AD翻折，得到△ADG，∴∠GAD=∠CAD=15°，AC=AG，CD=DG，∴∠BAG=60°，AB=AG，∴△ABG是等边三角形，∴BG=AB，∴BD=BG+DG=AB+DG，∵∠BDC=90°，∴BD∴AB+DG∴AB=1+3DG∴AB:DG=1+320．（1）解：∵点A2,−6的“5级关联点”是点B∴x∴B4,−28（2）解：∵点Mm−1,2m的“−3级关联点”是点N∴yN∴N−m+3,−5m−1∵N位于y轴上，∴−m+3=0，解得m=3∴y∴N0,−1621．(1)(2)（3）解：三角形ABC的面积为：5×4−0.5×5×1−0.5×3×4−0.5×1×4=20−2.5−6−2=9.5；（4）解：设Q0,y由题意得：0.5×1×2−y解得：y=8或y=−4，∴点Q的坐标为0,8或0,−4．22．（1）解：∵港口A在灯塔O的北偏西25°方向上，距离灯塔60海里，∴∠AON=25°，OA=60海里，∵港口B在灯塔O的北偏东65°方向上，距离灯塔80海里，∴∠BON=65°，OB=80海里，∴∠AOB=90°，∴AB=O∴港口A到港口B的直线距离为100海里．(2)本次航行符合安全标准，理由如下：如图，过点O作OH⊥AB于H，∵OA=60海里，OB=80海里，AB=100海里，∠AOB=90°，∴S△AOB∴12解得：OH=48<50，设OC=OD=50海里，∴CH=DH=50∴CD=2CH=28（海里），∵航行的平均速