上海市骏博外国语学校2026-2027学年九年级上大作业数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年上海市骏博外国语学校九年级（上）大作业数学试卷（10月份）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y=a（x+1）2+2（其中a是常数，且a≠0），下列叙述中正确的是（）A.当a＞0时，抛物线开口向下 B.抛物线与y轴交点坐标（0，2）

C.顶点坐标是（-1，2） D.当a＜0时，顶点是抛物线的最低点2.已知M是线段AB上的黄金分割点，且AM＞BM.那么下列各项正确的是（）A. B.

C. D.BM是AM与AB的比例中项3.下列说法中，错误的是（）A.顶角为70°的两个等腰三角形相似

B.一个锐角为36°的两个直角三角形相似

C.一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似

D.两个等边三角形一定相似4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的变量x与变量y的部分对应值如表：x…1234…y…-3-139…根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似根可能是（）A.1.2 B.2.3 C.3.4 D.4.55.如图所示是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①ac＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④一元二次方程ax2+bx+c=n+1没有实数根.其中正确的结论个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，求证：△DEF∽△ABC.”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（）A.可证，进而证得△DEF∽△ABC

B.可证∠B=∠FED，∠C=∠EFD，进而证得△DEF∽△ABC

C.可证∠B=∠FED，，进而证得△DEF∽△ABC

D.可证△FBD∽△DEF，△FBD∽△ABC，进而证得△DEF∽△ABC

二、填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分。7.如果，那么的值是

.8.已知A（4，y1），B（1，y2），C（-3，y3）在函数y=-3（x-2）2+2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系

.9.若将抛物线y=2（x+m）2+5沿x轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m的值为

.10.如图，直线AD∥EB∥FC，如果DE=2EF，AC=9，那么AB长是

.

11.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB=36cm,A′B′=24cm,小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到A′B′的距离为

cm.

12.如图，在△ABC中，点M、N分别是AB、BC的中点，连接AN、CM交于点G，GF∥AC交BC于点F，那么S△NGF：S梯形AGFC=

.

13.如图，已知点D、E分别在线段AB和AC上，点F是BE与CD的交点，∠B=∠C，如果DF=4EF，AB=6，AC=4，那么AD的长等于

．

14.数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（lattice

point）或整点.坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形.如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是

.

15.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC=5，AD=3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设EF为x,矩形EFGH的面积为y,那么y关于x的函数关系式是

.

16.定义：如果一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图象的“倍值点”.例如，一次函数y=x+1图象的“倍值点”为（1，2）.若关于x的二次函数的图象上有唯一的“倍值点”，则m=

.17.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CB=5，CA=10，点D，E分别在AC，AB边上，AE=AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD=

.

三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题11分)

已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，6）、B（1，-2）、C（0，1）.

（1）求该抛物线的表达式及其对称轴l；

（2）如果点A与点D关于对称轴l对称，联结AB、BD，求△ABD的面积.19.(本小题11分)

图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）.△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹.

（1）在图①中，分别在边BC、AB上画点F、G，连接FG，使△BFG∽△BCA，且；

（2）在图②中，在边AC上画点H，使得.20.(本小题11分)

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AD⊥DC，．求证：(1)△ADE∽△ECB(2)AE平分∠BAD21.(本小题11分)

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G.

（1）求证：∠ABD=∠ACE；

（2）求证：CD2=DG•BD.22.(本小题11分)

综合与实践

【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系.

【研究条件】

条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；

条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.

【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y=-x2+60x+100（0≤x≤30）.

结合上述信息，请完成下述问题：

（1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______.

【模型应用】

（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？

（3）已知该演出主办方要求：

①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；

②尽量少安排安检通道，以节省开支.

若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？

【总结反思】

函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.23.(本小题11分)

如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是原点，直线AB分别交x轴、y轴于点A（2，0）、B（0，4），点C在直线y=4上，且CA⊥AB.

（1）求AC的长；

（2）如图2，已知点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F，联结BP，∠BPF=∠APE.

①如果直线EF的表达式为x=t,求t的值；

②延长BP交x轴于点D，联结CD，若在射线BP上有一点G，使得以C、B、G为顶点的三角形与△ACD相似，求点G的坐标.

24.(本小题16分)

已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=ax2-2ax-3a（a＞0）与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E.

（1）直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标；

（2）联结AE，如果AE平分∠BAC，求a的值；

（3）点P是抛物线上一点，线段PD、AE交于点F，如果S△AFD=S△PFE，那么直线PD是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】

8.【答案】y3＜y1＜y2

9.【答案】-2

10.【答案】6

11.【答案】20

12.【答案】1：8

13.【答案】2

14.【答案】（2，2）

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】

18.【答案】解：（1）将A（-1，6）、B（1，-2）、C（0，1）代入y=ax2+bx+c,

得：，

解得：，

所以y=x2-4x+1，

对称轴为直线x==2；

（2）由题意知点D坐标为（5，6），

则AD=6，

△ABD的面积为×6×[6-（-2）]=24．

19.【答案】如图①所示，点F、G即为所求作；

如图②所示，点H即为所求作

20.【答案】【小题1】∵AD⊥DC，

∴∠D=90°，

∵AD∥BC，

∴∠C=180°-∠D=90°，

在Rt△ADE和Rt△ECB中，

∵，

∴Rt△ADE∽Rt△ECB【小题2】如图，延长AE交BC的延长线于点F，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F，

∵E是CD的中点，

∴DE=CE，

∴△ADE≌△FCE（AAS），

∴AE=FE，

由（1）知，△ADE∽△ECB，

∴∠AED=∠EBC，

又∵∠AED=∠FEC，

∴∠EBC=∠FEC，

∵∠EBC+∠BEC=90°，

∴∠FEC+∠BEC=90°，即∠BEF=90°，

∴BE⊥AF，

∴BE是AF的垂直平分线，

∴BA=BF，

∴∠BAE=∠F，

∴∠DAE=∠BAE，

∴AE平分∠BAD

21.【答案】证明：（1）∵点D、E分别是边AC、AB的中点，

∴AE=AB，AD=AC，

∵AB=AC，

∴AD=AE．

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴∠ABD=∠ACE；

（2）∵DF⊥AC，点D是边AC的中点，

∴DF是AC的垂直平分线，

∴FA=FC，

∴∠FAC=∠ACE．

由（1）知：∠ABD=∠ACE，

∴∠FAC=∠ABD．

∵∠ADG=∠BDA，

∴△A