宁夏银川市北京师范大学银川学校2025-2026学年高二年级第二学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1宁夏银川市北京师范大学银川学校2025-2026学年高二年级第二学期期中考试数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知是定义在上的可导函数，若，则（）A. B.-1 C. D.1【答案】C2.某地天气预报资料显示，近段时间中一天下雨的概率是0.8，连续两天都下雨的概率是0.6.已知某天下雨，则随后一天也下雨的概率是（）A.0.75 B.0.48 C.0.8 D.0.6【答案】A3.已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】C4.从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C5.某农科所在甲，乙，丙地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比80%，乙地块培育的一等种苗占比60%，丙地块培育的一等种苗占比70%，将三个地块培育的种苗混放在一起.已知甲，乙，丙培育的种苗数分别占总数的40%，40%，20%，从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（）A.0.7 B.0.6 C.0.8 D.0.9【答案】A6.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D.【答案】B7.用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？（）A.240 B.480 C.120 D.200【答案】A8.若函数在定义域内有两个极值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分）9.已知离散型随机变量的分布列为12460.20.1则下列选项正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.【答案】BD10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B.课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法D.课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法【答案】ABC11.已知分别为随机事件的对立事件，则下列说法正确的是（）A.B.C.若，则事件与事件相互独立D.若，，则【答案】BCD三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12.已知离散型随机变量X，Y满足，，则______.【答案】113.的展开式中的系数为_________．【答案】-8014.在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第_____________行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.【答案】34四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知二项式，且满足．（1）求值，并求二项式系数最大的项；（2）求二项展开式中含项的系数；（3）请直接写出展开式中所有项的系数的和．（此题涉及的系数一律用数字作答）解：（1）因为，即，整理得，解得或（舍去），故．所以展开式的通项为（且），则，故二项式系数的最大项为第项，为．（2）令，解得，所以，所以二项展开式中含项的系数为；（3）对于，令可得，所以展开式中所有项的系数的和为.16.甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择：项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为．项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为．（1）设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列；（2）针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由．解：（1）由题意可知：X可取的值为：，10，其分布列为X10PY可取的值为：，0，6，其分布列为Y06P（2）对于项目一：（万元），；对于项目二：（万元），；因为，，即两个项目的期望值相同，但项目一的波动性较大，所以甲应该选择项目二．17.一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球.（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.解：（1）设事件：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球.因为采取放回抽样方式，所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为，所以.即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为.（2）设事件为第一次摸到黑球，事件第二次摸到黑球，所以，，所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为：.18.某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人．（1）求该机器人是甲品牌合格品的概率；（2）求该机器人是合格品的概率；（3）若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率．解：（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，则，所以该机器人是甲品牌合格品的概率．（2）用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，.（3）由（2）知，该机器人是不合格品的概率，若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率．19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极小值，且，求a的取值范围.解：（1）当时，，所以所以切线方程为即，（2），若，可得时，，所以在上单调递增；若时，当时，，所以在上单