《应用统计学》课件（下）

第六章统计数据的动态分析第一节简单总体分析-时间数列分析第二节复杂总体分析-指数分析第三节总体趋势分析-时间数列预测第一节简单总体分析时间数列把反映现象发展水平的统计指标数值，按照时间先后顺序排列起来所形成的统计数列，又称动态数列。现象所属的时间（t）反映现象发展水平的指标数值（Y）构成要素：年份国内生产总值（亿元）年份国内生产总值（亿元）19791980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.211962.514928.3198919901991199219931994199519961997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.679395.7要素一：时间t要素二：指标数值Y研究意义1、能够描述社会经济现象的发展状况和结果

2、能够研究社会经济现象的发展速度、发展趋势和平均水平，探索社会经济现象发展变化的规律，并据以对未来进行统计预测；3、能够利用不同的但互相联系的时间数列进行对比分析或相关分析。按数列中所排列指标的表现形式不同分为：绝对数数列相对数数列平均数数列（平均指标数列）（相对指标数列）时点数列时期数列时间数列的种类（总量指标数列）时点数列时期数列绝对数时间数列的分类由反映一段时期内社会经济现象发展的总量或总和的绝对数所组成的时间数列。由反映一时点上社会经济现象所处的水平的绝对数所组成的时间数列二者的区别2、各指标数值大小是否与其时间长短直接相关。1、各指标数值是否具有可加性3、各指标的数值的取得方式。是连续登记还是一次性登记。时期数列的特点1.时期数列有以下几个特点：(1)数列中各个时期的指标数值可以相加。

(2)数列中指标数值大小与其所包括的时期和长短有直接关系。

(3)时期数列具有连续统计的特点。时点数列的特点(1)数列中指标数值不能相加。(2)数列中指标数值的大小与其时间隔长短没有直接联系。(3)时点数列指标值不具有连续统计的特点。各期指标数值所属时间可比各期指标数值总体范围可比各期指标数值计算口径可比各期指标数值经济内容可比保证数列中各期指标数值的可比性编制时间数列的基本原则一、时间数列水平指标

发展水平

指时间数列中每一项指标数值设时间数列中各期发展水平为：最初水平中间水平最末水平（N项数据）（n+1项数据）或：它是计算其他时间数列分析指标的基础。增减水平

它是报告期水平与基期水平之差，反映报告期比基期增长的水平。说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量。增减水平=报告期水平-基期水平其计算公式为：设时间数列中各期发展水平为：逐期增长量累计增长量二者的关系⒈⒉平均增长量逐期增长量的序时平均数年距增长量本期发展水平与去年同期水平之差，目的是消除季节变动的影响平均发展水平又叫序时平均数，是把时间数列中各期指标数值加以平均而求得的平均数一般平均数与序时平均数的区别：计算的依据不同：前者是根据变量数列计算的，后者则是根据时间数列计算的；

说明的内容不同：前者表明总体内部各单位的一般水平，后者则表明整个总体在不同时期内的一般水平。序时平均数的计算方法⒈计算绝对数时间数列的序时平均数⑴由时期数列计算，采用简单算术平均法年份能源生产总量（万吨标准煤）199419951996199719981187291290341326161324101240001994-1998年中国能源生产总量【例】⑵由时点数列计算①由连续时点数列计算对于逐日记录的时点数列可视其为连续

※间隔相等时，采用简单算术平均法序时平均数的计算方法日期6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日收盘价16.2元16.7元17.5元18.2元17.8元解某股票连续5个交易日价格资料如下：【例】⑵由时点数列计算①由连续时点数列计算

※间隔不相等时，采用加权算术平均法对于逐日记录的时点数列,每变动一次才登记一次序时平均数的计算方法某企业5月份每日实有人数资料如下：日期1~9日10~15日16~22日

23~31日实有人数780784786783解【例】②由间断时点数列计算每隔一段时间登记一次，表现为期初或期末值※间隔相等

时，采用首末折半一季度初二季度初三季度初四季度初次年一季度初序时平均数的计算方法时间3月末4月末5月末6月末库存量(百件)66726468解：第二季度的月平均库存额为：某商业企业2019年第二季度某商品库存资料如下，求第二季度的月平均库存额【例】

※间隔不相等

时，采用加权序时平均法90天90天180天一季度初二季度初三季度初次年一季度初时间1月1日5月31日8月31日12月31日社会劳动者人数362390416420单位：万人某地区2019年社会劳动者人数资料如下【例】解：则该地区该年的月平均人数为：⒉计算相对数时间数列的序时平均数基本公式⑴a、b均为时期数列时序时平均数的计算方法月份一二三计划利润（万元）200300400利润计划完成程度（﹪）125120150某化工厂某年一季度利润计划完成情况如下因为所以，该厂一季度的计划平均完成程度为：【例】⑵a、b均为时点数列时⑶a为时期数列、b为时点数列时月份三四五六七工业增加值（万元）11.012.614.616.318.0月末全员人数（人）20002000220022002300【例】已知某企业的下列资料：要求计算：①该企业第二季度各月的劳动生产率；②该企业第二季度的月平均劳动生产率；③该企业第二季度的劳动生产率。

四月份：五月份：六月份：解：①第二季度各月的劳动生产率：③该企业第二季度的劳动生产率：②该企业第二季度的月平均劳动生产率：平均发展水平计算总结序时平均方法总量指标时期数列简单算术平均时点数列连续时点间隔相等简单算术平均间隔不等加权算术平均间断时点间隔相等两次简单平均间隔不等先简单后加权相对指标、平均指标视情况选用：先平均再相除、先加总再相除、加权算术平均、加权调和平均等连续时点数列计算类似时期数列：2、间隔不等1、间隔相等(两个公式原理是一致的,仅是掌握资料存在差异。)不连续时点数列计算平均数公式2、间隔不等1、间隔相等二、时间数列速度指标①速度指标：发展速度增长速度②平均速度指标平均发展速度平均增长速度发展速度指报告期水平与基期水平的比值，说明现象的变动程度设时间数列中各期发展水平为：环比发展速度定基发展速度（年速度）（总速度）环比发展速度与定基发展速度的关系：年距发展速度增长速度指增长量与基期水平的比值，说明报告期水平较基期水平增长的程度环比增长速度定基增长速度年距增长速度说明发展速度与增长速度性质不同。前者是动态相对数，后者是强度相对数；定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。增长1%的绝对值指现象每增长1﹪所代表的实际数量定基增长速度增长1%的绝对值环比增长速度增长1%的绝对值各环比发展速度的平均数，说明现象每期变动的平均程度平均发展速度平均增长速度说明现象逐期增长的平均程度平均发展速度的计算⑴几何平均法（水平法）即有从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度发展，经过n个时期后，达到最末水平an，有基本要求计算公式⑴几何平均法（水平法）平均发展速度的计算总速度环比速度解：平均发展速度为：平均增长速度为：【例】计算2015～2020年间我国职工年平均工资的平均发展速度及平均增长速度：有关指标的推算:几何平均法（水平法）⒈推算最末水平an：⒉预测达到一定水平所需要的时间n：⒊计算翻番速度：翻番数有关指标的推算:几何平均法（水平法）解：【例】已知某化肥厂2010年的产量为20万吨，如果2020年产量翻1.5番，将会达到多少？平均增长速度为：解：【例】1980年我国生产水泥7986万吨，1994年达到40500万吨，计算1980年至1994年我国水泥产量翻了几番？每年平均增长速度为多少？

平均发展速度的计算⑵方程法（累计法）从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度发展，经过n个时期后，达到各期实际水平之和等于各期推算水平之和基本要求计算公式的推导由基本要求有，各期推算水平分别为各期定基发展速度之和（该一元n次方程的正根即为平均发展速度）

①逐渐逼近法②查“累计法查对表”法【例】某公司2020年实现利润15万元，计划今后三年共实现利润60万元，求该公司利润应按多大速度增长才能达到目的。解：求解方法（关于的一元n次方程）累计法查对表递增速度间隔期1～5年平均每年增长﹪各年发展水平总和为基期的﹪1年2年3年4年5年………………14.9114.90246.92398.61572.90773.1715.0115.00247.25399.34574.24991.0415.1115.10247.58400.06575.571075.57………………两种方法的比较:几何平均法研究的侧重点是最末水平；方程法研究的侧重点是各年发展水平的累计总和。平均发展速度的计算几何平均法：方程法：第二节复杂总体分析-指数分析

统计指数是研究社会经济现象数量关系的变动状况和对比关系的一种特有的分析方法。从广义上讲，指数是指反映社会经济现象总体数量变动的比较指标；从狭义上讲，指数是指反映复杂社会经济现象总体数量变动状况和对比关系的特殊相对数。指由于各个部分的不同性质而在研究其数量时，不能直接进行加总或对比的总体

统计指数指数的作用综合反映复杂现象总体变动的方向和程度；分析复杂现象总体变动中因素变动的影响方向及其影响程度。研究同类现象的长期变动趋势；研究平均指标变动及其受水平因素和结构因素变动的影响程度基期的总产值劳动数量增加劳动效率提高产品价格上升报告期的总产值指数方法可以进行相对数解释与绝对量的分割富人平均收入穷人平均收入社会平均收入指数方法可以对此进行量化分析指数的作用统计指数的性质代表性。统计指数的编制一般以若干重要项目为代表，反映总体变化程度和变动趋势。综合性；反映的不是个体事物的变化，而是综合反映不同性质的各种事物的总体变化。平均性；统计指数所表示的综合变动是多种事物的平均变动，其数值是各个个体事物数量变化的代表值。相对性；统计指数是同类现象不同时间、不同空间的数值之比，一般用相对数或比率形式表示。指数的种类⒈按所反映的对象范围不同分为个体指数总指数个体指数反映某种社会经济现象个体的变动状况。如某种商品价格个体指数反映该种商品价格的变动。反映由许多个个体所组成的复杂现象总体综合变动状况。

⒉按所表示的特征不同分为数量指标指数质量指标指数数量指标指数反映现象总体的规模和水平变动，如产量指数、职工人数指数等。

反映现象总体内涵质量水平的变动，如零售商品物价指数、产品单位成本指数等。

⒊总指数按其采用的指标形式不同分为综合指数复杂总体的两个相应的指标对比，采用综合公式计算。

平均指数复杂总体中个体指数的平均数，一般采用算术平均数和加权平均数的方法计算。定基指数4、按指数数列中所采用的基期不同分为环比指数在数列中以某一固定时期水平作为对比基准的指数。以其前一期水平作为对比的基准。

一、综合指数的编制与应用

总指数的编制综合指数综合指数是总指数的基本形式。它是通过引入一个同度量因素将不能相加的变量转化为可相加的总量指标，而后对比所得到的相对数。

总指数编制的基本形式25.05.0300.020.04.0290.01001200100120100060件支台甲乙丙报告期基期报告期基期价格（元）销售量计量单位商品名称反映销售量的变动：反映三种商品销售量的综合变动：例：25.05.0300.020.04.0290.01001200100120100060件支台甲乙丙报告期基期报告期基期价格（元）销售量计量单位商品名称反映价格的变动：反映三种商品价格的综合变动：同度量因素指把不同度量的现象过渡成可以同度量的媒介因素，同时起到同度量

和权数

的作用指在指数分析中被研究的因素指数化因素同度量因素指数化因素根据客观现象间的内在联系，引入同度量因素；将同度量因素固定，以消除同度量因素变动的影响；将两个不同时期的总量指标对比，以测定指数化指标的数量变动程度。基本编制原理一般编制原则和方法⒈数量指标综合指数的编制：—采用基期的质量指标作为同度量因素⒉质量指标综合指数的编制：—采用报告期的数量指标作为同度量因素商品名称计量单位销售量价格（元）销售额（元）基期报告期基期报告期甲件1201002025240025002000乙支1000120045400060004800丙台60100290300174003000029000合计—————238003850035800计算：三种商品销售量的综合变动和销售价格的综合变动。资料栏计算栏解⒈销售量综合指数为：由于销售量的增加而增加的销售额为：⒉价格综合指数为：由于价格的提高而增加的销售额为：综合指数的编制小结1、数量指标的综合指数（例：销售量指数）该指数说明多种商品销售量的综合变动程度。分子、分母之差：说明由产量变动带来的销售额的增（减）量报告期和基期的销售量，为指数化因素基期价格作为同度量因素基期实际销售额以基期价格计算的报告期销售额2、质量指标的综合指数（例：价格指数）该指数说明多种商品价格的综合变动程度。分子、分母之差：说明由价格变动带来的销售额的增（减）量。报告期和基期的价格，为指数化因素报告期销售量作为同度量因素报告期实际销售额以报告期销售量计算的基期销售额综合指数的其他编制方法⒈拉氏指数:同度量因素均固定在基期，不包含同度量因素变化的影响⒉派氏指数:同度量因素均固定在报告期，包含了同度量因素变化的影响⒊“理想公式”:是对拉氏指数和派氏指数所求的几何平均数综合指数的其他编制方法由（美）Fisher提出，能通过他本人提出的对指数公式测验的重要要求，自称为理想公式。⒋不变价格指数:为了研究长时期的产量变动，把同度量因素价格固定在某一时期综合指数的其他编制方法不变价格建国以来，我国曾经使用过1950、1952、1957、1970、1980、1990年不变价格，现正开始执行2000年不变价格综合指数的其他编制方法⒋成本计划完成指数:为了避免实际产品构成与计划产品构成不同的影响，应以计划产量作为同度量因素式中：

为实际单位成本，为计划单位成本，为计划产品产量平均指数以总量指标为权数对个体指数进行加权平均的总指数综合指数变形权数平均指数固定权数平均指数加权调和平均指数加权算术平均指数平均指数的种类二、平均指数的编制与应用平均指数的编制⒈综合指数变形权数的平均指数——适用于质量指标综合指数的变形⑵加权调和平均指数——适用于数量指标综合指数的变形⑴加权算术平均指数1、加权算求平均数指数通常用来计算数量指标指数（如销售量指数）销售量个体指数与销售量个体指数相对应的销售额占总销售额的比重2、加权调和平均数指数通常用来计算质量指标指数（如价格指数）价格个体指数与价格个体指数相对应的产品销售额占总销售额的比重商品名称计量单位价格（元）个体价格指数销售额（元）甲乙件千克831051.251.6710000400合计————10400【例1】计算甲、乙两种商品的价格总指数【例2】计算甲、乙两种商品的销售量总指数商品名称计量单位销售额（万元）销售量比上年增长（%）基期报告期甲乙件千克203025451020合计—5070——思考：如何根据上述资料计算两种商品的价格总指数？第二种计算方法：第一种计算方法：利用指数之间的关系进行计算直接进行计算：在一定权数条件下，具有变形关系指数名称综合指数公式加权算术平均指数公式加权调和平均指数公式数量指标总指数质量指标总指数平均指数与综合指数的联系平均指数与综合指数的区别⒈解决复杂总体不能直接同度量问题的思想不同⒉运用资料的条件不同⒊在经济分析中的具体作用不同综合指数：先综合后对比平均指数：先对比后综合综合指数：需具备研究总体的全面资料平均指数：同时适用于全面、非全面资料综合指数：可同时进行相对分析与绝对分析平均指数：除作为综合指数变形加以应用的情况外，一般只能进行相对分析平均指数的编制⒉固定权数的平均指数固定权数（可根据有关的普查、抽样调查或全面统计报表资料调整计算确定），∑w=100个体指数或类指数应用我国的商品零售价格指数、农副产品收购价格指数、职工生活费指数（居民消费指数）及西方的工业生产指数、消费品价格指数等等，均采用了固定权数的平均指数的编制方法。特点权数资料一经确定，可在相对较长时间内使用，能减少工作量；在不同时期内采用同样权数，可比性强，有利于指数数列的编制。固定权数的平均指数以商品零售价格指数的编制为例将全部商品划分为大类、中类、小类、品种、规格；确定各品种的代表规格品及权数w;按照小类、中类、大类、总指数的顺序逐级计算各级指数。个别商品或类商品的价格指数步骤确定的居民消费构成固定权数，∑w=100商品类别及名称代表规格品计算单位平均价格（元）权数（w）（﹪）指数（﹪）总指数一、食品类⒈粮食⑴细粮面粉大米⑵粗粮⒉副食品⒊烟酒茶⒋其他食品二、衣着类三、日用品类四、文化娱乐用品类五、书报杂志类六、药及医疗用品类七、建筑装潢材料类八、燃料类标准粳米千克千克2.403.502.523.7110051356540603545119201152623115.1117.5105.3105.6105.0106.0104.8125.4126.0114.8115.2109.5110.4108.6116.4114.5105.6可变构成指数将两个不同时期或不同单位的同一经济内容的平均指标对比，所计算的动态对比关系的相对数，称为平均指标指数，亦称为可变构成指数。各组水平各组结构即：总体平均水平同时受各组水平和各组结构两个因素的影响(平均指标指数）可变构成指数的编制可变构成指数(平均指标指数)=商场平均工资（元）职工人数（人）工资总额（万元）甲乙丙3104404703504805301501202001801501804.655.289.406.307.209.545.586.608.46合计411.28451.7647051019.3323.0420.64【例】已知某公司下属三个商场的职工人数和工资资料如下，分析该公司总平均工资水平的变动情况，并分析各商场工资水平及人数结构因素对其影响的程度和绝对数额。三个商场职工的平均工资：报告期平均工资：基期平均工资：计算表明，三个商场职工的平均工资指数为109.84%，即平均工资上升了9.84%，平均工资上升额为40.48元。职工平均工资变动额为：我们知道，平均指标（本例为总平均工资）的变动，一方面受各组变量（本例为各商场职工平均工资）变动影响，另一方面受各组比重权数（本例为各商场职工人数）变动影响。因此，我们需要分析这两个因素的变动对总平均工资变动影响程度。

为了准确反映各因素的变动影响，测定一个因素的影响时，必须将另一个因素的变化固定起来。观察各组变量值(组平均水平)的变动对总平均水平变动的影响时，把各组数量结构(比重)固定起来，这样计算的指数称为固定构成指数；观察各组结构(比重)变动对总平均水平变动影响时，把各组变量值(组平均水平)固定起来，这样计算的指数称为结构影响指数。包含着这两个因素变动的总平均指标变动的指数称为可变构成指数。

固定构成指数固定构成指数是质量指标指数，它是研究在报告期结构的条件下，反映各组水平总的变动情况，因此，在计算固定构成指数时，应将结构指标(数量因素)固定在报告期，其计算方法如下：固定构成指数平均水平变动额计算表明，将三个商场职工人数结构固定在报告期，由于职工工资水平的变动，报告期三个商场职工总的平均工资比基期上升了11.63%，平均工资水平上升了47.05元。结构影响指数结构影响指数是数量指标指数，它是研究总水平的变动受结构变动的影响程度。为了单纯反映结构变动的情况，必须消除各组变量水平(质量因素)变动的影响，因此，应将各组变量水平固定在基期结构影响指数平均水平变动额计算表明，将三个商场工资固定在基期，由于职工人数结构的变动，报告期三个商场职工总的平均工资比基期下降了1.6%，平均工资水平下降了6.57元。三种指数的比较性质资料计算方法差额分析综合指数平均数指数狭义指数广义指数全面资料样本资料先综合后对比先对比后综合分子、分母之差为总量差异有经济意义分子、分母之差，不形成实际总量，无经济意义平均指标指数广义指数分组资料 三种形式的总平均数对比自成体系分子、分母之差为平均数差异，有意义 指数体系指经济上具有一定联系，并且具有一定的数量对等关系的三个或三个以上的指数所构成的整体因素指数对象指数（总动态指数）三、指数体系与因素分析⑴相对数形式：——对象指数等于各个因素指数的连乘积⑵绝对数形式：——对象指数的增减额等于各因素指数影响的增减额之和指数体系的基本形式指数体系的作用⒈利用指数体系可进行指数之间的相互推算；⒉对单个指数的编制具有指导意义；⒊利用指数体系可进行因素分析。利用指数体系对现象的综合变动从数量上分析其受各因素影响的方向、程度及绝对数额指数因素分析法的种类⒈按分析现象的特点不同分为

⒉按分析指标的表现形式不同分为⒊按影响因素的多少分为

简单现象因素分析复杂现象因素分析总量指标变动因素分析相对指标变动因素分析平均指标变动因素分析两因素分析多因素分析指数因素分析法的应用⒈总量指标变动的因素分析⑴简单现象——对象指标直接表现为因素指标的乘积⑵复杂现象——对象指标是因素指标乘积的总和两因素分析多因素分析⒉平均指标变动的两因素分析指标符号1992年1993年工资总额(万元)职工人数（人）平均工资(元/人)EfX5001000500056710505400【例】已知某企业工资的资料如下，计算工资总额的变动并对其进行因素分析。简单现象总体总量指标变动的两因素分析【分析】简单现象总体因素分析的特点：相对数分析可以不引入同度量因素，但绝对数分析必须引入同度量因素【解】商品名称计量单位销售量价格（元）销售额（元）基期报告期基期报告期甲件1201002025240025002000乙支1000120045400060004800丙台60100290300174003000029000合计—————238003850035800【例】计算销售总额的变动并对其进行因素分析复杂现象总体总量指标变动的两因素分析【解】应注意的几个问题：各因素指标的性质具有相对性，需在两两相较的情况下判定；各因素指标应按照先数量指标后质量指标的顺序排列，两两相乘要有经济意义；测定其中某个因素的作用时，要将其余所有因素按综合指数的一般编制原则固定复杂现象总体总量指标变动的多因素分析产品名称计量单位销售量价格（万元）利润率（﹪）甲件1501603.53.21116乙台2502501.81.763035丙辆500055000.0310.02987【例】已知某企业资料如下，计算该企业利润总额的变动并对其进行因素分析。【分析】销售额单位产品利润额构造指数体系如下：产品种类原材料费用总额（万元）甲乙丙81.92154.0011.1757.75135.0012.4061.60135.0013.6456.32132.0012.76合计247.09205.15210.24201.08列表计算有关费用总额资料如下：【解】各组水平各组结构即：总体平均水平同时受各组水平和各组结构两个因素的影响平均指标变动的两因素分析构造指数体系如下：=×可变构成指数结构变动影响指数固定构成指数记为于是简记为商场平均工资（元）职工人数（人）工资总额（万元）甲乙丙3104404703504805301501202001801501804.655.289.406.307.209.545.586.608.46合计411.28451.7647051019.3323.0420.64【例】已知某公司下属三个商场的职工人数和工资资料如下，分析该公司总平均工资水平的变动情况，并分析各商场工资水平及人数结构因素对其影响的程度和绝对数额。【解】第三节总体趋势分析-时间数列预测

影响时间数列变动的因素可分解为：（1）长期趋势（T）（2）季节变动（S）（3）循环变动（C）（4）不规则变动（I）可解释的变动—不可解释的变动时间数列的构成因素长期趋势现象在较长时期内受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势季节变动现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动循环变动现象以若干年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动不规则变动是一种无规律可循的变动，包括严格的随机变动和不规则的突发性影响很大的变动两种类型循环变动C（Cyclical）不规则变动I（Irregular）季节变动S（Seasonal）长期趋势T（Trend）经济周期:循环性变动繁荣拐点繁荣拐点衰退拐点萧条拐点复苏拐点时间数列的组合模型（1）加法模型：Y=T+S+C+I计量单位相同的总量指标对长期趋势产生的或正或负的偏差（2）乘法模型：Y=T·S·C·I计量单位相同的总量指标对原数列指标增加或减少的百分比常用模型把握现象随时间演变的趋势和规律；对事物的未来发展趋势作出预测；便于更好地分解研究其他因素。测定长期趋势的基本方法：①移动平均法②趋势线拟合法测定长期趋势的意义：移动平均法对时间数列的各项数值，按照一定的时间间隔进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个新的时间数列。以此削弱不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。移动平均法的含义⒉计算各移动平均值，并将其编制成时间数列一般应选择奇数项进行移动平均；若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为移动的时距长度。移动平均法移动平均法的步骤：⒈确定移动时距移动平均法奇数项移动平均:原数列移动平均新数列移动平均移正平均新数列原数列移动平均法偶数项移动平均:移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越强；由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少，N为奇数时，趋势值数列首尾各少项；N为偶数时，首尾各少项；局限：不能完整地反映原数列的长期趋势，不便于直接根据修匀后的数列进行预测。移动平均法的特点趋势线配合法是通过数学方法对时间数列配合一条理想的趋势方程

，使其与原数列曲线达到最优拟合直线趋势方程曲线趋势方程……趋势线拟合法的基本程序判断趋势类型计算待定参数利用方程预测定性分析判断趋势类型绘制散点图分析数据特征趋势线拟合法的基本程序当数据的一阶差分趋近于一常数时，可以配合直线方程当数据的二阶差分趋近于一常数时，可以配合二次曲线方程当数据的环比发展速度趋近于一常数时，可配合指数曲线方程tyi一阶差分yi-yi-11234

na+ba+2ba+3ba+4b

a+nb—bbb

b直线趋势方程趋势线的选择tyi一阶差分二阶差分1234

na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16c

a+nb+n2c—b+3cb+5cb+7c

b+(2n-1)c——2c2c

2c抛物线趋势方程趋势线的选择tyiyi/yi-11234

nabab2ab3ab4

abn—bbb

b指数曲线趋势方程趋势线的选择用最小平方法求解参数a、b，有直线趋势的测定直线趋势方程：经济意义：

数列水平的平均增长量年份tGDP(y)tyt21986198719881989199019911992199319941995199619971998123456789101112137610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.07610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0149162536496481100121144169合计91182505.81516487.3819【例】已知我国GDP资料（单位：亿元）如下，拟合直线趋势方程，并预测1999年的水平。解预测01234567求解a、b的简捷方法0123-1-2-3取时间数列中间项为原点当t=0时，有N为奇数时，令t=…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…N为偶数时，令t=…，-5，-3，-1，1，3，5，…年份ttGDP(y)tyt2198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213-6-5-4-3-2-101234567610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.03625169410149162536合计910182505.8238946.7182解：预测本章内容结束！

第一节统计数据的相关关系分析第二节一元线性回归模型第三节多元线性回归分析第七章统计数据的关系分析第四节非线性回归分析联系与相互影响是普遍的现象受教育的水平工作后的收入预防疾病支出疾病的发病率事物相互间关系的质的解释：自然的、社会的、经济的、心理的…事物相互间关系的量的分析：两变量或多变量间的数量关系。在可以解释的质的关系基础上进行相关分析和回归分析一、相关分析的意义第一节统计数据的相关关系分析社会经济现象中，一些现象与另一些现象之间往往存在着依存关系，当我们用变量来反映这些现象的的特征时，便表现为变量之间的依存关系。

在分析变量的依存关系时，我们把变量分为两种：自变量因变量引起其他变量发生变化的量。受自变量的影响发生对应变化的量现象之间的相互关系，可以概括为两种不同的类型：（一）函数关系（二）相关关系例如：家庭收入决定消费支出，收入的变化必然引起消费支出的变化，这两个变量中收入是自变量，而消费支出则是因变量。相关分析的意义函数关系指变量之间存在着确定性依存关系。即当一个或一组变量每取一个值时，相应的另一个变量必然有一个确定值与之对应。函数关系可以用一个确定的公式，即函数式来表示。或：Y=F（X）相关关系指变量之间存在着非确定性依存关系。即当一个或一组变量每取一个值时，相应的另一个变量可能有多个不同值与之对应。例2、根据消费理论，商品需求量Q与商品价格P、居民收入I之间具有相关关系：相关关系可用统计模型：或：Y=F（X）+ε式中，为影响Y的除X外的其他随机因素。单相关是两个变量之间存在的相关关系，即一个因变量与一个自变量之间的依存关系。因此也称为一元相关。复相关

也称多元相关，是指三个或三个以上变量之间存在的相关关系，通常涉及一个因变量与两个或更多个自变量，也称多元相关。相关关系的种类：1、按相关关系涉及变量的多少可分为：直线相关当自变量X值每变动一个单位，因变量Y值则随着发生大致均等的变动，这就是直线相关。亦称为简单相关或一元线性相关。曲线相关当自变量X值每变动一个单位，因变量Y值则随之发生不均等的变化，这就曲线相关。亦称为一元非线性相关。相关关系的种类：2、按相关关系形式可分为：正相关当自变量X值增加（或减少）时，因变量Y值也随之增加（或减少），这样的相关关系就是正相关，也叫同向相关。负相关当自变量X的值增加（或减少）时，因变量Y的值随之而减少（或增加），这样的相关关系就是负相关，也叫异向相关。相关关系的种类：3、按相关的方向可分为：线性正相关线性负相关非线性相关无（不）相关相关关系的种类：4、按相关关系的密切程度分为：完全相关因变量完全随自变量变动而变动，存在着严格的依存关系。即变量间的关系为函数关系。不完全相关变量之间存在着不严格的依存关系，即因变量的变动除了受自变量变动的影响外，还受其他因素的影响。它是相关关系的主要表现形式。完全不相关自变量与因变量彼此独立，互不影响，其数量变化毫无联系。。（1）确定现象之间有无相关关系，以及相关关系的表现形态。（2）确定相关关系的密切程度。（3）确定相关关系的数字模型，并进行参数估计和拟合优度检验。（4）回归预测，并分析估计标准误差。

相关分析的主要内容包括：相关关系的测定定性分析是依据研究者的理论知识和实践经验，对客观现象之间是否存在相关关系，以及何种关系作出判断定量分析在定性分析的基础上，通过编制相关表、绘制相关图、计算相关系数与判定系数等方法，来判断现象之间相关的方向、形态及密切程度相关表相关关系的测定将两个变量伴随变动结果编成一张统计表，即相关表。简单相关表两个变量均不分组而形成的相关表。分组相关表对变量进行分组而形成的相关表。依两个变量是否同时分组，又分为：单变量分组相关表单变量分组相关表只对其中一个变量分组。对两个变量同时分组。简单相关表适用于所观察的样本单位数较少，不需要分组的情况分组相关表适用于所观察的样本单位数较多，标志变异又较复杂，需要分组的情况两种相关表的适用范围企业编号月产量（千吨）X生产费用（万元）Y123456781.22.03.13.85.06.17.28.0628680110115132135160八个同类工业企业的月产量与生产费用简单相关表平均每昼夜产量固定资产原值35～4040～4545～5050～5555～6060～6565～70600～65011550～600123500～550213450～5001517400～450224350～4000300～35022223543120（百万元）（吨）20个同类工业企业固定资产原值与平均每昼夜产量分组相关表相关图相关关系的测定将变量之间的伴随变动绘于坐标图上所形成的统计图。又称散点图。简单相关图根据未分组资料的原始数据直接绘制的相关图。分组相关图根据分组资料绘制的相关图。正相关负相关曲线相关不相关xyxyxyxy用直角坐标系的x轴代表自变量，y轴代表因变量，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用以表明相关点分布状况的图形。相关关系的测定相关图的绘制XY在直线相关的条件下，用以反映两变量间线性相关密切程度的统计指标，用r表示相关系数其基本算法是英国统计学家皮尔逊所创的乘积动差法，简称积差法。相关关系的测定相关系数r的取值范围：-1≤r≤10<|r|<1表示存在不同程度线性相关：|r|<0.4为低度线性相关；0.4≤|r|＜0.7为显著性线性相关；0.7≤|r|＜1.0为高度显著性线性相关。r>0为正相关，r<0为负相关；|r|=0表示不存在线性关系；|r|＝1表示完全线性相关；序号能源消耗量（十万吨）x工业总产值（亿元）yx2y2xy1234567891011121314151635384042495254596264656869717276242524283231374041404750495148581225144416001764240127042916348138444096422546244761504151845776576625576784102496113691600168116002209250024012601230433648409509601176156816121998236025422560305534003381362134564408合计916625550862617537887【例】计算工业总产值与能源消耗量之间的相关系数资料结论：工业总产值与能源消耗量之间存在高度的正相关关系，能源消耗量x的变化能够解释工业总产值y变化的95.2﹪。相关系数的计算相关关系不等于因果关系；相关系数只度量变量间的线性关系，因此，弱相关不一定表明变量间没有关系；极端值可能影响相关系数。注意相关关系成立的数据范围。警惕虚假相关使用相关系数时应注意的问题：二、等级相关与品质相关等级相关由于社会经济现象的复杂性，有许多情形难以以精确数字形成统计数列，而只能根据主观判断，评定等级，依次排列。如对事态轻重、才智高低、艺术水平等的评价，都只能依据评判者的知识、经验、感受、有关规则等，作出相对大小的等级评定。定序尺度的变量之间的相关关系。等级相关系数的计算该公式是由斯皮尔曼提出的，故也称为斯皮尔曼等级相关系数。等级相关演员编号等级等级差d=x-yd21999年x2000年y（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）∑12345678910--21384796510---110-411-2240011016114416044回归：退回regression1877年弗朗西斯•高尔顿爵士遗传学研究回归线平均身高第二节一元线性回归模型回归分析法产生的历史回归分析法。由著名的英国生物学家、统计学家高尔顿（F.Gallton）——达尔文的表弟所创。早年，高尔顿致力于化学和遗传学领域的研究。他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间的关系时，建立了回归分析法。父亲们的身高与儿子们的身高之间

关系的研究1889年F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了上千个家庭的身高、臂长和腿长的记录企图寻找出儿子们身高与父亲们身高之间关系的具体表现形式回归分析法产生的历史160165170175180185140150160170180190200YX儿子们身高向着平均身高“回归”，以保持种族的稳定回归分析法产生的历史从图上虽可看出，个子高的父亲确有生出个子高的儿子的倾向，同样地，个子低的父亲确有生出个子低的儿子的倾向。得到的具体规律如下：如此以来，高的伸进了天，低的缩入了地。他百思不得其解，同时又发现某人种的平均身高是相当稳定的。最后得到结论：儿子们的身高回复于全体男子的平均身高，即“回归”——见1889年F.Gallton的论文《普用回归定律》。后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律回归分析法产生的历史回归分析通过一个变量x或一些变量(x1,x2,x3…)的变化解释另一变量y的变化.即根据相关关系的数量表达式（回归方程式）与给定的自变量x，揭示因变量y在数量上的平均变化和求得因变量的预测值的统计分析方法回归：退回regression回归方程回归模型反映自变量和因变量之间数学联系的表达式。某一类回归方程的总称。自变量(independentvariable):解释变量，给定的或可以控制的、用来解释、预测应变量的变量。因变量(dependentvariable):响应变量，由自变量来解释其变化的变量。XYXY••••••••回归分析的内容和步骤1、根据理论和对问题的分析判断，区分自变量和因变量；2、设法找出适合的数学方程式(即回归模型)描述变量间的关系3、对回归模型进行统计检验；4、统计检验通过后，利用回归模型，根据解释变量去估计，预测因变量。回归分析的分类根据变量的多少分为：简单回归多元回归只有一个自变量和一个因变量的回归自变量数目在两个或两个以上根据建立的回归模型形式分为：线性回归非线性回归从所拟合的回归模型来看，一变量表现为其它变量的线性组合。从所拟合的回归模型来看，一变量表现为其它变量的非线性组合回归分析与相关分析理论和方法具有一致性；无相关就无回归，相关程度越高，回归越好；

相关系数和回归系数方向一致，可以互相推算。联系：相关分析中x与y对等，回归分析中x与y要确定自变量和因变量；相关分析中x、y均为随机变量，回归分析中只有y为随机变量；相关分析测定相关程度和方向，回归分析用回归模型进行预测和控制。回归分析与相关分析区别：简单线性回归模型指根据成对的两个变量的数值，配合直线方程式，根据自变量的变动，来推算因变量发展变动趋势的方法，其模型为：

其中：Yi表示因变量Y在总体中某一个具体的观察值；Xi表示在研究总体中自变量X的具体观察数值；A与B是参数，称为回归系数；εi是一个随机变量，其平均数为0，方差为σ2.总体回归模型总体一元线性回归模型：模型参数误差项假定：E(

)=0总体一元线性回归方程：简单线性回归模型的假设1、正态性假定3、线性假定2、同方差假定4、独立性假定当确定某一个Xi时，相应的Y就有许多Yi值与之对应。Yi是一个随机变量，这些Yi构成一个在X取值为Xi条件下的条件分布、并假设其服从正态分布。

假定所有Yi这一条件分布的方差是相等的。

假定所有Yi这一条件分布的平均数位于一条直线上，这条直线为Yi=A+BX，

假定Yi之间是独立的，也就是说抽样时，Y的值在每取一个X值的条件分布相互独立。一元线性回归模型的假定在实际应用中，我们对X和Y所代表的总体往往不可能全面的观察和了解，而只能从中抽取部分资料作为样本，并通过样本提供的信息来认识总体，找出总体回归模型的估计式，其估计式的方程式可写为:简单线性回归模型其中：a，b和ei分别为A、B及εi的估计量。由于抽样的随机性，使样本回归线不可能与总体回归完全重合，从而会出现样本回归函数高估或低估总体回归函数的情况，我们能做的就是设法使样本回归函数尽可能接近总体回归函数，也就是说要使回归方程参数的估计值a、b尽量接近总体真实参数A、B。样本回归模型一元线性回归方程的几何意义截距斜率一元线性回归方程的可能形态

为正

为负

为0回归直线的拟合总体一元线性回归方程:样本一元线性回归方程：以样本统计量估计总体参数斜率（回归系数）截距截距a表示在没有自变量x的影响时，其它各种因素对因变量y的平均影响；回归系数b表明自变量x每变动一个单位，因变量y平均变动b个单位。(估计的回归方程)随机干扰：各种偶然因素、观察误差和其他被忽视因素的影响X对y的线性影响而形成的系统部分，反映两变量的平均变动关系，即本质特征。残差(Residual):e一元线性回归方程中参数a、b的确定：最小平方法基本数学要求整理得到由两个关于a、b的二元一次方程组成的方程组：进一步整理，有：学生身高x体重yx2y2xy估计值ŷ残差y-ŷABCDEFGHIJ1581601621641661681701721741764750485562605261706524964256002624426896275562822428900295843027630976220925002304302538443600270437214900422574268000777690201029210080884010492121801144047.29149.44851.60653.76455.92158.07960.23662.39464.55266.709-0.2910.552-3.6061.2366.0791.921-8.236-1.3945.448-1.709

16705702792203303295546-0【分析】因为工业总产值与能源消耗量之间存在高度正相关关系（），所以可以拟合工业总产值对能源消耗量的线性回归方程。【例】建立工业总产值对能源消耗量的线性回归方程资料解：设线性回归方程为即线性回归方程为：计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将增加0.7961个单位（亿元）。最小二乘法估计的优良性质残差之和为零所拟合直线通过样本散点图的重心误差项与解释变量不相关a与b分别是总体回归系数的无偏估计量a与b均为服从正态分布的随机变量回归模型的检验1、拟合优度检验确定回归直线后，需要评价这一直线方程是否有效地反映了这两变量之间的关系。评价回归方程配合好坏的一个主要指标是判定系数(或称确定系数)是相关系数的平方，用表示；用来衡量回归方程对y的解释程度。判定系数取值范围：越接近于1，表明x与y之间的相关性越强；越接近于0，表明两个变量之间几乎没有直线相关关系.判定系数误差平方和回归平方和总离差平方和总偏差=回归偏差+剩余偏差r2表示全部偏差中有百分之几的偏差可由x与y的回归关系来解释r的符号同b数量关系及意义判定系数与相关系数的关系学生身高体重估计值ABCDEFGHIJ1581601621641661681701721741764750485562605261706524964256002624426896275562822428900295843027630976220925002304302538443600270437214900422574268000777690201029210080884010492121801144047.2949.4551.6153.7655.9258.0860.2462.3964.5566.71-9.71-7.55-5.39-3.24-1.081.083.245.397.559.71-10-7-9-253-5413816705702792203303295546-00判定系数与相关系数的区别：判定系数无方向性，相关系数则有方向，其方向与样本回归系数b相同；判定系数说明变量值的总离差平方和中可以用回归线来解释的比例，相关系数只说明两变量间关联程度及方向；相关系数有夸大变量间相关程度的倾向，因而判定系数是更好的度量值。Lyy=U+Q总离差平方和回归平方和误差平方和回归分析中我们最关心的是：

X与Y是否有真正的相关关系。即：回归系数的检验提出假设；确定检验统计量；给定显著性水平，确定临界值；确定原假设的拒绝规则；计算检验统计量并做出决策。统计理论已经证明学生身高体重估计值ABCDEFGHIJ1581601621641661681701721741764750485562605261706524964256002624426896275562822428900295843027630976220925002304302538443600270437214900422574268000777690201029210080884010492121801144047.2949.4551.6153.7655.9258.0860.2462.3964.5566.71-9.71-7.55-5.39-3.24-1.081.083.245.397.559.71-10-7-9-253-5413816705702792203303295546-00检验统计量落入拒绝域中，故拒绝原假设，接受备择假设。即可以认为b明显地不等于零，X与Y是显著的。F检验是基于F分布进行的，是方差分析内容之一。方差来源平方和自由度均方F值回归误差总计SSRSSESST1n-2n-1均方回归均方误差当

1=0时，SSR=0，则F值=0。当

10时，SSR>0，则F值>0。当我们设

1=0时，则较大的F值将推翻这一假设。故拒绝原假设，接受备择假设，即认为回归方程是显著的。估计的前提：回归方程经过检验，证明X和Y的关系在统计上是显著的。回归分析的点估计：对于给定的X值，求出Y平均值的一个估计值或Y的一个个别值。若x=169，则：利用点估计得到的Y平均值的点估计值和Y的一个个别值其结果是相同的。点估计不能提供估计量的精确度。在样本自变量取值范围之外进行预测要特别谨慎。使用点估计应注意的问题：回归分析的区间估计：对于给定的X值，求出Y的平均值的置信区间或Y的一个个别值的预测区间。

Y的平均值的置信区间估计总体的回归模型样本回归方程如果样本回归方程通过检验，则：如果给定x=x0，则有：分布形态？可以证明，ŷ0

是服从正态分布的，其数学期望：其方差：其标准差：对于给定的x=x0

，Y的1-置信区间为：也就是：自由度为n-2的t分布的水平双侧分位数学生身高体重估计值ABCDEFGHIJ1581601621641661681701721741764750485562605261706524964256002624426896275562822428900295843027630976220925002304302538443600270437214900422574268000777690201029210080884010492121801144047.2949.4551.6153.7655.9258.0860.2462.3964.5566.71-9.71-7.55-5.39-3.24-1.081.083.245.397.559.71-10-7-9-253-5413816705702792203303295546-00若令=0.05，则有t/2（n-2）

=2.31当时，得到最小值。当时，的值随的减少或增加而逐步增大。

Y的个别值的置信区间估计对于给定的X=X0，如果要预测Y的一个个别值Y0的置信区间，则其相应的残差为：Y的个别值相对于其平均值的方差当X=X0时，所估计的Y0的方差组成与用Ŷ估计Y平均值相联系的方差即：Y0的方差为：即：则：Y的一个个别值Y0的标准差的估计值为：对于给定的X0，Y的一个个别值Y0的预测区间估计值为：也就是：与估计Y的平均值公式相比，此公式中多了一项“1”，因此，这个置信区间要相对大一些学生身高体重估计值ABCDEFGHIJ1581601621641661681701721741764750485562605261706524964256002624426896275562822428900295843027630976220925002304302538443600270437214900422574268000777690201029210080884010492121801144047.2949.4551.6153.7655.9258.0860.2462.3964.5566.71-9.71-7.55-5.39-3.24-1.081.083.245.397.559.71-10-7-9-253-5413816705702792203303295546-00若令=0.05，则有t/2（n-2）

=2.31当时，得到最小值。当时，的值随的减少或增加而逐步增大。回归方程的估计与预测估计的前提：回归方程经过检验，证明X和Y的关系在统计上是显著相关的。对于给定的X值，求出Y平均值的一个估计值或Y的一个个别值的预测值。对于给定的X值，求出Y的平均值的置信区间或Y的一个个别值的预测区间。点估计区间估计点估计若x=80（十万吨），则：区间估计对于给定的x=x0

，Y的1-置信区间为自由度为n-2的t分布的水平双侧分位数即：在大样本条件下，近似有：第三节多元线性回归分析一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的估计三、应用举例一、多元线性回归模型多元模型基本形式常数项偏回归系数二元线性回归模型二、多元回归估计标准误差（二）回归估计标准误差n—样本观测值的个数k—方程中回归系数个数（常数项除外）S回归估计的标准误差。S越小表明回归方程的代表性越强。三、多元线性回归分析应用举例

中国民航客运量的回归模型。为了研究我国民航客运量的变化趋势及其成因，我们以民航客运量作为因变量y（万人），以国民收入x1(亿元)、消费额x2(亿元)、铁路客运量x3(万人)、民航航线里程x4(万公里)、来华旅游入境人数x5(万人)为影响民航客运量的主要因素。根据《1994年统计摘要》获得1978—1993年统计数据。多元线性回归分析应用举例（续）多元线性回归分析应用举例计算拟和优度检验方差分析表用SPSS得回归结果多元线性回归分析应用举例计算回归系数表第四节非线性回归分析一、常用非线性函数二、非线性回归模型的估计三、应用举例一、常用非线性函数1、抛物线函数2、双曲线函数3、幂函数4、指数函数常用非线性函数（续）5、对数函数6、S形曲线函数7、多项式方程二、非线性回归模型的估计（一）倒数变换（二）半对数变换（四）多项式变换（三）双对数变换对两边求对数：令有：本章内容结束！

第一节统计推断能力概述第四节概率抽样推断及应用第三节统计抽样推断的误差及控制第五节非概率抽样推断及应用第八章统计推断第二节统计推断的一般问题第一节统计推断能力概述抽样方案设计能力第1步：定义有关的总体第2步：获得总体的名单第3步：设计样本方案（大小和方法）第4步：接近总体第5步：抽取样本第7步：若有需要，重新取样第6步：样本证实抽样调查组织能力1.确定抽样调查总体2.确定抽样框3.选择调查样本4.实施调查抽样推断能力1.抽样误差的测算与控制2.抽样推断第二节统计推断的一般问题

指样本单位的抽取不受主观因素及其他系统性因素的影响，每个总体单位都有均等的被抽中机会抽样推断按照随机原则

从总体中抽取一部分单位进行观察，并运用数理统计的原例，以被抽取的部分单位的数量特征为代表，根据观察结果来推断，对总体作出数量上的推断分析。统计推断全及总体指标：参数（未知量）样本总体指标：统计量（已知量）抽样推断随机原则的实现抽签法是将总体中每个单位的编号写在外形完全一致的签上，将其搅拌均匀，从中任意抽选，签上的号码所对应的单位就是样本单位。随机数表法将总体中每个单位编上号码，然后使用随机数表，查出所要抽取的调查单位。计算机模拟法是将随机数字编制为程序存储在计算机中，需要时将总体中各单位编上号码，启用随机数字发生器输出随机数字，然后从总体中找到相应总体单位形成样本。并非所有的抽样估计都按随机原则抽取样本，也有非随机抽样总体随机样本非随机样本与总体分布特征相同与总体分布特征不同按随机原则抽取样本单位与全面推断相比较，抽样推断能节省人力、费用和时间，比较灵活抽样推断产生抽样误差，但抽样误差可以事先计算并控制抽样推断的特点与全面调查相比，抽样调查既节省了人力、物力、财力和时间，又达到了认识总体数量特征的目的。我国在1994年确立了以周期性普查为基础，以经常性抽样调整为主体，同时辅之以重点调查、科学核算等综合运用的统计调查方法体系。

不可能进行全面调查时

不必要进行全面调查时

来不及进行全面调查时对全面调查资料进行检验修正时工业生产过程中的质量控制对总体的假设进行检验，判断真伪抽样推断的作用抽样推断的理论基础大数定律中心极限定律表明大量随机观象平均结果具有稳定性的性质。大数定律论证了如果独立随机变量总体存在有限的平均数和方差，则对于充分大的样本可以近乎100%的概率，期望样本平均数与总体平均数的绝对离差为任意小。

如果变量总体存在有限的平均数和方差，那么不