2026秋北师9年级数学导教导学案4 第4课　矩形的判定

第4课矩形的判定图示矩形的判定(1)矩形的判定(2)矩形的判定(3)有一个角是____的_________形是矩形有_______是_____的_____形是矩形对角线_____的________形是矩形几何语言：∵_________________________，∴四边形ABCD是矩形几何语言：∵______________________，∴四边形ABCD是矩形几何语言：∵____________________，∴四边形ABCD是矩形直角平行四边

▭ABCD，∠BAD＝90°三个角直角四边

∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°相等平行四边

▭ABCD，AC＝BD1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EG∥CB，FG∥CA．求证：四边形EGFC是矩形．利用“矩形的判定(1)”证明矩形证明：∵EG∥CB，FG∥CA，∴四边形EGFC是平行四边形．又∵∠C＝90°，∴四边形EGFC是矩形．2.(BS九上P14T1改编)如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，AE＝BE．求证：四边形ABCD是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴△ADE≌△BCE(SSS)，在△ADE和△BCE中，证明：∵E为CD的中点，∴DE＝CE. 又∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°.∴∠D＝90°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠C.∴四边形ABCD是矩形．3.(BS九上P29T18改编)如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．利用“矩形的判定(2)”证明矩形证明：∵BG，CG分别是∠ABC，∠BCD的平分线，∴∠GBC＝

∠ABC，∠BCG＝

∠DCB.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC＋∠DCB＝180°.∴∠GBC＋∠BCG＝90°，∴∠G＝90°.同理易证∠E＝90°，∠DHC＝90°，∴∠GHE＝90°.∴∠E＝∠GHE＝∠G＝90°.∴四边形EFGH是矩形．4.

(BS九上P15T5改编)如图，直线MN与AC交于点A，AP，AQ分别是∠NAC和∠MAC的平分线，CB⊥AQ于点B，CD⊥AP于点D．求证：四边形ADCB是矩形．证明：∵AQ，AP分别平分∠MAC和∠NAC，又∵∠MAC＋∠NAC＝180°∴∠BAC＝

∠MAC，∠PAC＝

∠NAC.∴∠BAC＋∠PAC＝90°，即∠BAP＝90°.又∵CB⊥AQ，CD⊥AP，∴∠CBA＝90°，∠CDA＝90°.∴∠CBA＝∠BAD＝∠CDA＝90°.∴四边形ADCB是矩形．利用“矩形的判定(3)”证明矩形5.(BS九上P14例2改编)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且△AOB是等边三角形，AB＝2，求▱ABCD的面积．解：∵△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC，OB＝BD.∴AC＝BD＝2×2＝4.∴四边形ABCD是矩形．∴∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝2.∴▱ABCD的面积为AB·BC＝2×2＝4.6.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2.(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若AD＝5，∠AOD＝60°，则AB＝______.

(1)证明：∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB. ∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形.

∴OA＝

AC，OB＝

BD. 7.(2025·南山区校级期中)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件中能够使得▱ABCD是矩形的是

()A.AB＝ADB.∠ABC＝∠BCDC.∠ABD＝∠CBDD.AO⊥BOB8.【本课易错汇编】下列命题正确的是______.(填序号)①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②四条边相等的四边形是矩形； ③有一组邻边相等的平行四边形是矩形； ④对角线相等的四边形是矩形； ⑤对角线互相平分的四边形是矩形； ⑥矩形的对角线相等且互相平分.①⑥9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC，连接AE，过点B作BF∥AC交AE于点F，连接OF. (1)求证：四边形AFBO是矩形；(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC. ∵BE＝BC，∴AD＝BE.∴四边形AEBD是平行四边形. ∴AE∥BD.又∵BF∥AC，∴四边形AFBO是平行四边形. 又∵AC⊥BD，即∠AOB＝90°，∴四边形AFBO是矩形.(2)若∠E＝30°，OF＝2，求菱形ABCD的面积

.(2)解：由(1)知四边形AFBO是矩形，∴AB＝OF＝2，∠EAC＝90°.又∵∠E＝30°，∴ACE＝90°－∠E＝60°. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝