2026秋北师9年级数学导教导学案5 第5课　正方形的性质

第5课正方形的性质

正方形的定义：有一组

5相等，并且有一个角是

5的

5叫作正方形．邻边直角平行四边形图示正方形的性质

(1)正方形既是矩形又是菱形，它具有矩

形与菱形的所有性质；(2)正方形的四个角都是

5，四条边

5；(3)对角线

5，且对

角线平分每一组

5；(4)正方形是

5图形，有

条对称轴直角相等相等且互相垂直平分对角轴对称4AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，AD∥BCAC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO，∠BAC＝∠DAC＝∠ADB＝∠BDC＝∠ACD＝∠ACB＝∠CBD＝∠ABD＝45°

BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°1.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O.

(1)若周长为8，则对角线长为_______，面积为_______；(2)图中共有_______个等腰直角三角形．482.(2025·南山区开学)下列有关特殊平行四边形的性质，说法正确的是

()A.菱形的对角线相等B.矩形的对角线互相垂直C.菱形的四个角相等D.正方形的对角线互相垂直平分且相等D课堂总结：已知正方形的边长、对角线、周长、面积中任意一项，可求出另外三项. 3.(BS九上P17例1)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°.∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS).∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF.如图，延长BE交DF于点M.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.∴∠CBE＋∠F＝90°.∴∠BMF＝90°.∴BE⊥DF.4.如图，在正方形ABCD中，已知AE，DF相交于点O，BE＝AF.求证：

(1)DF＝AE；(2)DF⊥AE. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠B＝∠DAF＝90°，

∴△DAF≌△ABE(SAS).∴DF＝AE. 在△DAF和△ABE中，(2)由(1)得△DAF≌△ABE，∴∠DFA＝∠AEB.

∵∠B＝90°，∴∠AEB＋∠EAB＝90°.∴∠DFA＋∠EAB＝∠AEB＋∠EAB＝90°.∴∠AOF＝90°，即DF⊥AE.5.(2025·龙岗区期中)如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到点E，使AE＝AC，以AE为另一边作菱形AEFC．若菱形的面积为9

，则正方形ABCD的边长为

．36.(2025·禅城区月考)如图，正方形ABCD的边长为3，F为对角线BD上一点，连接AF，过点F作EF⊥AF，交BC于点E，连接AE，若DF＝，则AE的长为

()A.B.2C.D.2A7.(2025·南山区校级月考)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为

()A.20°B.15°C.12.5°D.10°B8.(2025·福田区校级开学)如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴的正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为

()A.－2B.－C.－D.－B9.(BS九上P18T1)如图，在正方形ABCD中，F为对角线AC上一点，连接BF，DF．请找出图中的全等三角形，并选择其中一对进行证明．解：△ADF≌△ABF，△DCF≌△BCF，△ADC≌△ABC.证明△ADF≌△ABF如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAF＝∠BAF.又∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF(SAS).10.(BS九上P18T2)如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A′，C′的位置，得到正方形A′BC′D.已知菱形ABCD的面积为120cm2，正方形A′BC′D的面积为50cm2，求AC的长．解：如图，连接BD，交AC于点O.∵正方形A′BC′D的面积为50cm2，∴BD2＝50.∴BD＝10cm(负值已舍去).∵菱形ABCD的面积为120cm2，∴BD·AC＝×10AC＝120.∴AC＝24cm.11.如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝3，PB＝2，PC＝1．将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP′，连接AP′，PP′.

(1)求证：△P′BA≌△PBC；

证明：由旋转，得∠P′BP＝90°，P′B＝PB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，AB＝CB. ∴∠ABP′＝90°－∠ABP＝∠CBP. ∴△P′BA≌△PBC(SAS). 在△P′BA和△PBC中，

(2)求∠BPC的度数；

解：由(1)得△P′BA≌△PBC，∴P′A＝PC＝1. 由旋转可知，△BPP′是等腰直角三角形，

∴∠BP′P＝45°，P′B＝PB＝2. ∴P′A2＋P′P2＝1＋8＝32＝PA2. ∴∠AP′P＝90°. ∴∠BPC＝∠BP′A＝∠BP′P＋∠AP′P

＝90°＋45°＝135°.∴PP′＝＝2.(3)求证：P，P′，C三点共线.

证明：由(2)得△BPP′是等腰直角三角形. ∴∠BPP′＝45°. 又∵∠BPC＝135°，

∴∠BPP′＋∠BPC＝180°. ∴P，P′，C三点共线.12.如图，在正方形纸片ABCD中，AB＝6，G是BC的中点，将△ABG沿AG翻折至△AFG，延长GF交DC于点E.

(1)求证：DE＝EF；

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠B＝90°.证明：如图，连接AE，∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL)．∴DE＝EF；在Rt△ΑFΕ和Rt△ADE中，由折叠，得AF＝AB，∠AFG＝∠B＝90°.∴AF＝AD，∠AFE＝90°＝∠D.(2)求DE的长. 解：设DE＝x.∴