北师大版数学 第1章 勾股定理（基础卷） 同步练习 含答案

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷第一章勾股定理（基础卷）时间：120分钟满分：120分一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项）1．下列四组数中，不是勾股数的一组数是（

）A．1，1，2 B．3，4，5C．5，12，13 D．7，24，252．在直角三角形中，若一条直角边长是5，另一条直角边长是12，则斜边长的平方是（

）A．13 B．50 C．125 D．1693．将直角三角形的三边扩大2倍，得到的三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形4．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（

）A．B． C． D．5．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（

）A．B．C．D．6．已知|x−12|+(y−5)2=0，如果以x，yA．2.5 B．5 C．7 D．137．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，那么折痕MN与线段AB的交点N与点B的距离为(

A．53 B．52 C．4 8．“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（

）A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想9．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（

）A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米10．在Rt△ABC中，斜边AB=10，则AB2A．100 B．200 C．300 D．40011．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（

）A．x2+(x+6.8)C．(x+6.8)2−x12．如图，将一根长为24cm的吸管置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为ℎcm，则A．12≤ℎ≤13 B．11≤ℎ≤12 C．11≤ℎ≤13 D．10≤ℎ≤12二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若边长为a的正方形的面积等于长为b+c，宽为b−c的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是三角形（选填“锐角”“直角”或“钝角”）．14．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的依据是．15．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5,BE=13，则EF2的值是16．如图，在△ABC中，AC=10，AD平分∠BAC，E、F分别是AB、AD上的动点．若S△ABC=40，则BF+EF的最小值为三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程）17．（8分）如图，已知BC=21，AB=17，AC=10，AD⊥BC于点D，求AD的长．18．（10分）在△ABC中，∠C=90°，设AB=c，BC=a，AC=b．(1)已知a=8，b=15，求c；(2)已知c=13，b=5，求a．19．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°,M是BC的中点，MD⊥AB于点D，试说明：AD20．（10分）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送3m（水平距离BC=3m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.521．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB=10,BC=6，E是AD边上一点．将四边形BCDE沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为C′,D′．若(1)AE的长．(2)△ABE的面积．22．（12分）（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，4=32−1（2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且n≥3）．23．（12分）如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路AC,AD和AB，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直．已知AC=9km,(1)求公路BC的长度．(2)若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的费用．24．（12分）如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm、宽为50cm的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．(1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC．(2)线段AC的长即为蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是________________．(3)求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．25．（12分）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展：(1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____；(2)如图②，将长方形ABCD的四边AD、DC、CB、BA分别延长至E、F、G、H，使得DE=DC=BG=AB，CF=BC=AH=AD，连接EF、FG、GH、HE．①求证：EF=GH；②若AB=4，BC=3，则图中阴影部分图形的面积为_____．

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷第一章勾股定理（基础卷）时间：120分钟满分：120分一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项）1．下列四组数中，不是勾股数的一组数是（

）A．1，1，2 B．3，4，5C．5，12，13 D．7，24，25【答案】A【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．【详解】解：A、12B、32C、52D、72故选：A．2．在直角三角形中，若一条直角边长是5，另一条直角边长是12，则斜边长的平方是（

）A．13 B．50 C．125 D．169【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可求解，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键．【详解】解：由勾股定理得，斜边长的平方=5故选：D．3．将直角三角形的三边扩大2倍，得到的三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形【答案】B【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；设直角三角形的三边长为a，b，c，且满足a2【详解】设直角三角形的三边长为a，b，c，且满足a2将该直角三角形的三边扩大2倍，三边长变为2a，2b，2c，∵2a2+∴2a∴将直角三角形的三边扩大2倍后得到的三角形是直角三角形．故选：B．4．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，A、S=5+15=20，故不符合题意；B、S=8+6=14，故不符合题意；C、S=8−6=2，故不符合题意；D、S=15−5=10，故符合题意；故选：D．5．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、72+24B、72+24C、72+15D、72+20故选：B．6．已知|x−12|+(y−5)2=0，如果以x，yA．2.5 B．5 C．7 D．13【答案】D【分析】两个非负的数相加为零，它们均为零，求出x,y，再根据勾股定理即可求出答案．【详解】由题意知，x−12=0,解得，x=12,y=5，在直角三角形中，由勾股定理知，x2∴x∴斜边长为13，故选：D．7．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，那么折痕MN与线段AB的交点N与点B的距离为(

A．53 B．52 C．4 【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9−x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x【详解】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9−x，∵D是BC的中点，BC=6，∴BD=3，在Rt△NBD中，x解得x=4．即BN=4．故选：C．8．“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（

）A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想是数形结合思想即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．9．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（

）A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米【答案】B【分析】本题主要考查勾股定理；在Rt△ABC中，利用勾股定理AB2+BC2=AC2【详解】解：∵AB=2,BC=1.5，∴在Rt△ABC中，A即AC∵CE=AC,ED=2.4，∴在Rt△CDE中，∴CD∴CD=0.7，∴BD=BC+CD=1.5+0.7=2.2，∴两个书柜之间的距离为2.2米；故选：B．10．在Rt△ABC中，斜边AB=10，则AB2A．100 B．200 C．300 D．400【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．先画图，再利用勾股定理可求BC2+A【详解】解：如图所示，

在Rt△ABC中，A又∵AB=10，∴AB∴AB故选：B．11．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（

）A．x2+(x+6.8)C．(x+6.8)2−x【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意明确线段长度是解题的关键．设门的高为x尺，则宽为x−6.8尺，对角线长为10尺，由勾股定理即可列出方程．【详解】解：设门的高为x尺，则宽为x−6.8尺，由题意知，对角线长为10尺，由勾股定理得，x2故选：B．12．如图，将一根长为24cm的吸管置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为ℎcm，则A．12≤ℎ≤13 B．11≤ℎ≤12 C．11≤ℎ≤13 D．10≤ℎ≤12【答案】B【分析】本题考查了圆柱的性质，勾股定理的实际应用，解题关键是掌握勾股定理．根据图形分析出ℎ最长、最短时的位置，分别求出ℎ的长，从而可得出ℎ的取值范围．【详解】解：当吸管与圆柱母线平行时，ℎ最长，此时ℎ=24−12=12(cm)；当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，ℎ最短，∴24−ℎ2=52+∴ℎ的取值范围是11≤ℎ≤12，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若边长为a的正方形的面积等于长为b+c，宽为b−c的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是三角形（选填“锐角”“直角”或“钝角”）．【答案】直角【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由面积得b+cb−c【详解】解：由题意得b+cb−c整理得：a2∴三角形为直角三角形，故答案为：直角．14．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的依据是．【答案】勾股定理的逆定理【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．根据勾股定理的逆定理即可判断．【详解】解：设相邻两个结点的距离为x，则此三角形三边的长分别为3x、4x、5x．∵(3x)根据勾股定理的逆定理：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．∴以3x、4x、5x为边长的三角形是直角三角形．故答案为：勾股定理的逆定理．15．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5,BE=13，则EF2的值是【答案】128【分析】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质，可以得到正方形GEHF的边长为8，然后，在Rt△EGF中，运用勾股定理可得E【详解】解：∵由题意可知，四个直角三角形全等，AE=5，BE=13，∴AG=BE=13，EG=AG−AE=13−5=8，∵同理，可得GF=8，∴在Rt△EGFEF故答案为：128．16．如图，在△ABC中，AC=10，AD平分∠BAC，E、F分别是AB、AD上的动点．若S△ABC=40，则BF+EF的最小值为【答案】8【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，能够根据相关知识得到BE+EF的最小值为BH的长是解题的关键．在AC上取一点E′，使AE′=AE，连接EF′，BE′，过点B作【详解】解：如图，在AC上取一点E′，使AE′=AE，连接EF′，∵AD平分∠BAC，∴点E′与点E关于直线AD∴FE∴BF+EF=BF+FE即BF+EF的最小值为BH的长，∵AC=10，S△ABC∴12解得BH=8，∴BF+EF的最小值为8，故答案为：8．三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程）17．（8分）如图，已知BC=21，AB=17，AC=10，AD⊥BC于点D，求AD的长．【答案】AD=8【分析】本题考查了勾股定理.由勾股定理得到AB2−BD2=AC【详解】∵AD⊥BC∴AB2−B∴A设CD=x，则BD=21−x，∴17整理得42x=252解得x=6即CD=6∴AD=A18．（10分）在△ABC中，∠C=90°，设AB=c，BC=a，AC=b．(1)已知a=8，b=15，求c；(2)已知c=13，b=5，求a．【答案】(1)c=17(2)a=12【分析】本题考查了勾股定理；（1）由勾股定理得c=a（2）由勾股定理得a=c【详解】（1）解：∵∠C=90°，∴c===17；（2）解：∵∠C=90°，∴a===12．19．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°,M是BC的中点，MD⊥AB于点D，试说明：AD【答案】见解析【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出AD2=AM2−MD2，MD【详解】解：连接MA．因为MD⊥AB，所以∠ADM=∠BDM=90°，所以AD2=A因为∠C=90°，所以AM因为M为BC中点，所以BM=MC，所以AD20．（10分）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送3m（水平距离BC=3m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.5【答案】5米【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形BCEF是矩形，设AD=x，则AB=x，AC=x−1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A【详解】解：由题意可知，AC⊥BC，CE⊥EF，BF⊥EF，∴∠BCE=∠CEF=∠BFE=90°，∴四边形BCEF是矩形，∴CE=EF=1.5m∵DE=0.5m∴CD=CE−DE=1.5−0.5=1m设AD=x，则AB=x，AC=x−1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A∴(x−1)2解得x=5，答：绳索AD的长度5米．21．（10分）如图，在长方形ABCD中，AB=10,BC=6，E是AD边上一点．将四边形BCDE沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为C′,D′．若(1)AE的长．(2)△ABE的面积．【答案】(1)10(2)50【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键．（1）根据长方形的性质得出∠D=∠C=∠DAB=90°,AB=DC=10,AD=BC=6，再由折叠的性质确定∠D（2）结合图形直接求面积即可．【详解】（1）解：因为四边形ABCD为长方形，所以∠D=∠C=∠DAB=90°,AB=DC=10,AD=BC=6．由折叠的性质，得∠D由勾股定理，得AC所以AC所以AD设ED=ED′=a所以(6−a)2解得a=8所以AE=6−8（2）S△ABE22．（12分）（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，4=32−1（2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且n≥3）．【答案】（1）①12

13

②24

25

③40

41

（2）n,【分析】本题考查的是勾股数的概念，满足a2（1）根据勾股数的概念解答即可；（2）根据给出的几组勾股数总结规律即可．【详解】解：（1）①∵52−12∴5，12，13是一组勾股数；②∵72−12∴7，24，25是一组勾股数；③∵92−12∴9，40，41是一组勾股数；故答案为：12，13；24，25；40，41（2）由（1）可知一般规律的表达方式：n，n2−12，n2+1证明：n2n2∴n2+n2−122=n2+12223．（12分）如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路AC,AD和AB，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直．已知AC=9km,(1)求公路BC的长度．(2)若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的费用．【答案】(1)BC=12(2)6000（万元）【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式及其应用，解题的关键在于利用勾股定理计算直角三角形的边长，通过三角形面积的不同表示方法建立等式求解未知量，最终计算所需费用，体现了数学知识在实际问题中的综合运用．（1）利用直角三角形ABC中勾股定理求BC；（2）先通过BC与BD的长度差得到CD，再利用三角形面积的两种表示方法建立等式求出DH，最后计算费用．【详解】解：（1）由题意，得∠C=90°，所以由勾股定理，得BC2=A（2）因为DH⊥AB，所以S△ABD所以DH=BD⋅AC所以修建公路DH的费用为3×2000=6000（万元）．24．（12分）如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm、宽为50cm的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．(1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC．(2)线段AC的长即为蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是________________．(3)求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需