北师大版数学 第1章 勾股定理·能力提升卷 试卷 含答案

2026-2027学年八年级上册数学单元自测第一章勾股定理·能力提升建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．12，13，14 B．24，25，26 C．9，30，31 D．9，40，412．在直角三角形中，斜边长为13，一直角边长为5，则另一直角边长为（

）A．6 B．7 C．10 D．123．在中，，若，则等于（）A．32 B．16 C．20 D．254．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．下列命题：①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13；②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．②④6．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（

）A． B． C． D．7．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（

）A． B．C． D．8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（

）A． B．C．的面积为10 D．点A到直线的距离是29．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（

）A．3 B． C．3或 D．3或10．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（

）A．正方形的面积为 B．C．是的中点 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（25-26七年级下·山东济南·期末）若，，是勾股数，则的值是________．12．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）在中，，，则__________13．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）．14．（25-26八年级下·河南安阳·期末）在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________．15．如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从点向点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是_______．16．已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线，，上，与之间的距离是1，与之间的距离是2．若是等腰直角三角形，则它的面积是________．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．中，，于，，(1)求长；(2)求长．18．（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为16米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．(1)求风筝的垂直高度；(2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？19．综合与实践．【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺．【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，让小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置；步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从摆到位置；步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到位置，使得．

【实验记录】如图2，在笔记本上记录点和点的位置（图中的，，，在同一平面上），并过点作于点，过点作于点，测得，．【实践探索】(1)求证：；(2)求的长．20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”．(1)若，，则，的“调和数”_______．(2)若，，求，的“调和数”；(3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值．21．【问题情境】如图①，在中，为边上的高．【特例研究】(1)若，，，求证：；【问题解决】(2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由．22．探究实践：如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．(1)作于点，设，用含的代数式表示_____；(2)根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；(3)利用勾股定理求出的长，再计算的面积．23．综合与实践【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则．【变式探究】（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）24．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒．(1)证明：是直角三角形；(2)若是以为腰的等腰三角形，求的值；(3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分．25．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题：(1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：____；(2)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示)(3)如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____；(4)如图5，直角中，，，，点D是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值．

2026-2027学年八年级上册数学单元自测第一章勾股定理·能力提升建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．12，13，14 B．24，25，26 C．9，30，31 D．9，40，41【答案】D【分析】勾股数的定义为：三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数.本题只需依次验证各选项是否满足该条件即可．【详解】解：A：∵，，，∴12，13，14不是勾股数；B：∵，，，∴24，25，26不是勾股数；C：∵，，，∴9，30，31不是勾股数；D：∵，∴9，40，41是勾股数．2．在直角三角形中，斜边长为13，一直角边长为5，则另一直角边长为（

）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】D【分析】已知直角三角形的斜边长和一条直角边长，可直接利用勾股定理计算另一条直角边长．【详解】解：设另一条直角边长为，，∴，∴，∴．3．在中，，若，则等于（）A．32 B．16 C．20 D．25【答案】A【分析】根据勾股定理得到两条直角边的平方和等于斜边的平方，整体代入所求式子计算即可．【详解】解：∵在中，，且为斜边，∴，∴．4．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案．【详解】解：由图可知，，，在中，，这棵树折断前的高度为．5．下列命题：①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13；②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】D【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理和勾股数的定义，逐一判断每个命题即可得到答案．【详解】解：对四个命题逐一判断：①∵题目未说明5和12都是直角边，当12是斜边时，斜边不是13，∴①错误；②∵，，是一组勾股数，不妨设，∴，∴，，仍是勾股数，故②正确；③∵，，，不满足直角三角形的条件，∴该三角形不是直角三角形，故③错误；④∵等腰直角三角形中，a为斜边，∴由勾股定理得，代入得，∴，故④正确；综上，正确的命题是②④．6．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可．【详解】解：根据题意，得，且，，，根据勾股定理，得，故圆的面积为，根据题意，得是半圆的面积，故；7．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可．【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步，则对角线长为步，∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步，∴根据勾股定理可得，C选项符合题意．8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（

）A． B．C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2【答案】C【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．【详解】解：A、，正确，不符合题意；B、，，，，，正确，不符合题意；C、，结论错误，符合题意；D、设点到直线的距离为，，，则，解得，即点到直线的距离是2，正确，不符合题意．9．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（

）A．3 B． C．3或 D．3或【答案】C【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时，∴，设，则，∴在中，，∴，解得，②当点D在上且靠近点C的三等分点时，∴，设，则，∴在中，，∴，解得，综上所述，或．10．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（

）A．正方形的面积为 B．C．是的中点 D．【答案】C【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D．【详解】解：A、设，则，在中，，正方形的面积为，，则，解得，四个相同的直角三角形（，，，），，则正方形的面积为，选项结论错误；B、在中，，选项结论错误；C、在正方形中，，则，，，由A的推导过程可知，则，，即是的中点，选项结论正确；D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（25-26七年级下·山东济南·期末）若，，是勾股数，则的值是________．【答案】【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为是最长边，是最长边，利用勾股定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可．【详解】解：分两种情况讨论：当为最长边时，由勾股定理得，不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去；当为最长边时，由勾股定理得，，是正整数，符合勾股数定义．12．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）在中，，，则__________【答案】51【分析】设，根据勾股定理，得，得到，解答即可．【详解】解：，设，根据勾股定理，得，故，解得，，．13．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）．【答案】是【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案．【详解】解：∵，，，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴，由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路．14．（25-26八年级下·河南安阳·期末）在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________．【答案】【分析】由题意可知，当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，先求出，根据等面积法求，即可解答．【详解】解：∵点P是上的动点，∴当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，如图∵，，∴，∵，∴，解得．15．如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从点向点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是_______．【答案】【分析】分为从上表面爬到和从右侧面爬行两种情况讨论，画出对应的展开图，再利用勾股定理进行计算，对比后得出结论．【详解】解：①当蚂蚁从上表面爬到点时，长方体表面展开如下：∴；②当蚂蚁从右侧面爬到点时，长方体表面展开如下：∴，∵，∴蚂蚁爬行的最短距离的平方为．16．已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线，，上，与之间的距离是1，与之间的距离是2．若是等腰直角三角形，则它的面积是________．【答案】或或【分析】分情况讨论：如图，由题意可得：，，过作于，交于，证明，当，，，过作于，过作于，同理证明，当，，，过作于，过作于，同理证明，再进一步求解即可．【详解】解：如图，由题意可得：当，，，过作于，交于，∴，∴，，，∴，∴，∴，，∴，∴的面积是．当，，，过作于，过作于，同理可得：，∴，，∴，∴，当，，，过作于，过作于，同理可得：，∴，，∴，∴，综上：的面积为或或．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．中，，于，，(1)求长；(2)求长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据勾股定理即可解答；（2）设，则可得，根据勾股定理列方程即可解答．【详解】（1）解：根据勾股定理可得；（2）解：设，则可得，在中，，在中，，则可得，解得，．18．（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为16米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．(1)求风筝的垂直高度；(2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？【答案】(1)风筝的高度为31.7米(2)他应该往回收线14米【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即可求出的高度；（2）根据勾股定理即可得出结论．【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，，

米（负值舍去），（米），答：风筝的高度为31.7米．（2）解：由题意得，米，米，（米），

（米），他应该往回收线米．19．综合与实践．【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺．【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，让小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置；步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从摆到位置；步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到位置，使得．

【实验记录】如图2，在笔记本上记录点和点的位置（图中的，，，在同一平面上），并过点作于点，过点作于点，测得，．【实践探索】(1)求证：；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论；（2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：在中，，∴，由（1）得，∴．20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”．(1)若，，则，的“调和数”_______．(2)若，，求，的“调和数”；(3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值．【答案】(1)(2)或(3)或或【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可；（2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果；（3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果．【详解】（1）解：由题意可得，解得；（2）解：∵，∴或，当时，，∴，当时，，∴；综上所述，或；（3）解：由题意可得，∴，∵，∴，整理得，∵，，均为正整数，∴，∴将两边同时除以得，∴，∴，∵且，，均为正整数，∴，，为勾股数组合，当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意；当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意；当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意；验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或．21．【问题情境】如图①，在中，为边上的高．【特例研究】(1)若，，，求证：；【问题解决】(2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)不安全，理由见解析【分析】（1）先利用勾股定理求得、，然后求得，即；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论；（2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可．【详解】（1）解：∵．∴，∴，，∵，，∴，即，∴，∴是直角三角形，且．（2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下：∵，∴，∴，∴，∴，∴，，即，∴与不垂直，∴小华设计的房梁不安全．22．探究实践：如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．(1)作于点，设，用含的代数式表示_____；(2)根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；(3)利用勾股定理求出的长，再计算的面积．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根据可得答案；（2）在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得的值；（3）先求出，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，∴在和中，根据勾股定理，，∴，解得：；（3）解：由（2）得：，∴．23．综合与实践【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则．【变式探究】（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为．【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；（3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，由勾股定理得：，解得：．答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是．故答案为：25；（2）将圆柱体侧面展开，如图：由题意得：，，，该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点，连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，，，，，根据勾股定理有：，蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为．24．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒．(1)证明：是直角三角形；(2)若是以为腰的等腰三角形，求的值；(3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也