江西南昌市南昌中学三经路校区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西南昌市南昌中学三经路校区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2-A．π3 B．2π3 C．3【答案】D2．要得到函数y=3sin2x+π4的图象，只需将A．向左平移π8个单位 B．向右平移πC．向左平移π4个单位 D．向右平移π【答案】A3．如图，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=（

A．56AB+16AC B．-【答案】B4．已知平面上不共线的四点O,A,B,C，满足OA-4OB+3OC=0，则A．14AC B．13AC C．【答案】A5．如图，在边长为2的正五边形ABCDF中，AF⋅AB+A．2 B．4 C．4sin2π【答案】A6．在△ABC中，若3b=23asinB，cosA=A．等边三角形 B．等腰但不等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A7．已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)，若方程fx=A．2,52 B．2,52 C．【答案】A8．已知非零向量AB与AC满足ABAB+ACAC⋅BC=0，且AB-AC=22，ABA．-1 B．-14 C．-1【答案】D二、多选题9．已知函数fx=cosωx-πA．ω=2 B．fC．fx的图象关于点5π12,0对称 D．f【答案】AC10．下列说法中正确的是（

）A．已知向量AB与单位向量e同向，且A1,-3，BB．若△ABC是钝角三角形且a=k，b=k+2，c=k+4，则实数k的取值范围为0,6C．已知AB=23,2，AC=-1,-D．Q是△ABC所在平面内一点，若AQ=15AB+25【答案】ACD11．如图，△ABC是边长为23的等边三角形，O是△ABC的外接圆圆心，延长AO与BC交于点D,P是外接圆上一点，则（

A．AP的最大值为4B．ABC．BOD．当AP⋅AB取最大值时，【答案】ABC三、填空题12．已知x∈-π2,3【答案】-13．在△ABC中，C=30°，c=2，b=x，若满足条件的△ABC有两个，则x的取值范围是________.【答案】2,414．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2CD=3，AD=2，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则CE⋅CF的最小值为【答案】15四、解答题15．已知平面内三个向量a=1,3，b=(1)若a+kc//(2)已知t∈R，求a+t【答案】解：（1）因为a+kc=又a+k所以1×1+2k--33+k=0（2）因为a+t所以a+t所以当t=-1时，a+tb取最小值16．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin(1)求角A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且b=4，c=5，求AD的长度.【答案】解：（1）在△ABC中，由正弦定理及2asin2a2=由余弦定理得cosA=b2+c（2）AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC=π由S△ABC=S因为b=4，c=5，即有20=5AD+4AD，故AD=17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=a,3b，(1)求角A；(2)若a=21，b=4，求△ABC(3)若a=4，求△ABC周长的取值范围.【答案】解：（1）因为向量m=a,3b，所以asin又由正弦定理得sinA因为sinB>0，所以tan又因为0<A<π，所以A=（2）因为△ABC中，a=21，b=4，由（1）知A=由余弦定理a2即21=16+c2-4c解得c=5或c=-1（舍去）.所以△ABC的面积S=1（3）由（1）知A=π3，且a=4，由余弦定理得16=b即b+c2≤64，b+c≤8，当且仅当b=c所以b+c的最大值为8.又∵b+c>4，∴△ABC的周长取值范围为8,1218．如图，已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<(1)求fx(2)求fx(3)当x∈-14,1【答案】解：（1）由A0,1，Bx0得x02+9=13，又f0=1，即sinφ=1由f2=-2，得根据图象可知2ω+π6=∴fx（2）2π3x+x∈-1+3k,12∴fx的递增区间为-1+3k,12令2π3x+π6=因此函数fx的对称轴为x=12（3）∵x∈-14故sin2fx=2sin2π19．如图，设Ox，Oy是平面内相交成α0<α<π的两条射线，e1，e2分别为Ox，Oy同向的单位向量，若向量OP=xe1(1)在斜坐标系π3-xOy中，OM=(2)在斜坐标系α-xOy中，OP=2,1，OQ=1,-1，且OP与①求α；②A，B分别在射线Ox，Oy上，AB=3，E，F为线段AB上两点，且AE=13AB，【答案】解：（1）因为OM=6,5，所以所以OM所以OM=（2）①因为OP=2,1=2所以OP=2e得到OP⋅则cosθ=化简并整理得2e解得e1⋅e2=②依题意设OA=