江西省南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，所以.2.已知复数，则（）A.1 B. C. D.5【答案】C【解析】.3.若，则所在的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即，所以.4.某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆锥的轴截面为，，，则，，圆锥的侧面积为.故选：A.5.已知，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，原不等式可化为，解得，此时解集为.当时，原不等式可化为，即，解得或.又，所以或.综上，不等式的解集为.6.已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】由点在圆：外，可得，此时，圆心到直线的距离为，即直线与圆相交，故充分性成立；由直线与圆有两个公共点，可得圆心到直线的距离为，则有，即点在圆：外，故必要性成立.故是的充分必要条件.7.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由图知，则，得，由，则，，所以，则，故.8.已知函数，若函数为偶函数，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】令，因为函数为偶函数，且为三次函数，所以为奇函数，即，所以，即，即，所以，解得.二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，则下列选项中正确的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对A：因为，，所以，所以，故A错误；对B：因为，所以，故B正确；对C：因为，当且仅当即，时取等号.故C正确；对D：因为，故D正确.10.在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（）A.平面 B.平面平面C. D.平面【答案】BC【解析】取AC中点O，中点，连接，设，因为正三棱柱，所以两两垂直，以O为原点，为轴正方向建系，如图所示，则，所以，选项A：设平面的法向量，则，即，令，则，即，则，所以与平面不平行，故A错误；选项B：连接，因为正三角形ABC，所以，又正三棱柱，所以平面ABC，因为平面ABC，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故B正确；选项C：，所以，则，故C正确；选项D：因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，故D错误.11.在平面直角坐标系中，已知，，动圆：，过点，分别作斜率为，的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】设圆与线段交于点，圆与线段交于点，圆与线段交于点，动圆：，圆心为，半径为，，，，，为圆的切线，为圆的切线，，，，，点是以，为焦点的双曲线，且，，，点的轨迹方程为，选项A，在上，为焦点，，故选项A正确；选项B，的渐近线方程为，，故选项B正确；选项C，直线的倾斜角可以是钝角，故错误，故选项C错误；选项D，设过点的切线方程为，即，，点到直线的距离为，，，，，，，，，故选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数是________.【答案】80【解析】，令，解得，故的系数为.13.已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________.【答案】【解析】由题可知，设夹角为，则，，设，，代入坐标化简得：故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示，又圆心，半径，，故.14.已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________.【答案】【解析】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况，所以，若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的角，，所对的边分别为，，，且，.（1）求；（2）若的面积为2，求和.解：（1）由正弦定理可得，因为，所以，所以.（2）因为，所以，又所以，.所以，即，所以，所以，解得，所以.因此，.16.近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表：使用手机时间近视不近视总计少于1小时40601001小时及以上6535100总计10595200（1）从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件，记“该人近视”为事件.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由；（2）利用列联表中的数据，计算卡方统计量（精确到0.001），并判断是否有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.附：公式，独立性检验临界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）在（平均每天使用手机时间1小时以下）条件下，近视的频率为，用频率估计概率，得，在（平均每天使用手机时间1小时及以上）条件下，近视的频率为，用频率估计概率，得，使用手机时间少于1小时的学生近视概率约为0.4，而使用手机时间1小时及以上的学生近视概率约为0.65，两者有较大差异.因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高.（2）由题意，，，，，则，由于，所以有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.17.已知等比数列的公比为整数，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）由题意，，两式相除可得，即，解得，故，所以；（2）因，则①所以②则②①得：，所以.18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证：（3）当时，设，且满足，求证：.（1）解：，由，当时，，即在为增函数；当时，，即在为减函数.所以的递增区间为，递减区间为.（2）证明：由，解得，又因为，则，所以切线方程为，设，则，令，解得，当时，，当时，，可知在为增函数，在为减函数，故，所以；（3）证明：由（1）可知，①若，则，不符合题意；所以，②若，则，③若，，又因为在为减函数，所以，所以，综上所述，又因为，由，所以，即，即，设，所以，方法一：设，所以，因为在为单调递增，当时，，，，所以存在，使得，即，又因为，，即在为减函数；又因为，，即在为增函数；所以，又因为，则有，又因为，，所以，即在为增函数，又因为，所以，即.方法二：设，因为在单调递增，又因为所以所以，即在为增函数，又因为，所以，即.19.已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于.（1）求四棱锥体积的最小值；（2）记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点.（i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长；（ii）若点在点上方，且，，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由.解：（1）设点到平面和直线的距离分别为，，因为点在平面内，且平面与平面的夹角为，因此，得，所以点的轨迹是为焦点，为准线的抛物线，当点在抛物线的顶点处时，最小，最小值为，此时，所以四棱锥体积的最小值为；（2）设的中点为，则，如图1，以的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设点，则，（i）平面与平面的交