江西省萍乡市2026届高三下学期二模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省萍乡市2026届高三下学期二模考试数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则复数的虚部为（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】，故复数的虚部为.2.某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，将与捆绑，形成一个大元素，并与其他三个字母进行排序，因此不同的排法种数为种.3.为了研究与的线性相关关系，某同学收集了5组样本数据（如下表），利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法正确的是（）123452497A.B.这5组样本数据中，的分位数为4C.当时，的预测值为10D.去掉样本点后，与的样本相关系数必会改变【答案】C【解析】对于A，,，故，，故A错误；对于B，的由小到大的排列为，而，故的分位数为，故B错误；对于C，由A中计算可得，故当时，，故C正确；对于D，设原数据的相关系数为，则，删除样本中心后，设剩余的样本点为，如下表：12452497则,，该组数据对应的相关系数为，则，故，故D错误.4.在中，、、分别是角、、的对边，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，则为锐角，由正弦定理可得，所以，故，因此.5.已知，，，则的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】因由题设及基本不等式，,当且仅当，即时取等号.6.在正四面体中，点在棱上，点在棱上，若平面，且，，则三棱锥与正四面体的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如下图所示：因为平面，平面，平面平面，所以，易知为等边三角形，故也为等边三角形，所以，所以，易知，故，故，在正四面体中，，所以，故，所以，设点到平面的距离为，故.7.已知是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，当时，，则方程在区间上解的个数为（）A.11 B.10 C.9 D.8【答案】A【解析】方程在区间上解的个数，等价于函数在区间上的图象的交点个数.因为是定义在上的奇函数，所以的图象关于原点对称，且.又的图象关于直线对称，所以，所以，所以，所以，所以的周期为4.当时，，所以，当时，，所以在上单调递减，根据的对称性、周期性、单调性可知当时，，在上的图象，如图：对于，最小正周期为，结合正弦曲线可得在区间上的图象，由图可知在区间上的图象的交点个数为11（与x轴有4个交点，与曲线有7个交点），即方程在区间上解的个数为11.8.已知数列满足，，，其中表示不超过的最大整数．若，则（）A.44 B.45 C.46 D.47【答案】B【解析】设，当时，当时，，当时，.，由及，两式相减得：，又，由得，当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则，由题设，若为奇数，则，，，若为偶数，则，，，无整数解，.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在区间上单调递减【答案】AC【解析】对于A，由正弦函数的周期公式可得最小正周期为，正确；对于BC，，故的图象不关于直线对称，的图象关于点对称,所以B错误，C正确；对于D，因为，错误.10.已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点在双曲线上，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.若，则C.的最小值为D.点到的两条渐近线的距离之积为定值【答案】ACD【解析】A，，故该双曲线的渐近线方程为，A对；B，因为，所以，，又，故，所以，故，B错；C，，当且仅当为双曲线的顶点时，等号成立，C对；D，设点，双曲线的方程为，即，所以，点到直线的距离为，到直线的距离为，所以点到的两条渐近线的距离之积为，D对.11.在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，平面C.当时，平面截正方体所得截面面积为D.若直线与直线所成角为，则点的轨迹为抛物线【答案】BCD【解析】以为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，正方体棱长为2，各点坐标为：，，，，，则，.∵，故.对选项A：当时，，，.∵，故与不垂直，A错误.对选项B：当时，，.设平面的法向量为，取平面内向量，，则，令，则，，故可取平面的一个法向量为.∵，且平面，故平面，B正确.对选项C：点满足，故位于正方体体对角线上，且在靠近D的三等分点.连接，交底面正方形对角线于点，为底面的中心，故平面，且对角面.连接，因均在对角面内，故直线对角面.延长，由相似可得交棱的上端点，即为平面与正方体棱的第三个交点.依次连接，三条边底面，侧面，侧面，平面与正方体无其他交点，故截面为正三角形.因为正方体棱长为2，故，为边长的正三角形，面积，C正确.对选项D：直线的方向向量为，.∵直线与所成角为，故，即.平方整理得，代入坐标关系，，得，该轨迹为平面上的抛物线，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为________．【答案】【解析】由圆台的侧面积公式可得：.13.有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________．【答案】【解析】用分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用表示第次取出的球是红球，则；，则，故在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为.14.已知集合，定义表示A的元素个数，，，为A的三个互不相同的子集.若集合，且，则不同的B的个数为________．【答案】35【解析】如图，将，，，放入，，，中，共有种不同的放法．需排除的情况：当时，将，，，放入其中，有种放法，不满足条件．同理，和都是种放法不满足条件．但的情况被减多了2次．最后考虑次序，故所求B的个数为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若，求n的最小值．解：（1）因为，所以，设的公差为d，则，故.（2）由（1）知，，，则，令，因为，所以为递增数列，又时，，时，，故n的最小值为47．16.某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表：抽取次数抽取件数平均误差第一次300.3第二次20（1）已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数；（2）已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望．附：若，则，；．解：（1）设这50件样品平均误差为，则，即，而，故为“特等品”，即“特等品”的概率为，故这条生产线生产的10000件产品中“特等品”件数约为件；（2）由题意得：，则，，，，，则Y的分布列如下：Y01234P其数学期望．17.已知圆，圆，动圆与外切，与内切．（1）求的轨迹的标准方程；（2）设过点的直线与交于两点，且，求的取值范围．解：（1）由题知，圆的半径为，圆的半径为，设动圆M的半径为r，则，，故，故M的轨迹E是椭圆，焦点为，，长轴长为4，故M的轨迹E的标准方程为；（2）①若直线l不存在斜率，则，，则，②若直线l存在斜率，设其方程为，，，则，显然，联立E与l的方程，化简得，，得，，，则，，得，则，由，当

时，；当

时，得，又，解得，综上所述，的取值范围为．18.已知函数，．（1）若，且在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）设函数．（ⅰ）当时，求的最小值；（ⅱ）当时，讨论的零点个数．解：（1）若，则，，得，若在点处的切线与直线垂直，则，解得；（2）（ⅰ）由题知，的定义域为，所以的定义域为，当时，，所以，故，则，由函数与在上的图象知，存在唯一的使，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得最小值，又由得，故的最小值为1；（ⅱ）的定义域为，当时，，当时，，此时恒成立，故的零点个数等价于其在上的零点个数，①当时，，令，则，函数，显然恒成立，在上单调递增，故，所以在上恒成立，故无零点；②当时，，令，则，函数，显然恒成立，在上单调递增，故，所以当且仅当时，，故有唯一零点；③当时，若，由得，令，则，令，则，故在上单调递增，，，故存在唯一的使；若，由得，令，，则，又，故在上单调递增，，当时，，故存在唯一的使，即存在唯一的使；综上：当时，无零点；当时，有且仅有1个零点；当时，有2个零点．19.在三棱锥中，点在底面内的投影恰在直线上，与的面积相等．（1）若，证明：为线段的中点；（2）若，，的面积等于．（ⅰ）证明：的周长为定值；（ⅱ）当二面角的平面角为时，求线段的长．（1）证明：过A作，垂足为G，连接，因为点在底面内的投影恰在直线上，则平面，平面，则，又，且，平面，所以平面，因为平面，所以，，，又，平面，所以平面，因为平面，所以，因为与的面积相等，GA与GB分别为两个三角形边上的高，则，故为等腰三角形，又，则F为线段AB的中点；（2）（ⅰ）证明：因为，，所以，因为，所以，以C为原点，所在方向为x轴正方向，平行于所在方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直