内蒙古呼和浩特市2026届高三年级第一次模拟考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古呼和浩特市2026届高三年级第一次模拟考试试卷注意事项：1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置．2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡交回．3．本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则复数虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】C2.已知，且，则实数（）A.-3 B.6C.-1或-2 D.1或2【答案】D3.已知集合，，则“”是“”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C4.某种包装的大米质量（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米2000袋．则大米质量在以上的袋数大约为（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】B5.在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是（）A. B. C. D.【答案】C6.已知函数，使成立的x的取值集合是（）A. B.C. D.【答案】B7.已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（）A.20 B.50 C.70 D.90【答案】D8.可以采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，e＝1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，截面截圆锥所得的截面ABE与底面夹角为60°，则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.在正三棱台中，D，E分别是BC，的中点，则下列说法正确的是（）A.AD∥平面 B.ED∥C.BC⊥平面 D.ED⊥【答案】AC10.已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（）A. B.C.的图象关于直线对称 D.【答案】AC11.已知双曲线C：（b＞0）的左、右焦点分别为，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若，则（）A.|OH|＝2 B.C.双曲线C的渐近线方程是 D.四边形的面积为15【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______．【答案】##13.已知数列的前n项和为，且点，，在直线上，则______．【答案】14.在圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四边形ABCD的面积为______．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50名男性用户和50名女性用户，统计其对“国潮服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得到如下列联表：经常购买不常购买男性用户4010女性用户3020（1）依据＝0.05的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？（2）从该平台的用户中任选一人，A表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B表示事件“选到的人为女性用户”，利用该调查数据，给出的估计值．附：．0.0500.0100.005k3.8416.6357.879【答案】解：（1）由题可得：，依据＝0.05的独立性检验，认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异．（2）由题得，，．16.已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，求证：.【答案】解：（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为.（2）方法一：设直线的方程为：.联立方程,化简得,显然点在椭圆的内部，所以.设，则．又因为,所以．所以，所以，即.方法二：设直线的方程为：，联立方程,化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，则．又因为，所以．所以，所以，即.方法三：设：，则可化为，展开得，即，化简得，同除以可得，又过，代入得，∴.17.已知圆锥PO的底面直径AB和母线长都为2，C是底面圆周上一点，，平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）求平面PAC与平面PBC所成角的正弦值；（2）若P，A，B，C四点都在同一球面上，求该球的表面积．【答案】解：（1）由题得，，且，，∴是等腰直角三角形，∴，以O为原点，为x，y，z轴正方向建立直角坐标系．则，，，，设是平面PAC的一个法向量，则，∴，令，则，∴，设是平面PBC的一个法向量，则，∴，令，则，∴，设平面PAC与平面PBC所成角为，则，∴，则平面PAC与平面PBC所成角的正弦值为.（2）由题意得，球心在PO上，设球心为M，球半径为R，则，，解得，则球的表面积为.18.已知函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）设有且仅有一个极值点，求a的取值范围；（3）若函数存在2个极值点，且满足，求证：．【答案】解：（1）当时，，，且，故在处的切线方程为，即2x＋y－2＝0.（2），，由＝0可得，令，x>0，则，令，在上单调递减，且，则当时，，则，即在上单调递增，时，，，即在上单调递减，且又时，，时，，由题得，有且只有一个变号根，故.（3）由，可得，令，则，由得，由，得.故在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，因，对于，有，，故，，则由，又，故，令，则，因，则，故在上单调递增，又