内蒙古自治区赤峰市2026届高三下学期3·20模拟测试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古自治区赤峰市2026届高三下学期3·20模拟测试试题本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合是小于10的素数，，则（）A. B. C. D.【答案】C2.复数，则（）A. B. C.2 D.【答案】D3.若，则（）A. B. C. D.3【答案】D4.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（）A.540小时 B.542小时 C.548小时 D.600小时【答案】B5.已知函数，则方程根的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D6.为等差数列的前项和，若，且，则（）A.12 B.15 C.16 D.18【答案】B7.为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（）A.20% B.30% C.40% D.50%【答案】A8.在梯形中，，，，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为（）A.18 B.36C. D.【答案】C二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列说法正确的有（）A.在上单调递增 B.的极大值为2C.有两个零点 D.的图象关于原点对称【答案】ABD10.若双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的有（）A.双曲线的离心率为2B.双曲线的虚轴长是实轴长的倍C.双曲线与双曲线有相同渐近线D.以双曲线实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为【答案】ABC11.函数的图象过点，该函数图象在轴右侧的第一个对称中心为，且为一条对称轴，下列有关函数正确的表述是（）A.B.图象的对称轴为C.图象的对称中心为D.在上的最大值为【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________．【答案】13.正数m，n满足，则的最小值为________．【答案】214.如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若的面积且，求的周长．【答案】解：（1）由，根据余弦定理，得，化简得，即.所以.因为，所以.（2）由正弦定理可得.由三角形的面积公式可得，所以.由（1）得，所以.所以，所以.所以的周长为．16.如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，.（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】解：（1）证明：四边形为矩形，∴，又，平面，平面ADE，故平面ADE，平面ADE，又平面BFC，∴平面BFC平面ADE，∵平面BFC，∴∥平面.（2）建立空间直角坐标系如图，则，设平面CDF的法向量为，则，取得，平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.17.平面直角坐标系中，动点P到点的距离与它到直线的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点，与的面积之比为，求的内切圆半径．【答案】解：（1）设动点P的坐标为，由题意可得，即，化简得，即动点P的轨迹C的方程为.（2）设，，点A在第一象限，则，，若直线l的斜率不存在，由椭圆对称性可知与的面积之比为1，不符合题意；故直线l的斜率必存在且不为0，可设直线l的方程为，联立，得：，直线l经过椭圆内一点，必有，∴，由于点，与的面积之比为，故，即，即，则，则，结合，可得，化简得，结合，则，故，故，则，又为椭圆的两焦点，的面积为,的周长为，设的内切圆半径为r，则，即，故.18.为备战校园篮球赛，某校高三年级开展“三分球挑战”测试，测试规则如下：每位选手最多有次投篮机会，在投篮过程中，一旦投中，立即结束测试，并公布投篮次数.现有某位选手，单次投中的概率为．（1）若，求该选手恰好投篮次的概率；（2）设该选手结束测试时的投篮次数为，求的数学期望．【答案】解：（1）记该选手恰好投篮4次为事件，该选手恰好投篮4次，意味着前3次投篮都未投中，第4次投篮投中.由该选手单次投中的概率为，那么单次未投中的概率为，因为每次投篮的结果相互独立，所以.（2）由题意的取值可能为，当时，意味着该选手前次投篮均未投中，第次投篮投中，故，当时，意味着该选手前次投篮均未投中，第次投篮是否投中都结束测试，故.则，记，，得，即，从而.故.19.已知，，其中，函数与关于直线对称．（1）若函数在区间上递增，求a的取值范围；（2）证明：；（3）设，其中恒成立，求满足条件的最小正整数b的值．【答案】解：（1），则.由函数在区间上递增，

所以在区间上恒成立.即在区间上恒成立.设，则在区间上恒成立.所以在单调递.增，则，所以.（2）由（1）可知当时，函数在区间上递增，所以，即，所以.所以.（3）函数与关于直线对称，则.所