第2课时 几何中的代数式求值

第2课时几何中的代数式求值教学目标课题3.2第2课时几何中的代数式求值授课人素养目标1.能运用公式列出几何图形问题中的代数式，并把具体数代入求值.2.掌握代数式在几何问题中的运用，发展学生的几何直观感知能力与计算能力.教学重点几何中的代数式求值.教学难点几何中的代数式求值.教学活动教学步骤师生活动活动一：复习旧知，新课导入设计意图通过回忆小学时学过的几何问题中的一些公式，并说明将利用这些公式进行代数式求值的探究，从而衔接新课的学习.【问题引入】这节课我们将继续代数式求值的探究，这次要探究的是利用几何公式进行代数式求值.【教学建议】教师跟学生说明这节课是上节课的延续，在上节课已经涉及一些实际问题（如行程问题）中的公式，由此进行过渡，启发学生回忆小学时学过的几何问题中的一些公式，学生自然联想到类比行程问题公式，运用几何公式来进行代数式求值这一数学活动，从而将教学气氛调动起来.活动二交流合作，探究新知设计意图通过例题使学生学会运用公式进行几何中的代数式求值.探究点几何中的代数式求值我们刚刚在活动一中回忆了一些几何相关公式，在解决有关问题时，经常用这些公式进行计算.我们来看下面两个例题：例1（教材P80例3）如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为ɑ，半圆形弯道的直径为b.（1）用代数式表示这条跑道的周长；（2）当ɑ=67.3m，b=52.6m时，求这条跑道的周长（π取3.14，结果取整数）.引导提问：①跑道的周长是由哪些部分组成的？跑道的周长是两段直道和两段弯道的长度组成的.②如何求出两段弯道的长度和？两段弯道的长度和即为圆的周长，由圆的周长公式即可求得结果.解：（1）两段直道的长为2ɑ；两段弯道组成一个圆，它的直径为b，周长为πb.因此，这条跑道的周长为2ɑ+πb.（2）当ɑ=67.3m，b=52.6m时，2ɑ+πb=2×67.3+3.14×52.6≈300（m）.因此，这条跑道的周长约为300m.例2（教材P81例4）一个三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示这个三角尺的面积S.当ɑ=10cm，b=17.3cm，r=2cm时，求这个三角尺的面积（π取3.14）.引导提问：三角尺的面积可以根据哪两个规则图形的面积差得到？三角尺的面积=三角形的面积-圆的面积.【对应训练】教材P81练习.【教学建议】学生分组进行合作探讨，动手完成本部分的探究过程.本部分的重点在于学会分析方法，将几何图形拆解成学过的常见几何图形，再利用熟悉的公式列出代数式，最后代值求解.通过例题中的实际背景，能使学生感受到数学来源于生活，有助于帮助学生理解几何图形与代数式之间的联系，而不是只会生搬硬套公式.在教学过程中教师要及时给予学生反馈，注意引导和帮助.活动三强化应用，巩固新知设计意图通过稍复杂几何问题中的代数式求值强化学生对于新知的理解及应用能力.例3如图是某居民小区的一块宽为2ɑ，长为b的长方形空地，为了美化环境，准备在这块长方形空地的四角处各修建一个半径为ɑ的四分之一圆形花坛，然后在花坛内种花，其余部分种草.（1）请用代数式表示种草的面积；（2）当ɑ=10m，b=35m时，求种草的面积（π取3.14）.图示分析：解：（1）由题意得种草的面积（单位：m2）为2ɑ·b-π×ɑ2=2ɑb-πɑ2.（2）当ɑ=10m，b=35m时，2ɑb-πɑ2=2×10×35-3.14×102=386（m2）.因此，种草的面积为386m2.【对应训练】如图，一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴影部分的图形．已知正方形的边长为ɑ，三角形的高为h.（1）用代数式表示阴影部分的面积；（2）当|ɑ-4|和|h-1|的值互为相反数时，求阴影部分的面积．【教学建议】用代数式计算不规则图形的面积，应先将待求图形的面积表示为规则图形面积的和（差），再将所给的字母的值代入，即可求出具体的面积.如例3中4个半径为ɑm的1/4圆，拼在一起恰好是一个整圆，于是用长方形的面积减去整圆的面积即为所求的面积.这部分的教学依然采用小组讨论，教师指正的方法进行，建议仿照活动二中的解题方法，先思考如何将图形分解，再列式，这样条理会更加清晰.活动四随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你熟悉与几何相关的公式吗？能解答几何中的代数式求值问题吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P82习题3.2第5,6题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计教学反思本节课继续代数式求值的学习，研究方向都在几何图形之中，所以熟记几何公式是本节课的基础.在后面的整式加减学习中，将会遇到更多有关几何与代数式结合的问题，于是设置这节课让学生初步感知代数式与几何图形之间的联系，给学生构建一张知识网，体会这种螺旋上升式的学习理念，也将代数式这章所学知识进行了整合，为本章学习画下一个完美的句号.解题大招利用几何公式进行代数式求值求代数式的值在几何问题中的应用往往是求周长或面积或体积，对于规则图形，我们可直接利用公式求解；而对于不规则图形，则要通过适当的方法将其转化成规则图形的和或差，再利用公式求解.目前阶段得出的结果不需要化简（涉及后面要学的整式加减），重点在于对几何公式的灵活运用.1.求周长与面积例1长方形ABCD的长是ɑ，宽是b，分别以点A，C为圆心，长方形的宽为半径画弧，得到如图所示的图形.（1）请你用代数式表示阴影部分的周长和面积（结果保留π).（2）当ɑ=5，b=2时，阴影部分的周长和面积是多少(π取3.14)？2.求体积例2如图（图中长度单位：cm），一截钢管外径是Rcm，内径是rcm，长度为ɑcm.（1）用代数式表示钢管的体积；（2）若R=10，r=8，ɑ=20，求钢管的体积(π取3.14，结果取整数）.分析：钢管可看作空心圆柱，它的体积是大圆柱体积-小圆柱体积，而圆柱的体积=底面积×高，由此易得解.解：（1）钢管的体积为(πR2ɑ-πr2ɑ)cm3.（2）当R=10，r=8，ɑ=20时，πR2ɑ-πr2ɑ=3.14×102×20-3.14×82×20≈2261.因此，钢管的体积约为2261cm3.培优点几何问题与实际问题综合的代数式求值问题例如图（图中长度单位：m）是一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆形窗框，下面是两个大小相等的长xm，宽ym的长方形窗框，窗户全部安装玻璃.（1）一扇这种窗户共需要铝合金多少米（用代数式表示）？（2）一扇这种窗户共需要玻璃多少平方米（用代数式表示，铝合金窗框宽度忽略不计）？（3）某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价：当x=4，y=2时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算(π取3)？分析：（1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可，注意其中半圆形窗框的两条半径之和是长方形的长；（2）求出窗框的面积即可，窗框的面积=半圆形的面积+两个长方形的面积；（3）由表分别求出在甲厂、乙厂购买窗户的费用，再比较大小即可判断.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.某品牌酸奶外包装上标明“净含量:300mL±5mL”,随机抽取该品牌四种口味的酸奶分别称重如下表.其中,净含量不合格的是()种类原味草莓味香草味巧克力味净含量/mL295300310305A.原味 B.草莓味C.香草味 D.巧克力味2.下列大小比较错误的是()A.|-34|<-(-911) B.-(+214)<-[-(-C.-|-(-6)|<-(+5) D.-0.01>-0.13.某玩具商店周年店庆,全场八折促销,持会员卡可在促销活动的基础上再打六折.某电动玩具车原价300元,小明持会员卡购买这个电动玩具车需要花()元.A.240 B.180C.160 D.1444.将数据42000000用科学记数法表示为()A.0.42×108 B.4.2×106C.4.2×107 D.42×1065.某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的价格为10元/本,乙种读本的价格为8元/本.设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为()A.8x元 B.10(100-x)元C.8(100-x)元 D.(100-8x)元6.下列说法中正确的是()①-0.5x2y3与5y2x3不是同类项;②两个单项式的和一定是多项式;③2π与-4是同类项;④单项式mn3的系数与次数之和为4.A.①② B.②③C.①③ D.②④7.老师在课堂上讲去括号法则时,给出一道题:2(a+b)-3(a+b),甲、乙分别给出了不同的解法:甲乙2(a+b)-3(a+b)=(2-3)(a+b)=-(a+b)=-a-b.2(a+b)-3(a+b)=2a+2b-(3a+3b)=2a+2b-3a-3b=-a-b.则去括号正确的是()A.甲对,乙错 B.甲和乙都错C.甲和乙都对 D.甲错,乙对8.在古代,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.有位父亲为了准确记录孩子的出生天数,在粗细不同的绳子上打结(如图),由细到粗(右细左粗),满七进一,那么孩子已经出生了()A.1335天 B.516天C.435天 D.54天9.如果关于x的代数式4x2+2x-1与ax2+x+a的和不含x2项,那么这个和为()A.3x-5 B.3x+3 C.4x-4 D.3x-310.已知A=4x2-2x,B=x,C=2-x2,D=y2,E=y-x.则下列说法正确的个数是()①多项式A+4C+B+D-E的值与x的取值无关;②当x2-13y2=2时,多项式A+3B+C-D+E③存在正整数x和正整数y,使得D-C=11.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题(将结果填在题中横线上)11.计算:-2-(-3)=.

12.请回忆有理数的运算法则,写出下列相关运算的第一步:(1)-8-5=-8+();(2)12÷(-2)=12×(13.某细菌的直径为0.696μm,用四舍五入法将数据0.696精确到百分位的近似数为.

14.计算:-[-(+2)]=,-|-2|=.

15.-4m2-5m+2m2+6m+3m2合并同类项的结果为.

16.一个“数据转换器”的示意图如图所示,它的作用是求转换器内各代数式的和.现输入x的值,经过转换器,输出的值为y.若无论输入的x为何值,输出的y值不变,则m=.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:(1)(-85)×154÷((2)-32+(78-1)×(-2)218.以下是小方化简整式3x-2(x+y)的解答过程,他的解答过程是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答过程.解:3x-2(x+y)=3x-2x+y=1+y.19.先化简,再求值:(1)2(2x-3)-3(13x+1),其中x=2(2)已知3x-my2与2x3y4-n是同类项,求3(m+n)-12(m-n)-5(m+n)+12(m-n20.在一次考试中,晓珊将题目“若m=-1,n=1,则多项式2mn3-3(m4n-mn3)-5(mn3+2n2)+11n2的值为”中的已知条件“m=-1,n=1”看成了“m=1,n=1”,并进行了计算.但试卷批改出来后,该题的答案竟然填对了,晓珊百思不得其解,请帮晓珊解释为什么.

21.小明有以下8张卡牌,第一组卡牌上标有数,第二组卡牌上标有多项式,请你根据要求完成以下任务.第一组:1-42-3第二组:a2+bab-ba2+12a-2任务1:请在第一组卡牌中选择3张卡牌,使所标数的积最小,请列出算式并求得结果;任务2:请在第一组中选择1张卡牌,在第二组中选择2张卡牌,将这3张卡牌上所标的数与多项式相加,化简结果为二项式,请列出算式并求其结果.22.三个连续的奇数(均为一位数),最大的数是2n+1,将这三个连续的奇数按照从小到大的顺序排列(即最小的数位于百位,最大的数位于个位),得到一个三位数,记为M.(1)用整式表示M,并化简;(2)若将这三个连续的奇数按照从大到小的顺序排列,所得到的三位数记为N,则N-M的值是否为定值?请通过计算说明.23.如图,每个小正方形的面积均为1,第1个等式:2+4=2×3第2个等式:2+4+6=3×4第3个等式:

……据此规律:(1)请写出第3个等式:;

(2)猜想第n个等式为(用含n的等式表示);

(3)已知如上图所示的一个草垛的最底端有2024支小正方形草束,则这堆草垛共有多少支草束?24.【感悟方法】数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系,有些运算结果由每个变量的值来确定,也有些运算结果与某个变量无关,但这无关变量有时也有它的意义.(1)已知代数式(2x2+ax-13y+15)-(x-2y+1-bx2)的值与字母x的取值无关,其中a,b是常数,求a,b【迁移运用】请用(1)中的方法解决下面的问题:(2)某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车.已知甲品牌自行车的进价为1000元/辆,乙品牌自行车的进价为1200元/辆.该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆,有多种进货方案.销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%,乙品牌自行车的售价为每辆2000元.为鼓励顾客多消费,商店决定每售出一辆乙品牌的自行车,返还顾客现金a元,甲品牌的自行车售价不变.要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后,商店最终获利相同,求a的值.综合训练1.C2.B3.D4.C5.C6.C7.C8.B9.A10.C解析:A+4C+B+D-E=4x2-2x+4(2-x2)+x+y2-(y-x)=4x2-2x+8-4x2+x+y2-y+x=y2-y+8,故说法①符合题意;A+3B+C-D+E=4x2-2x+3x+2-x2-y2+y-x=3x2-y2+y+2,当x2-13y2=2时,原式=3×2+y+2=y+8,故说法②不符合题意因为D-C=y2-(2-x2)=11,所以y2-2+x2=11.即y2+x2=13.当x=2,y=3或x=3,y=2时,22+32=13,故说法③符合题意.综上所述,符合题意的有2个.故选C.11.112.(1)-5(2)-113.0.7014.2-215.m2+m16.-317.解:(1)-85×154÷((2)-32+78-1×(-2)2=-9+-18×4=-9-18.解:小方的解答过程有误,去括号时出现错误,正确的解答为:3x-2(x+y)=3x-2x-2y=(3-2)x-2y=x-2y.19.解:(1)2(2x-3)-31=4x-6-x-3=3x-9,当x=2时,原式=3×2-9=-3.(2)3(m+n)-12(m-n)-5(m+n)+12(m-n)=-2(m+n因为3x-my2与2x3y4-n是同类项,所以-m=3,2=4-n,所以m=-3,n=2.原式=-2×(-3+2)=-2×(-1)=2.20.解:2mn3-3(m4n-mn3)-5(mn3+2n2)+11n2=2mn3-3m4n+3mn3-5mn3-10n2+11n2=(2mn3+3mn3-5mn3)-3m4n+(-10n2+11n2)=n2-3m4n.当m=-1,n=1时,n2-3m4n=12-3×(-1)4×1=-2;当m=1,n=1时,n2-3m4n=12-3×14×1=-2,所以晓珊依然能得到正确答案.21.解:任务1:根据题意,