第1课时 代数式

第三章代数式3.1列代数式表示数量关系第1课时代数式教学目标课题3.1第1课时代数式授课人素养目标借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义，体验用数学符号表达数量关系的过程，发展学生的抽象能力与符号意识，感受数学与生活的密切联系.教学重点代数式的概念及意义，用代数式表示实际问题中的数量和数量关系.教学难点相同代数式在不同实际问题中的意义不同.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图设置具体的问题情境使学生思考，在解决问题的过程中接触代数式.【情境导入】在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系.我们来看下面的问题.表中的这些式子，每个只能表示某一年爸爸的年龄，你能用一个式子简明地表示任何一年爸爸的年龄吗？若赵红的年龄为ɑ岁，则爸爸的年龄为（ɑ+30）岁.可以看到，这样的式子在数学中有重要作用，并在解决实际问题中有着广泛的应用.今天我们一起来学习下！【教学建议】教师先引导学生回忆小学时学过的用字母表示数的方法，然后结合后面的实际问题使学生自行思考，调动学生学习的主动性与积极性.活动二：交流合作，探究新知设计意图通过用含字母的式子表示实际问题中的数量和数量关系，归纳引入代数式的概念，并明确代数式的书写规范.探究点1代数式的概念问题1（教材P68引言）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5m2范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均8s可以采摘一个苹果.根据这些数据回答下列问题：（1）①你知道本题中工作量、工作效率、工作时间之间的关系吗？工作量=工作效率×工作时间.②该机器人10s能识别多大范围内的苹果？60s呢？ts呢？你能得到什么启示？启示：用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有一般性.（2）该机器人识别nm2范围内的苹果需要多少秒？eq\f(n,5)s.（3）若该机器人搭载了m个机械手（m＞1），它与采摘工人同时工作1h，已知工人平均5s可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？分析提问：根据上面的分析，最终我们可以列出如下的式子：问题2（1）某工程队负责铺设一条长2km的地下管道，经过d天完成，用式子表示这支工程队每天铺设的管道长度.（2）一个正方形的边长是ɑ，这个正方形的周长l是多少？面积S呢？这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方.开方将在以后学习.上述问题中列出的式子5t，n5，450m-720,2d，4ɑ，ɑ2，它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方.开方将在以后学习.注意：单独的一个数或字母也是代数式，例如，5，t都是代数式.【对应训练】判断下列式子是否符合代数式的书写规范，不符合的请改正.x×y，2eq\f(5,6)ɑb,-1n,x3,m÷3.解：均不符合，改正如下：x×y2eq\f(5,6)ɑb-1nx3m÷3xyeq\f(17,6)ɑb-n3xeq\f(m,3)【教学建议】教学时通过设置的情境使学生明白，探究用字母代替数从而将数和数量关系一般而又简明地表达出来是必要的，能使应用更加广泛，从而为描述和研究问题带来方便.并通过这两个问题进一步引导学生归纳写出的式子的共性.提醒学生解题时注意单位要换算成一致.跟学生明确代数式的书写规范，这里尤其注意跟学生强调代数式中的运算符号不是关系符号，比如用“=”“>”“<”，抑或是以后将要学到的“≥”“≤”“≠”这些符号连接而成的式子不是代数式.有关代数式书写的具体要求教师可参看后面的解题大招，讲解时根据情况选讲即可.教学步骤师生活动设计意图通过例题使学生掌握用代数式表示简单实际问题中的数量或数量关系的方法，并明确相同的代数式在不同实际问题中的含义不同.探究点2用代数式表示数量关系例1（教材P70例1）（1）苹果原价是p元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价；（2）一个长方形的长是0.9m，宽是pm，用代数式表示这个长方形的面积；（3）某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量；（4）一个长方体水池底面的长和宽都是ɑm，高是hm，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积.分析提问：想一想各小题中的数量关系是怎样的？试着填写下表：解：（1）苹果的售价是0.9p元/kg；（2）这个长方形的面积是0.9pm2；（3）去年的产量是（2n-10）件；（4）由长方体的体积=长×宽×高，得这个长方体水池的容积是ɑ·ɑ·hm3，即ɑ2hm3，故池内水的体积为eq\f(1,3)ɑ2hm3.追问（1）观察（1）（2）小题的结果，你有什么发现？它说明了什么问题？所列代数式一样，0.9p既可以表示苹果的售价，也可以表示长方形的面积.它说明：用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系.（2）0.9p还可以表示什么？请你再举出一个例子.某人走路的速度为0.9m/s，若他行走ps，则走了0.9pm.（答案不唯一）【对应训练】教材P71练习第1题.【教学建议】（1）教师提问，学生自主作答，在经历上一环节的学习后，学生不难得出这些问题的答案，目的在于通过例题使学生掌握代数式的书写规范，能从实际问题中抽象出数学问题，写出简单的代数式，感受数学建模的过程.（2）在用同一个代数式表示不同实际问题中的数量或数量关系时，尽可能让学生多举些实例.设计意图使学生能透过代数式了解到其中所蕴含的运算，明确数学意义，并能发挥想象给代数式赋予实际意义.活动三：随堂训练，课堂总结探究点3代数式的意义例2（教材P71例2）说出下列代数式的意义：（1）2ɑ+3；（2）2（ɑ+3）；（3）eq\f(c,ɑb)；（4）x2+2x+8.解：（1）2ɑ+3的意义是ɑ的2倍与3的和；（2）2（ɑ+3）的意义是ɑ与3的和的2倍；（3）eq\f(c,ɑb)的意义是c除以ɑ，b的积的商；（4）x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和.问题举例说明2ɑ+3，2（ɑ+3）所表示的实际问题中的数量关系.在相同情境下：李明买了一些水果，其中橘子有ɑ个，李子的数量比橘子的2倍还多3，则李子买了（2ɑ+3）个；若再多买3个橘子，买到橙子的数量就刚好是橘子数量的2倍，则橙子买了2（ɑ+3）个.在不同情境下：李明买了一些橘子和李子，其中橘子有ɑ个，李子的数量比橘子的2倍还多3，则李子买了（2ɑ+3）个；小宝今年3岁，爸爸今年ɑ岁，爷爷的年龄是小宝和爸爸的年龄和的2倍，则爷爷今年的年龄是2（ɑ+3）岁.（答案不唯一）【对应训练】教材P71练习第2，3题.【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是代数式？你能用代数式表示简单实际问题中的数量或数量关系吗？2.同一个代数式在不同实际问题中表示的数量或数量关系相同吗？举例说明.3.你能说出某个代数式的数学意义吗？能赋予它实际意义吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P76习题3.1第2,6,7,8题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.【教学建议】教师引导学生自主探究，可选取学生代表回答代数式的数学意义，重点在于对代数式用运算符号连接的各部分进行“拆解”，从而明确采用的是何种运算，比如分数线所代表的除法意义等.在探究代数式的实际意义时，注意若两个式子在同一个情境下，则相同字母必须代表同一个量.板书设计3.1列代数式表示数量关系第1课时代数式1.代数式的概念：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子2.用代数式表示简单实际问题中的数量或数量关系3.代数式的意义数学意义实际意义教学反思通过本节课的教学使学生初步了解代数式，让学生在真实情境中去理解、感悟、体会，发展学生的符号感.由于小学已经学过用字母表示数，这节课对于学生并不难，重点在于应用和熟练掌握.本节课主旨在于承上启下，为后面逐步学会用代数的思想方法分析和解决问题打好基础.用代数式简明地表示数量和数量关系，是后续学习方程、不等式、函数的基础，重要性不言而喻.解题大招一根据实际问题写出代数式（1）根据实际问题写出代数式的方法：①抓住关键性词语，如“大”“小”“多”“少”“和”“差”“商”“倍”等，弄清题目中的量及各个量之间的关系；②厘清运算顺序，通常遵循“先读先写”的顺序列式.（2）代数式的书写规范：例1填空题.（1）温度由t℃下降2℃后是（t-2）℃；（2）如果手机通话每分钟收费m元，那么通话nmin收费mn元;（3）ɑ个人n天完成一项工作，那么平均每人每天完成的工作量为eq\f(1,ɑn)；（4）李明和张华都是集邮爱好者，已知李明收集了x张邮票，张华收集的邮票张数比李明收集的邮票张数的一半多5，则张华收集了eq\f(x,2)+5张邮票.解题大招二代数式的意义代数式的意义主要从以下三个方面考虑：（1）从运算的角度考虑，即代数式的数学意义，如x-y可理解为x与y的差；（2）从实际的角度考虑，联系生活情境对代数式中的字母赋予实际意义；（3）从几何的角度考虑，某些特殊类型代数式可看成几何图形的周长、面积或体积等.例2（1）说出下列代数式的意义：①0.2x-8；②10%（m+5）；③ɑ2+b2；④eq\f(n+1,n-1)．解：①0.2x-8的意义是x的0.2倍与8的差；②10%（m+5）的意义是m与5的和的10%；③ɑ2+b2的意义是ɑ的平方与b的平方的和；④eq\f(n+1,n-1)的意义是n与1的和除以n与1的差的商.（2）代数式0.5x+12可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明.解：①一根弹簧长12cm，在弹性限度内，所挂物体质量每多1kg，弹簧伸长0.5cm，则所挂物体质量为xkg时，弹簧长度为（0.5x+12）cm.②某件衣服的标价是x元，现在打五折后又提价12元出售，则现在的售价为（0.5x+12）元.培优点根据实际问题写出代数式例如图，快递员工将快递包裹装进无人物流配送车车厢内，轻点显示屏操作后，无人车按照系统预设线路自动上路行驶，并将快递投送到指定快递自提点．已知某天甲配送车投送了m件快递，乙配送车比甲配送车多投送6件，丙配送车投送的快递件数比乙配送车的eq\f(1,2)多2.（1）乙配送车这天投送了多少件快递？（2）丙配送车这天投送了多少件快递？解：（1）根据甲配送车投送了m件快递，乙配送车比甲配送车多投送6件，可知乙配送车这天投送了（m+6）件快递.根据丙配送车投送的快递件数比乙配送车的eq\f(1,2)多2，且由（1）知乙配送车这天投送了（m+6）件快递，则丙配送车这天投送了[eq\f(1,2)（m+6）+2]件快递.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.某品牌酸奶外包装上标明“净含量:300mL±5mL”,随机抽取该品牌四种口味的酸奶分别称重如下表.其中,净含量不合格的是()种类原味草莓味香草味巧克力味净含量/mL295300310305A.原味 B.草莓味C.香草味 D.巧克力味2.下列大小比较错误的是()A.|-34|<-(-911) B.-(+214)<-[-(-C.-|-(-6)|<-(+5) D.-0.01>-0.13.某玩具商店周年店庆,全场八折促销,持会员卡可在促销活动的基础上再打六折.某电动玩具车原价300元,小明持会员卡购买这个电动玩具车需要花()元.A.240 B.180C.160 D.1444.将数据42000000用科学记数法表示为()A.0.42×108 B.4.2×106C.4.2×107 D.42×1065.某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的价格为10元/本,乙种读本的价格为8元/本.设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为()A.8x元 B.10(100-x)元C.8(100-x)元 D.(100-8x)元6.下列说法中正确的是()①-0.5x2y3与5y2x3不是同类项;②两个单项式的和一定是多项式;③2π与-4是同类项;④单项式mn3的系数与次数之和为4.A.①② B.②③C.①③ D.②④7.老师在课堂上讲去括号法则时,给出一道题:2(a+b)-3(a+b),甲、乙分别给出了不同的解法:甲乙2(a+b)-3(a+b)=(2-3)(a+b)=-(a+b)=-a-b.2(a+b)-3(a+b)=2a+2b-(3a+3b)=2a+2b-3a-3b=-a-b.则去括号正确的是()A.甲对,乙错 B.甲和乙都错C.甲和乙都对 D.甲错,乙对8.在古代,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.有位父亲为了准确记录孩子的出生天数,在粗细不同的绳子上打结(如图),由细到粗(右细左粗),满七进一,那么孩子已经出生了()A.1335天 B.516天C.435天 D.54天9.如果关于x的代数式4x2+2x-1与ax2+x+a的和不含x2项,那么这个和为()A.3x-5 B.3x+3 C.4x-4 D.3x-310.已知A=4x2-2x,B=x,C=2-x2,D=y2,E=y-x.则下列说法正确的个数是()①多项式A+4C+B+D-E的值与x的取值无关;②当x2-13y2=2时,多项式A+3B+C-D+E③存在正整数x和正整数y,使得D-C=11.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题(将结果填在题中横线上)11.计算:-2-(-3)=.

12.请回忆有理数的运算法则,写出下列相关运算的第一步:(1)-8-5=-8+();(2)12÷(-2)=12×(13.某细菌的直径为0.696μm,用四舍五入法将数据0.696精确到百分位的近似数为.

14.计算:-[-(+2)]=,-|-2|=.

15.-4m2-5m+2m2+6m+3m2合并同类项的结果为.

16.一个“数据转换器”的示意图如图所示,它的作用是求转换器内各代数式的和.现输入x的值,经过转换器,输出的值为y.若无论输入的x为何值,输出的y值不变,则m=.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:(1)(-85)×154÷((2)-32+(78-1)×(-2)218.以下是小方化简整式3x-2(x+y)的解答过程,他的解答过程是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答过程.解:3x-2(x+y)=3x-2x+y=1+y.19.先化简,再求值:(1)2(2x-3)-3(13x+1),其中x=2(2)已知3x-my2与2x3y4-n是同类项,求3(m+n)-12(m-n)-5(m+n)+12(m-n20.在一次考试中,晓珊将题目“若m=-1,n=1,则多项式2mn3-3(m4n-mn3)-5(mn3+2n2)+11n2的值为”中的已知条件“m=-1,n=1”看成了“m=1,n=1”,并进行了计算.但试卷批改出来后,该题的答案竟然填对了,晓珊百思不得其解,请帮晓珊解释为什么.

21.小明有以下8张卡牌,第一组卡牌上标有数,第二组卡牌上标有多项式,请你根据要求完成以下任务.第一组:1-42-3第二组:a2+bab-ba2+12a-2任务1:请在第一组卡牌中选择3张卡牌,使所标数的积最小,请列出算式并求得结果;任务2:请在第一组中选择1张卡牌,在第二组中选择2张卡牌,将这3张卡牌上所标的数与多项式相加,化简结果为二项式,请列出算式并求其结果.22.三个连续的奇数(均为一位数),最大的数是2n+1,将这三个连续的奇数按照从小到大的顺序排列(即最小的数位于百位,最大的数位于个位),得到一个三位数,记为M.(1)用整式表示M,并化简;(2)若将这三个连续的奇数按照从大到小的顺序排列,所得到的三位数记为N,则N-M的值是否为定值?请通过计算说明.23.如图,每个小正方形的面积均为1,第1个等式:2+4=2×3第2个等式:2+4+6=3×4第3个等式:

……据此规律:(1)请写出第3个等式:;

(2)猜想第n个等式为(用含n的等式表示);

(3)已知如上图所示的一个草垛的最底端有2024支小正方形草束,则这堆草垛共有多少支草束?24.【感悟方法】数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系,有些运算结果由每个变量的值来确定,也有些运算结果与某个变量无关,但这无关变量有时也有它的意义.(1)已知代数式(2x2+ax-13y+15)-(x-2y+1-bx2)的值与字母x的取值无关,其中a,b是常数,求a,b【迁移运用】请用(1)中的方法解决下面的问题:(2)某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车.已知甲品牌自行车的进价为1000元/辆,乙品牌自行车的进价为1200元/辆.该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆,有多种进货方案.销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%,乙品牌自行车的售价为每辆2000元.为鼓励顾客多消费,商店决定每售出一辆乙品牌的自行车,返还顾客现金a元,甲品牌的自行车售价不变.要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后,商店最终获利相同,求a的值.综合训练1.C2.B3.D4.C5.C6.C7.C8.B9.A10.C解析:A+4C+B+D-E=4x2-2x+4(2-x2)+x+y2-(y-x)=4x2-2x+8-4x2+x+y2-y+x=y2-y+8,故说法①符合题意;A+3B+C-D+E=4x2-2x+3x+2-x2-y2+y-x=3x2-y2+y+2,当x2-13y2=2时,原式=3×2+y+2=y+8,故说法②不符合题意因为D-C=y2-(2-x2)=11,所以y2-2+x2=11.即y2+x2=13.当x=2,y=3或x=3,y=2时,22+32=13,故说法③符合题意.综上所述,符合题意的有2个.故选C.11.112.(1)-5(2)-113.0.7014.2-215.m2+m16.-317.解:(1)-85×154÷((2)-32+78-1×(-2)2=-9+-18×4=-9-18.解:小方的解答过程有误,去括号时出现错误,正确的解答为:3x-2(x+y)=3x-2x-2y=(3-2)x-2y=x-2y.19.解:(1)2(2x-3)-31=4x-6-x-3=3x-9,当x=2时,原式=3×2-9=-3.(2)3(m+n)-12(m-n)-5(m+n)+12(m-n)=-2(m+n因为3x-my2与2x3y4-n是同类项,所以-m=3,2=4-n,所以m=-3,n=2.原式=-2×(-3+2)=-2×(-1)=2.20.解:2mn3-3(m4n-mn3)-5(mn3+2n2)+11n2=2mn3-3m