新版2026-2027学年人教版八年级数学上册第一次月考重难题型汇编（详细解析版）

1考点关系角形；求第三边取值范围；等腰三角形边长分类只检验两边之和而漏掉边”的限制三角形的中线连接顶点与对边中点的成面积相等的两个三角形求线段长、面积；与三角误以为中线平分周长；忽略中点对应线段相等三角形的角平分线平分三角形一个内角的于三角形内部求角度；与高线、中线结合求角线；找错被平分的角从顶点向对边所在直线在直线交于一点的延长线上三角形内角于180°叠、拼接综合与“同旁内角互补”混三角形外角定理三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和模型、五角星)误认为外角等于所有内角之和，或等于相邻内角的性质全等三角形对应边相等、对应角相等，周化边角关系论错误的判定“两边及其中一边的对角对应相等(SSA)”“三角对应相等(AAA)”均不能判定全等角平分线的性质与判定角平分线上的点到角两求距离；证明线段相等、角相等“距离”指到角两边的垂2典例1已知等腰三角形的两边长分别为3和7,则这个等腰三角形的周长为()【分析】等腰三角形需分两种情况讨论：底边为3、腰为7,或底边为7、腰为3;【详解】①当腰长为3时，三边为3、3、7,因为3+3=6<7,不满足三角形三边关系，故舍去；②当腰长为7时，三边为7、7、3,因为7+3>7,能构成三角形，此时周长为7+7+3=17。故选B。变式1已知等腰三角形的两边长分别为5和8,则它的周长为o【答案】18或21【分析】分腰长为5、腰长为8两种情况，分别验证三边关系。【详解】①腰为5、底为8:5+5>8,能构成三角形，周长=5+5+8=18;②腰为8、底为5:8+5>8,能构成三角形，周长=8+8+5=21。故填18或21。【分析】利用三角形三边关系判断各绝对值内式子的正负，再去绝对值符号。=(a+b-c)-(c+a-b)+(a+b-c)=a+b-c-c-a+b+a+b【点评】去绝对值的关键是先判断绝对值内式子的符号，判断依据正是三边关系：方法提炼：涉及三角形三边的计算，第一反应是用三边关系验证与放缩；遇到等腰三角形边长问题，先分类、再验证、后求值，分类讨论时两解都要接受三边关系检3面积为12,则△BDE的面积为()【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，本题逐层应用这一【详解】因为D是BC的中点，所以S△ABD=1/2S△∠C=70°,则∠DAE的度数为()4AB【分析】先由内角和定理求∠BAC,再由角平分线求∠BAD,在直角三角形中求比记忆结论更重要，求角时注意D、E两点在BC上的相对位置。典例5如图3,在△ABC中，∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB边上的高，两【答案】C5【分析】由垂线定义得直角，利用四边形内角和求∠EHD,再由对顶角相等求【点评】两条高线的交点(垂心)与顶角之间满足∠BHC=180°-∠A,此结论可专题三三角形的内角与外角内角和定理与外角定理是角度计算的有力工具，常与平行线、折叠、图形拼接等典例6如图4,已知∠A=50°,∠ABD=20°,∠ACD=30°,则∠BDC的度数为 0【分析】延长BD交AC于点E,连续两次运用外角定理，把∠BDC转化为已知∠DEC=∠A+∠ABD=50°+20°=70°(三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和)。6典例7如图5,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。A【点评】五角星五个角的和为180°是经典结论。多角求和问题的一般思路：借助方法提炼：角度计算题的常用策略——找外角、作平行线、构造三角形；牢记外三角形两条内角平分线、内角平分线与外角平分线、两条外角平分线相交，形成的三个交角与顶角之间有确定关系，是选择、填空中的高频压轴点，也常作为解答题则∠BPC的度数为()7A【分析】先求∠ABC+∠ACB,再由角平分线性质求∠PBC+∠PCB,最后用内角∠BPC=90°+40°=130°,可直接套用快速作答。【分析】用外角定理分别表示∠PCD与∠PBC,再作差消去与∠P8(外角定理),所以∠PCD=1/2(∠A+∠ABC)。在△PBC中，∠PCD是外角， 【点评】结论：内角平分线与外角平分线的交角∠P=1/2∠A。若两条都是外角平全等三角形是第十四章的核心内容。确定对应元素、利用性质求边角是基础题型，典例10如图8,△ABC≌△DEF,点A与点D、点B与点E、点C与点F分别是对应顶点，若∠A=50°,∠B=70°,AB=6,则∠F=.°,DE=【答案】60;6【分析】由全等三角形对应角相等、对应边相等，结合内角和定理求角。与DE是对应边，所以DE=AB=6。典例11如图9,△ABC≌△DCB,点A、D在BC两侧，若∠A=80°,∠ACB=30°,则∠DBC的度数为()9【答案】A【分析】由全等符号确定对应角：∠ACB与∠DBC是对应角。【点评】全等三角形对应元素必须按顶点对应关系确定：∠DBC的顶点是B,对方法提炼：凡遇“全等”必先明确对应关系——对应顶点(按书写顺序)、对应边、典例12如图10,AB=AD,∠BAC=∠DAE,要使△ABC≌△ADE,还需添加的一个条件是(填一个即可)。AA【分析】已有两边一角(AB=AD,∠BAC=∠DAE),根据不同的判定方法选择可判定；补充∠C=∠E,由AAS可判定。故填AC=AE(答案不唯一)。【点评】已知一边一角时，优先考虑SAS(补夹角的另一条边);注意已给角必须是两边的夹角，否则应改用ASA或AAS。典例13下列说法中，正确的是()【答案】B【分析】逐项结合全等三角形的判定方法判断。【详解】A:两边及其中一边的对角对应相等(SSA)不一定全等，例如顶角不同的两个等腰三角形满足条件但不全等，错误；B:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合HL判定，正确；C:三个角对应相等的两个三角形不一定全等，只能确定形状、不能确定大小，错误；D:周长相等与全等没有必然联系，错误。故选【点评】SSA与AAA均不能判定全等，是判断类选择题的高频陷阱；直角三角形除一般判定方法外，还有特有的HL。典例14如图11,AC与BD相交于点O,且AB=DC,AC=DB,求证：B图11SSS证明全等【答案】证明见详解【分析】两组对边相等，连接公共边BC,用SSS证明全等。BC=CB(公共边),所以△ABC≌△DCB(SSS),所以∠A=∠D(全等三角形对应角相等)。【点评】证明线段相等或角相等，常通过构造全等三角形实现；连接公共边是构方法提炼：判定方法选择口诀—“已知两边找夹角(SAS)或第三边(SSS);AAA陷阱。角平分线的性质(距离相等)与判定(到角两边距离相等的点在角平分线上)是典例15如图12,在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若BC=8,BD=5,则点D到AB的距离为()【分析】由角平分线性质，点D到AB的距离等于点D到AC边的距离，即DC【详解】因为AD平分∠BAC,且∠C=90°,所以点D到AB的距离等于点D到AC边的距离DC。因为BC=8,BD=5,所以DC=BC-BD=3。故选A。典例16如图13,在△ABC中，AD平分∠BAC,DEB【答案】证明见详解【分析】先用角平分线性质得DE=DF,再在直角三角形中用HL证明全等。 (已证),所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),所以EB=FC(全等三角形对应边相等)。【点评】“角平分线性质+直角三角形HL典例17如图14,在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,过点A作直线1,BD⊥1于点D,CE⊥1于点E,求证：BD=AE。【答案】证明见详解【分析】由同角的余角相等得一组角相等，结合AB=AC与两组直角，用AAS证【详解】因为BD⊥1,CE⊥1,所以∠BDA=∠AEC=90°。因为角的余角相等)。在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠AEC=90°,∠ABD=∠CAE,【详解】因为△ABC、△CDE都是等边三角形，所以AC=BC,CD=CE,等三角形对应边相等)。【答案】证明见详解【分析】延长中线AD至点E,使DE=AD,构造全等三角形，把AB、AC转化到【详解】延长AD至点E,使DE=AD,连接BE。因为AD是中线，所以BD=CD。 (三角形两边之和大于第三边),即AB+AC>AE。因为AE=2AD,所以AB+AC>2AD。AAC【答案】证明见详解所以DE=EC(等角对等边)。所以AB+BD=AE+EC=AC。【点评】“截长补短”用于证明线段的和差关系：在长线段上截取一段等于其中一条短线段(截长),或把短线段延长(补短),构造全等三角形转化线段。本题“截长”方法提炼：全等压轴题的四把钥匙——①一线三等角：同角的余角(补角)相等；②手拉手：共顶点旋转，SAS速证；③倍长中线：中线加倍构造全等，转化线段；④以下6题综合覆盖前文各专题，建议限时40分钟独立完成，再对照详细解析自查。检测1已知等腰三角形的一边长为4,另一边长为9,则它的周长为()【分析】分腰长为4、腰长为9两种情况讨论，并用三边关系验证。【详解】①腰为4、底为9:4+4=8<9,不能构成三角形，舍去；②腰为9、底为4:9+4>9,能构成三角形，周长=9+9+4=22。故选B。检测2如图18,在△ABC中，点D、E分别是边BC、AD的中点，若△ABC的面积为16,则△BDE的面积为0【答案】4【详解】因为D是BC的中点，所以S△ABD=1/2S△ABC=1/2×16=8;因为E是AD的中点，所以S△BDE=1/2S△ABD=1/2×8=4。检测3如图19,在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,若BABAC【分析】直接运用两内角平分线交角与顶角的关系。【详解】由典例8的结论，∠BPC=90°+1/2∠A=90°+35°=125°。检测4如图20,点B、E、C、F在同一条直线上，AB//DE,AC//DF,BE=CF,FF图20平行线构造全等【答案】证明见详解【分析】由平行线得两组角相等，由BE=CF得BC=EF,用ASA证明全等。【详解】因为AB//DE,所以∠B=∠DEF;因为AC//DF,所以∠ACB=∠F。因边相等)。检测5如图21,在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,图21角平分线与全等【答案】证明见详解【分析】由角平分线得一组角相等，由垂直与已知直角得另一组角相等，用AAS 【点评】“角平分线+向角的一边作垂线”:由角平分线性质立得CD=DE;若需证明全等，也可由AAS一步完成，两种思路殊途同检测6如图22,AD是△ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接CE。若AB=5,AC=7,则AD的长可以取哪些整数值?图22倍长中线求取值范围【分析】倍长中线构造全等，将线段AB转化到CE,再在△ACE中利用三边关系求AE的范围。作),∠