新版2026秋九年级上册数学月考压轴题专项

1使用说明：本专项针对九年级上册月考压轴题设计，覆盖数与几何综合、旋转几何探究、圆的综合证明与计算、题均附详细解答过程与方法点拨，建议学生先独立思考，再专题一一元二次方程综合压轴题【题1】根的判别式与根与系数关系已知关于x的一元二次方程x²-(2k+1)x+k²+k=0。(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为x₁、X₂,且x₁²+x₂2²=25,求k的值；(3)若方程的两个实数根分别为x₁、X₂,且(x₁-1)(x₂-1)=6,求k的值；(4)若等腰三角形ABC的一边长为5,另两边长恰好是这个方程的两个根，求所以无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。(2)由根与系数的关系得x₁+x₂=2k+1,x₁X₂=k²+k。X₁²+x₂²=(x₁+X₂)²-2x₁X₂=(2k+1)²-由题意得2k²+2k+1=25,即2k²+解得k=3或k=-4。2(3)(x₁-1)(x₂-1)=x₁X₂-(x₁+x₂)+1=(k²+k)-(由题意得k²-k=6,即k²-k-6=0,解得k=3或k=-2。(4)解方程x²-(2k+1)x+k²+k=0,①5=k:三边长为5、5、6,周长=5+5+6=16;②5=k+1,即k=4:三边长为5、4、5,周长=5+4+5=14;③k=k+1,不可能。验证三角形三边关系：5、5、6满足；5、4、5满足。答：△ABC的周长为16或14。本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数关系(韦达定理)以及等腰三角形的分类讨论。第(1)问计算判别式证明恒正；第(2)(3)问利用韦达定理将条件转化为关于k的方程；第(4)问先求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质分类讨论，某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?最多是多少元?(3)若物价部门规定，每件衬衫的利润率不得低于50%,且每件衬衫的进价为30元，在(2)的条件下，商场平均每天最多盈利多少元?(4)若商场想在平均每天盈利不低于1200元的前提下，尽可能让利于顾客，每件衬衫应降价多少元?3(1)设每件衬衫降价x元，则每天可售出(20+2x)件，每件盈利(40-x)元。展开得800+80x-20x-2x²=1200,整理得x²-30x+200=0,解得x=10或x=20。答：每件衬衫应降价10元或20元。(2)设每天盈利为W元，则W=(40-x)(20+2x)=-2x²+60x+800。配方得W=-2(x²-30x)+800=-2(x-15)²+1250。因为-2<0,所以当x=15时，W最大=1250元。答：每件衬衫降价15元时，每天盈利最多，最多为1250元。(3)每件衬衫进价30元，原售价40+30=70元(注：题目说“每件盈利40元”,进价应为售价-盈利。若原售价为70元，进价30元，则盈利40元，符合题意。)又x≥0,所以0≤x≤25。答：商场平均每天最多盈利1250元。要尽可能让利于顾客，应取x的最大值20。答：每件衬衫应降价20元。每件利润×销售量=总利润。第(1)问列一元二次方程求解；第(2)问建立二次函数，用配方法求最大值；第(3)问增加了利润率的限制条件，需要先确定自变量的取值范4围，再判断最大值点是否在范围内；第(4)问解不等式确定降价范围，再根据“让利5专题二二次函数与几何综合压轴题【题3】二次函数与三角形存在性问题如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C。(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)求△BCD的面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC为等腰三角形?若存在，求出所有(4)在抛物线上是否存在点Q,使△QBC的面积等于△BCD面积的2倍?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),所以抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=配方得y=-(x-1)²+4,所以顶点D(1,4)。令x=0,得y=3,所以C(0,3)。直线BC的解析式：由B(3,0)、C(0,3)得y=-x+3。过D作DE//y轴交BC于E,则E(1,2),DE=4-2=2。(3)抛物线的对称轴为x=1,设P(1,m)。PC²=(1-0)²+(m-3)²=1+分三种情况：①PB=PC:4+m²=1+(m-3)²,4+m²=1+m²-6m+9,66本题是二次函数与几何的综合题，是中考压轴题的常见题型。第(1)问用交点式求解析式；第(2)问用“割补法”求三角形面积(过顶点作坐标轴的平行线将三角形分割);第(3)问是等腰三角形存在性问题，需要分三种情况(两边相等)讨论，用距离公式列方程；第(4)问是面积相关的存在性问题，用点到直线的距离公式表示三角形面积，【题4】二次函数最值与动点问题如图，抛物线y=ax²+bx+3经过A(-3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C,点D是抛物线(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在，求出点P的(3)若点M是线段AC上方抛物线上的一个动点，求△ACM面积的最大值及此时点M的坐标；7(4)在(3)的条件下，当△ACM面积最大时，在y轴上是否存在点Q,使△QCM为直角三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。(1)因为抛物线经过A(-3,0)、B(1,0),所以y=a(x+3)(x-1)=ax²+2ax-3a。令x=0,得y=-3a=3,所以a=-1。抛物线的解析式为y=-x²-2x+3。配方得y=-(x+1)²+4,所以顶点D(-1,4)。(2)抛物线的对称轴为x=-1。因为A、B关于对称轴对称，所以PA=PB。直线BC的解析式：由B(1,0)、C(0,3)得y=-3x+3。令x=-1,得y=6,所以P(-1,6)。直线AC的解析式：由A(-3,0)、C(0,3)得y=x+3。MN=(-t²-2t+3)-(t+3)=此时M(-3/2,-9/4+3+3)=(-3/2,15/4)。(4)C(0,3),M(-3/2,15/4),设CQ=lq-3|,CM²=(-3/2)²+(15/4-3)²=9MQ²=(-3/2)²+(15/4-q)²=9/4+(18①∠C=90°:CQ²+CM²=MQ²,(q-3)²+45/16-6q+189/16=261/16-15q/2,3q/2=45/16+9/4+(15/4-q)²=306/16-15q/2=-6q+9,153/8-9=3q/2,81/展开得q²-6q+9+9/4+225/16-15q/2+q²=45/12q²-27q/2+225/16=0,32q²-216本题是二次函数与几何的综合压轴题。第(1)问用交点式求解析式；第(2)问是轴对称最短路径问题，利用抛物线的对称性将PA转化为PB,再用“两点之间线段最短”二次函数求最大值；第(4)问是直角三角形存在性问题，分三种情况(哪个角为直角)9专题三旋转几何探究压轴题【题5】旋转与全等三角形板的直角顶点放在点D处，三角板绕点D旋转，三角板的两条直角边分别交AB、AC(1)如图1,当点E是AB的中点时，求证：DE=DF;(2)如图2,当三角板旋转到任意位置时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请(3)在(2)的条件下，求证：AE²+AF²=EF2;(4)若AB=6,求线段EF的最小值。(1)证明：因为AB=AC,∠BAC=90°,D是BC中点，所以AD=BD=DC,AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=45°,∠B=∠C=45°。(2)结论仍然成立。证明：连接AD。(3)由(2)知△BDE≌△ADF,所以BE=AF。EF²=AE²+AF²=x²+(6-x)²=2x²-12x+36=2因为2>0,所以当x=3时，EF2最小=18,EF最小=3√2。答：线段EF的最小值为3√2。本题是等腰直角三角形背景下的旋转几何探究题。第(1)问利用中位线性质证明；第 (3)问利用全等三角形的对应边相等进行线段转化，再用勾股定理证明；第(4)问将EF表示为关于AE的二次函数，求最小值。旋转问题的关键是找到旋转前后的不变量(对应边相等、对应角相等),从而构造全等三角形。专题四圆的综合压轴题【题6】圆的切线证明与计算作DE⊥AC交AC的延长线于点E。(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积；(1)证明：连接OD。因为OA=OD,所以∠OAD=∠ODA。又因为OD是⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线。(2)连接BC,交OD于点G。因为AB是直径，所以∠ACB=90°,BC⊥AC。因为OD//AE,所以四边形CEDG是矩形，DE=CG。所以DE=CG=4。(3)阴影部分面积=S梯形AODE-S扇形OAD。所以∠AOD=arccos(-3/5),不(注：此题阴影部分面积计算涉及非特殊角，在初中阶段可能需要重新审视题目或阴影部分的定义。若阴影部分是其他区域，计算方法会不同。)(4)证明：连接OF、DF。若F是弧AB的中点(下半圆),则OF⊥AB,OF=OD=5。(注：此题第(4)问条件可能需要澄清，按常规题型，F是弧AB中点时，可通过角本题是圆的综合题，涉及切线的判定、勾股定理、相似三角形、扇形面积等知识。第 线的性质证明OD⊥DE;第(2)问利用直径所对圆周角为直角，结合中位线性质求DE;第(3)问阴影部分面积通常用“割补法”,即规则图形面积的和差；第(4)问需【题7】圆与相似三角形综合点E是弧BC的中点，连接AE交BC于点F,连接CE。(1)求证：∠DCE=∠CAE;(4)在(3)的条件下，求△CEF的面积。(1)证明：连接OC。因为CD是⊙O的切线，所以OC⊥CD,∠OCD=90°。因为AB是直径，所以∠ACB=90°,∠CAE+∠AFC=90°。∠DCE=∠CAE(弦切角等于所夹弧所对的圆周角)。)对的圆周角)。(2)证明：因为E是弧BC的中点，所以弧BE=弧CE,∠BCE=∠CAE(等弧所对圆周角相等)。又因为∠CEF=∠AEC(公共角),所以CE/AE=EF/CE,即CE²=EF·EA。(3)因为AB=10,所以OC=OB=5。在△ACD和△CBD中：∠D=∠D(公共角),∠DCB=∠CAB(弦切角定理),所以CD/BD=AD/CD=AC/BC=6/8=3/4。设CD=3m,BD=4m,则AD=AB+BD=10+4m。重新分析：△ACD∽△CBD,对应边应为AC/CB=CD/BD=AD/CD。设CD=3m,BD=4m,AD=AB+BD=10+4m。AD/CD=(10+4m)/(3m)=3/4,4(10+4m)=9m,40+16m=9m,仍然为负，说明D在AB延长线上，AD=AB+BD是正确的，但比例关系可能反了。所以AC/CB=CD/BD=AD/CD,即6/8=CD/BD=AD/CD。由AD/CD=3/4,AD=3CD/4但AD=AB+BD=10+4m,所以9m/4=10+4m,9m=40+16仍然为负，说明D可能在BA的延长线上(A的左侧),而不是AB的延长线上。若D在BA延长线上，则AD=BD-AB=4m-10,9m/4=4m-10,9m=16m-40所以CD=3m=120/7。(4)(略，需根据具体图形计算，涉及相似三角形面积比等知识。)本题是圆与相似三角形的综合题。第(1)问利用弦切角定理证明角相等；第(2)问(△CEF∽△AEC);第(3)问利用切线性质和相似三角形求线段长度，注意点D的位置需要根据图形判断；第(4)问利用相似三角形的面积比等于相似比的平方计算。专题五概率综合压轴题【题8】概率与游戏公平性甲、乙两人玩一个游戏，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同。甲先从袋中随机摸再从袋中随机摸出一个球，记下颜色。若两人摸出的球(1)求甲获胜的概率；(2)这个游戏对甲、乙双方公平吗?请说明理由；(3)若甲摸出的球不放回，其他规则不变，求甲获胜的概率；(4)若在袋中再放入若干个红球，使游戏对双方公平，求应放入多少个红球。(1)甲摸球有5种等可能结果，乙摸球也有5种等可能结果，共有25种等可能结果。(3)甲摸出的球不放回，共有5×4=20种等可能结果。(4)设再放入x个红球，则袋中有(3+x)个红球和2个白球，共(5+x)个球。x=-1不符合实际意义(不能放入负数个球)。若放入白球，设放入y个白球，则袋中有3个红球和(2+y)个白球。y²-2y+1=0,(y-1)²=0,答：应放入1个白球，才能使游戏公平。(题目要求放入红球，按红球计算无解，实际应放入白球。)本题考查概率的计算和游戏公平性的判断。第(1)问用列表法或树状图法计算概率，注意是“有放回”摸球；第(2)问比较双方获胜的概率判断公平性；第(3)问是“无放回”摸球，注意总数和各颜色球数的变化；第(4)问通过列方程求使游戏公平的球数，注意解的实际意义。概率问题的关键是列出所有等可能结果如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，点D是抛物线的顶点。(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)求经过B、C、D三点的圆的圆心坐标；(3)在(2)的条件下，判断直线AC与该圆的位置关系，并说明理由；(4)在抛物线上是否存在点P,使以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?若存在，(1)因为抛物线经过A(-1,0)、B(3,0),所以y=a(x+1)(x-3)=ax²-2ax-3a。抛物线的解析式为y=-x²+2x+3。配方得y=-(x-1)²+4,顶点D(1,4)。(2)设经过B、C、D三点的圆的圆心