画法几何学 第5章直线与平面及两平面的相对位置-第6章投影变换课件

第5章直线与平面及两平面的相对位置5.1平行问题

5.2相交问题5.3垂直问题5.4综合问题分析及解法基本要求（一）平行问题

1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；

2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题

1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。

2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。

3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题

掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题

1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法；

2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。

直线与平面平行

两平面平行5.1平行问题⒈

直线与平面平行DBCAP若：AB∥CD则：AB∥P

若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。几何条件：有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。fg

f

g结论：直线AB不平行于定平面[例1]

试判断直线AB是否平行于定平面n

●●a

c

b

m

abcmn[例2]过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解d

dX正平线[例3]过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。唯一解c

●●b

a

m

abcmnn

d

dXb

a

af

fb[例4]

试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面直线与特殊位置平面平行

当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。⒉

两平面平行

若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。

判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。几何条件：

两平面平行的作图问题有：两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。ⅠⅡⅢAB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ；

则：P∥Q②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。两特殊位置平面平行c

f

b

d

e

a

abcdefXf

g

abcdefga

b

c

d

e

X两特殊位置平面平行两一般位置平面平行acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故两平面不平行。[例1]

判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MH[例2]

试判断两平面是否平行m

n

mnr

rss

结论：两平面平行em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k[例3]

已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。[例4]

试判断两平面是否平行。结论：因为PH平行SH，所以两平面平行

直线与平面相交

两平面相交5.2相交问题

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。1.

直线与平面相交要讨论的问题：(1)求直线与平面的交点。

(2)判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们将分别讨论一般位置的直线与平面或至少有一个处于特殊位置的情况。●●2.

两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①

求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。

②

判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。5.2.1特殊位置线面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交1.直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。b

ba

acc

m

mnn

k

k2.判断直线的可见性特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。kb

ba

acc

m

mn

nk

例1求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析:

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①

求交点②

判别可见性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。

还可通过重影点判别可见性。⑴

平面为特殊位置abcmnc

n

b

a

m

k

●k●1

(2

)2●1●●Xkm(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵

直线为特殊位置空间及投影分析:

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①

求交点②

判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前，点Ⅱ位于MN上，在后，故k

1

为不可见。k

●2●1●●1

(2

)X()k21k'2'1'例2求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别

其可见性。5.2.2一般位置平面与特殊位置

平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。

1.求交线

2.判断平面的可见性1.求交线MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

2.判断平面的可见性2.判断平面的可见性abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)●例3求两平面的交线

MN并判别可见性。⑴空间及投影分析：①

求交线②

判别可见性

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。m●n●

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。

还可通过重影点判别可见性a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●空间及投影分析：

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m

、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①

求交线②

判别可见性

点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故m

c

可见。作图X211'(2')m′●●●n′●●bc

d

e

f

a

b

acdef⑶投影分析

N点的水平投影n位于Δdef

的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。

所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。m●k●k

●nn'●①

求交线②

判别可见性作图●m

●ΔDEF的正面投影积聚5.2.3直线与一般位置平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点

示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点

示意图判别可见性

示意图1

2

QV21kk

步骤：1．过EF作正垂平面Q。2．求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。示意图以正垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点ABCQ过EF作正垂面QEF以正垂面为辅助平面求线面交点示意图ⅠⅡ2PH1

步骤：1．过EF作铅垂平面P。2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。k

k2

示意图以铅垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点1过EF作铅垂面P以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图FCABPEFKEⅠⅡf

e

e直线EF与平面

ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性124

3

（

）kk

(3)4示意图(

)2

1

3

ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影点判别可见性Ⅳ直线EF与平面

ABC相交，判别可见性。示意图5.2.4两一般位置平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线判别可见性两一般位置平面相交，求交线步骤：1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．连接两个共有点，画出交线KE。示意图例4求两平面的交线两一般位置平面相交求交线的方法示意图

利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3

4

()34

21()1

2

5.2.5综合性问题解法试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。综合性问题解法

综合性问题解法

综合性问题解法

例5

过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH分析m

n

h

hnmPV1

12

21．过点K作平面KMN//

ABC平面。2．求直线EF与平面KMN的交点H。3．连接KH，KH即为所求。作图

直线与平面垂直

两平面互相垂直5.3垂直问题5.3.1直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO定理2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线（逆）的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXOa

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例6

平面由

BDF给定，试过定点M作平面的垂线。h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例7

试过定点K作特殊位置平面的法线。e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例8

平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN

是否垂直于定平面。例9

试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60°，与H面的夹角为45°。n

nXO平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角。HPAKFDCBEf

分析

直径任取NM|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

nXO作图过程几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。PAB5.3.2两平面垂直

反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ABⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠABg

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例10

平面由

BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d结论：两平面不平行XO例11

试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面

是否垂直。

5.4.1空间几何元素定位问题

5.4.2空间几何元素度量问题5.4综合问题分析及解法

5.4.3综合问题解题举例求解综合问题主要包括：

平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。综合问题解题的一般步骤：

1.分析题意

2.明确所求结果，找出解题方法

3.拟定解题步骤空间几何元素的定位问题（交点、交线）空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。5.4.1空间几何元素定位问题c

g

h

e

f

d

cefghdXO例12

已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与

CD平行，并且与EF、GH均相交。分析

所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF作图过程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

例13

试过定点A作直线与已知直线EF正交。EQ分析FAK

过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。作图2

11

22

1a

efaf

e

1

2PVk

k5.4.2空间几何元素度量问题度量问题—是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求其实长或实形。

1.距离的度量点到点之间的距离.

求二点之间线段的实长（直角三角形法）。

点到直线之间的距离.过点作平面垂直于直线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。

点到平面之间的距离.过点作平面的垂线，求出垂足，

..再求出点与垂足之间的线段实长。

直线与直线平行之间的距离直线与交叉直线之间的距离直线与平面平行之间的距离平面与平面平行之间的距离过一直线上任一点作另一直线的垂线，余下方法同点到直线的距离。包含一直线作一平面平行于另一直线，在另一直线上任取一点，过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的距离。过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平面的距离。PQPPDBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDELF例14

求点C到直线AB的距离。c

a

b

cabXO分析PABCK

过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。作图过程c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距离PV例15

求两平行直线AB和CD的距离。c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距离PVd

d例16

求Ｍ点到△ABC平面的距离。

作出垂线后，用辅助平面法求出垂线与△ＡＢＣ平面的交点（即垂足），再用直角三角形法求出线段的实长即可。hfe

bm

b

a

c

ach

所求距离

MK实长k

kXOef

mcc

a

b

abXOdd

例17

求交叉两直线AB和CD的公垂线。分析LKABDCGHEFP

过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，在过点A作平面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线EF∥AB与直线CD交于点K；过点K作直线KL∥AH交AB于L点，KL即为所求的公垂线。作图过程gg1

122

h343

4

eefkklflcc

a

b

abXOdd

hPH2.角度的度量两相交直线间的夹角直线与平面的夹角两平面间的夹角PABCEF任作一直线分别与两相交直线相交，构成三角形，求三角形的实形（分别求出三边的实长），夹角即可求得。两相交直线间的夹角

PCAB直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与面的夹角。过直线上任一点角度作平面的垂线，求出直线与垂线的夹角（方法同两相交直线的夹角）的余角，余角即为所求。此法又称余角法。直线与平面的夹角Ø

PQ两平面间的夹角两平面间的夹角就是两平面二面角的平面角。在空间任取一点，分别作二平面的垂线，求出二垂线间的夹角(方法同两相交直线间的夹角)的补角，补角即为所求。此法又称补角法。Ø

BCA例18

求直线ＤＥ与△ＡＢＣ平面的夹角θ作∠ＥＤＦ的余角θ，即为所求直线ＤＥ与△ＡＢＣ平面的夹角。ＥＦf

XObee

b

a

c

acd

dＤＦＦＤＥ

Øfdfef本章结束第六章投影变换§6-1概述§6-2换面法基本要求

基本要求（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。6.1概述

当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上述的特性。投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的定位和度量问题。a

abb

两点之间距离a

abb

c

c三角形实形a

abb

c

cdd

直线与平面的交点a

b

c

d

abcd

两平面夹角6.2换面法6.2.1换面法的基本概念6.2.2点的投影变换规律6.2.3直线的换面6.2.4平面的换面

换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。6.2.1换面法的基本概念a1

c1

b1

V1X1X1V/H

体系变为V1/H

体系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.新投影体系的建立V1/H

体系称为新投影体系；V/H

体系为旧投影体系。V1称为新投影面；V称为旧投影面；H称为不变投影面。X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：(1)新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。(2)新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个不变投影面。2.新投影面的选择原则V1HV1∥ABC6.2.2点的投影变换规律1.点的一次变换X1V1a1

V/H

V1/H

a1

a

XVHaVHXX1V1a1

X1HV1a

Aa变换V面时点的投影作图V1a1

（1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。2.点的投影变换规律H1X1点在V/H1体系中的投影X1H1Va1a1V/H

体系变为V/H1

体系V/H1

体系称为新投影体系；V/H

体系为旧投影体系。X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。H1称为新投影面；H称为旧投影面；V称为不变投影面。a23.点的两次变换X2H2V12X2a2V/H

V1/H

V1/H2

第一次变换时的旧、不变、新投影新投影不变投影旧投影新轴旧轴值得提醒的是:在多次变换中，必须遵照交替换面的原则。V/H

V1/H

V1/H2

V3/H2

V/H

V/H1

V2/H1

V2/H3

如:V1X16.2.3直线的换面1.将一般位置直线变换为投影面的平行线

a1

b1

a1

b1

X1V1H将一般位置直线变换为V1面的平行线一次换面即可[例题1]

将一般位置直线变换为H1面的平行线X1H1Va1b1

X1H1Va1b12.将投影面平行线变换为投影面的垂直线

b

b1X1a1b1一次换面即可3.将一般位置直线变换为投影面的垂直线V1X1a1

b1

2a2b2需要二次换面X2一般位置直线变换为投影面垂直线的作图X2H2V1a2b2X1HV1a1

b1

[例题2]

求点C到直线AB的距离空间分析c'2作图c1b1a1X2