第4章相似三角形单元检测卷培优卷（含解析）浙教版2026-2027学年九年级数学上册

第4章相似三角形单元检测卷培优卷浙教版2026—2027学年九年级数学上册总分：120分时间：90分钟姓名：________班级：_____________成绩：___________考卷信息:本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!一．单项选择题（每小题4分，满分40分）1．若，则下列比例式一定成立的是（）A． B． C． D．2．下列长度的四组线段中，不是成比例线段的是（)A．3，9，2，6 B．1，2，2，4C．1，2，3，9 D．1，2，4，83．下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，直线a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F，若AB=4，AC=10，DE=5，则EF=（）A．103 B．152 C．8 5．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，如果AB的长为20，则AC的长为().A．105−10 B．10−105 C．30−106．如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论错误的是()A．BHHC=AHHD B．ADDF=7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE:SA．1:2 B．1:3 C．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AH=3，矩形DEFG的边DE在边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果GF正好经过△ABC的重心，那么BD⋅EC等于（）A．4 B．1 C．1625 D．9．如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（）

A． B． C． D．10．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，CD⊥AB，垂足为点D．以点B为圆心，以BC的长为半径作弧，交AB于点E；以点A为圆心，以AE的长为半径作弧，交AC于点F．设BC=a，AC=b，CD=h，AD=m，BD=n，有下列结论：①m+n≥2h；②a2+m2≤3h2④(m+n−a,0)是二次函数y=x⑤若F为AC的中点，则ab以上结论正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二．填空题（每小题5分，满分20分）11．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=14，分别以点A和点C为圆心，以大于12AC12．如图，在矩形ABCD中，点E.点F分别是边BC.CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H，则GHHE=13．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，过点B作BD⊥AB，交CE的延长线于点D，若BD=4，CD=8，则AC=．14．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H。则下列结论中：①AF=DE；②A④当AB=a时，BD2−三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）15．在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求CG的长．16．在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图）（1）以A点为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△AB（2）在线段AB上画一个点M，使BMAM17．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，连结AC，BD交于点E，过点C作CF∥BD交AD的延长线于点F.【认识图形】（1）求证：∠BCA=∠F．（2）求证：△ABC∽△CDF.（3）【探索关系】当点B，F关于AC对称时.①若BC=3，AF=5，求DE的长.②记BCAF18．如图，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，点E在射线CD上，AC交BE于点O，GH⊥AB交AB延长线于点H．（1）若D为CE的中点，求证：OE=2OB；（2）求证：AB=BH．19．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，边.AB=10，对角线BD=16.（1）求菱形ABCD的面积；（2）过点O作OE⟂AB于点E，交DA的延长线于点F，求证：O20．将两个全等的含45°角的直角三角板按照如图所示的方式放置，已知∠BAC=∠AED=90°，AD，AE分别交BC边于点F，G(不与顶点重合)，BC=5（1）求证：AG（2）求证：△ABG∽△FCA；（3）设BG=x，CF=y，求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；（4）当BF=CG时，求△AFG的面积.参考答案1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】B【解析】【解答】①两个正方形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，②两个等边三角形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，③两个同心圆符合位似图形的定义，是位似图形，④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，∴正确的有③④，共2个，故选：B．4．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB=4，AC=10，∴BC=AC−AB=10−4=6。∵a∥b∥c，∴AB即46解得EF=6×5故答案为：B5．【答案】A【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，

∴ACAB=5−12，

∵AB=20，

∴6．【答案】C【解析】【解答】解：A、因为AB∥CD，则△AHB∽△DHC，所以BHHCB、因为AB∥CD∥EF，所以ADDFC、因为CD∥EF，则△FHE∽△DHC，所以HCHED、因为AB∥CD∥EF，所以AFDF故选：C.7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB为半圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即（m+n）2＝b2+a2，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC＝∠BDC＝90°，

∵∠CAD＝∠BAC，∠ACB＝∠ADC＝90°，

∴△ADC∽△ACB，∴ACAB=ADAC，

∴AC2＝AB•AD，即b2＝m（m+n），

∵∠CBD＝∠ABC，∠ACB＝∠CDB＝90°，

∴△CBD∽△ABC，

∴BCAB=BDBC，

∴BC2＝BD•AB，即a2＝n•（m+n），

∵∠ACD+∠BCD＝∠CAD+∠ACD＝90°，

∴∠BCD＝∠CAD，

∵∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ACD∽△CBD，

∴ADCD=CDBD，

∴CD2＝AD•BD，即h2＝mn，∴h=mn

①∵对于正数m，n，有m−n2=m−2mn+n⩾0，则m+n≥2mn

∴m+n≥2h，故①正确；

②∵a2＝n•（m+n），h2＝mn，

∴a2+m2＝n（m+n）+m2＝m2+mn+n2，3h2＝3mn，

∵a2+m2﹣3h2＝m2+mn+n2﹣3mn＝m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2≥0，

∴a2+m2≥3h2，故②错误；

③∵b＝2a，

∴b2＝4a2，

∵b2＝m（m+n），a2＝n•（m+n），

∴m（m+n）＝4n（m+n），

∵m+n≠0，

∴m＝4n，

∴AB＝m+n＝5n，

由作图过程可得BE＝BC＝a，AF＝AE，

∴AE＝AB﹣BE＝（m+n）﹣a＝5n﹣a，

∴AF＝AE＝5n﹣a，

∴CF＝AC﹣AF＝b﹣（5n﹣a）＝2a﹣5n+a＝3a﹣5n，

∵BC2＝BD•AB，即a2＝n•（m+n），

∴a2＝n•5n＝5n2，

∴a=5n

AF=5n−5n,CF=35n−5n，

AFCF=5+12故③正确；

④当x＝m+n﹣a时，

y＝（m+n﹣a）2+2a（m+n﹣a）﹣b2

＝（m+n）2﹣2a（m+n）+a2+2a（m+n）﹣2a2﹣b2

＝（m+n）2﹣a2﹣b2，

∵AB＝m+n，且AB2＝AC2+BC2，

∴（m+n）2＝a2+b2，

∴y＝a2+b2﹣a2﹣b2＝0，

∴（m+n﹣a，0）是二次函数y＝x2+2ax﹣b2的图象与x轴的一个交点，故④正确；

⑤∵F为AC的中点，

∴AF=12AC=12b，

由作图可得AE＝AF＝AB﹣BE＝（m+n）﹣a，

∴11．【答案】7【解析】【解答】解：∵MN垂直平分AC

∴AE=EC=12AC、∠AED=90°

∵∠C=90°=∠AED

∴DE∥BC

∴△AED~△ACB

∴DEBC=AEAC【解析】【解答】解：连接EF，

∵E、F分别是BC、CD的中点，

∴EF是△BCD的中位线，

∴EF∥BD，且EF=1∵EF∥BD，

∴△BGH∽△FEH，

∴GH∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△BGE∽△DGA，

∴BG∵E是BC中点，∴BE=12BC=12AD，∴EF=1将EF=32BG代入GH故答案为：213．【答案】6【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F

设CE=x，则DE=CD-CE=8-x∵E是AB的中点

∴AE=BE=CE=x

∵BD⊥AB

∴∠EBD=90°

∴BE2+BD2=DE2，即x2+42=(8-x)2

解得：x=3

∴AE=BE=CE=3，DE=8-3=5

∵CF⊥AB

∴∠CFE=∠CFA=90°

∴∠CFE=∠DBE

∵∠CEF=∠DEB

∴△CFE∽△DBE

∴CEDE=EFEB=CFDB，即35=EF3=CF4

14．【答案】②③④【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°

∴∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，∠DAE+∠AED=90°

∴∠BAF=∠AED

∵BF⊥AE

∴∠AFB=90°=∠ADE

∴△ABF∽△EAD

∴AFDE=ABAE=BFAD

∵E是DC的中点

∴DC=12DC=12AB=12AD

∴AE=AD2+DE2=AB2+12AB2=52AB

∴AFDE=ABAE=AB52AB=255，即AF=255DE=55AB，①错误

∵ABAE=BFAD，AD=AB

∴AB2=BF·AE，②正确

∵AB∥CD

∴△ABG∽△EDG

∴AGGE=BGDG=ABDE=AB12AB=2

∴AG=2EG

∴AG=23∴∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵∠BEF＝90°，∴∠DEF+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF（2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3，∵△ABE∽△DEF，∴，即，解得：DE＝2，∵AD//BC，∴△EDF∽△GCF，∴，即，∴CG＝616．【答案】（1）解：如图，△AB（2）解：如图，取格点E，F，连接EF交AB于点M，∵BE∥AF，∴△EBM∽△FAM，∴BMAM=17．【答案】（1）证明：∵CF∥BD，∴∠F=∠ADB，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ACB=∠F；（2）证明：∵CF∥BD，∴∠DCF=∠BDC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BAC=∠DCF，又∵∠ACB=∠F，∴△ABC∽△CDF；（3）解：①∵点B，F关于AC对称，∴AB=AF=5，BC=CF=3，∠ACB=∠ACF，∠BAC=∠CAF，∴∠ACB=∠F=∠ACF，∴AC=AF=5，∵△ABC∽△CDF，∴∵DB∥CF，∴△ADE∽△AFC，∴②由①可得AB=AC=AF，BC=CF，∵CF∥BD，∴AE=AD，∴CE=DF，∴∠AED=∠ADE，∵∠ADE=∠BCE，∠AED=∠BEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC，∴BE=CF，∵BC∴BE=BC=x，∵∠BEC=∠BCE=∠ABC，∠BCE=∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴BCAC∵CF∥BD，∴△ADE∽△AFC，∴∴y=1−18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，AB∥CD，

∵点D为CE的中点，

∴CE=2CD=2AB，

∵AB∥CD，

∴△ABO∽△CEO，

∴OEOB=CEAB（2）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB∥CD，∠BCE=∠EBG=90°，BE=BG，

∴∠BEC=∠ABE，∠ABE+∠GBH=90°，

∵GH⊥AB，

∴∠BHG=90°，

∴∠BCE=∠BHG，

∵∠BGH+∠GBH=90°，

∴∠BEC=∠BGH，

∴△BEC≌△BGHAAS，

∴BC=BH，

∴AB=BH19．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⟂BD,OB=∴∠AOB=90°，∴AO=√AB2-OB2=√102-82=6，∴AC=2AO=2×6=12，∴∴菱形ABCD的面积为96.（2）证明：∵OE⊥AB，∴∠AEO=∠AOB=90°，∴∠FOA=∠ABD=90°-∠OAB.∵AB=AD，∴∠FDO=∠ABD，∴∠FOA=∠FDO.∵∠F=∠F，∴△FOA∽△FDO，∴20．【答案】（1）证明：由题意可知，∠FAG＝∠ABG＝45°，∵∠AGF＝∠BGA，

∴△ABG∽△FAG，∴AGFG＝BGAG，

∴AG（2）证明：由题意可知，∠FAG＝∠FCA＝45°，∠C＝∠B＝45°.∵∠AGF＝∠C＋∠CAG＝45°＋∠CAG，∠CAF＝∠CAG＋∠FAG＝∠C