第一章 空间向量与立体几何 空间坐标法解决线面关系的证明（题型专练）（解析版）高二数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何

空间坐标法解决线面关系的证明

（题型专练）题型01空间坐标法证面面平行1.核心逻辑

两个平面平行两个平面的法向量互相平行，且两平面无公共部分、不重合。2.解题步骤

（1）建立坐标系，标注全部点坐标；

（2）分别在两个平面内取两组相交直线，求出平面法向量、平面法向量；

（3）证明存在实数，满足，两法向量坐标成比例；

（4）补充说明两平面不重合，证面面平行。3.易错提醒

求解平面法向量计算出错；无法区分平面重合、平面平行两种情况。【例3】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，，(1)求证：平面平面;(2)线段上，是否存在点，使得平面.【答案】(1)证明见解析(2)存在.【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行；（2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可.【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系：由题知，则，设平面的法向量为，则，故可取，设平面的法向量为，则，故可取，因为，所以平面平面.（2）设线段上存在点使得平面，由（1）得，，平面的法向量，所以，由解得，即为线段中点时，平面.【变式3-1】（2026高二·海南海口·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，、、分别为，，的中点.

(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在一点？使得点到平面的距离为，若存在，请说明点的位置.【答案】(1)在直三棱柱中，，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，于是，即，因此直线，而平面，则平面；又，则，直线，而平面，则平面，又点平面，所以平面平面.

(2)存在，为靠近的三等分点，或与重合.【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得.（2）设，，进而得到，结合（1）中，利用点到平面的距离公式列方程求参数，即可得.【详解】（1）略（2）假设存在点到平面的距离为，且，，所以，则，由（1）知，是平面的一个法向量，所以点到平面的距离，所以，可得或，所以，当为靠近的三等分点或与重合时，满足要求.【变式3-2】（2026高二·四川遂宁·阶段检测）已知正方体的棱长为4，，，，分别为，，，的中点.(1)求证：面面；(2)求面与面的距离；(3)求四棱锥的体积.【答案】(1)如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，∴，，设是平面的法向量，设是平面的法向量，则解得取，则，，得是平面的一个法向量.则解得，取，则，，得是平面的一个法向量.∴，∴平面平面.(2)(3)16【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，证明这两个法向量平行或相等即可.（2）利用点到平面距离的向量公式计算即可；（3）直接利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】（1）略（2）由（1）知平面平面，∴平面与平面的距离等于点到平面的距离，∵，，∴，又∵是平面的一个法向量，∴平面与平面的距离.（3）由（2）知点到平面的距离为，∵，∴梯形为等腰梯形，易得梯形的高为∴，.【变式3-3】（2026高二·广西南宁·期中）正八面体由八个完全相同的面构成，每个面都是等边三角形，它可以看作是两个所有棱长相等且底面重合的正四棱锥拼接而成的.如图，多面体是一个正八面体，是该正八面体的中心.

(1)证明：平面平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)连接，，，因为是该正八面体的中心，所以，由正八面体的定义可知四边形是正方形，可得，因为是该正八面体的中心，所以平面，所以，，两两垂直，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，，，，，故，，因为，所以，即，因为平面，平面，所以平面.因为，所以，即.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面，且，所以平面平面.(2)【分析】（1）连接，，，证得，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求得的坐标，得到，证得，和，证得，结合线面平行的判定，证得平面和平面，进而证得平面平面.（2）分别求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）略（2）由（1）可得，，，，设平面的法向量为，则，令，可得，所以.设平面的法向量为，则，令，可得，所以.设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为.▌题型02空间坐标法证线面平行1.核心逻辑

直线与平面平行需同时满足：①直线方向向量与平面法向量垂直；②直线上任意一点不在平面内。2.解题步骤

（1）建系，写出各顶点坐标；

（2）求出直线的方向向量；

（3）在平面内取两组相交向量，解方程组求出平面法向量；

（4）计算数量积，证明方向向量垂直法向量；

（5）取直线上一点，验证该点坐标不满足平面方程，证得线面平行。3.易错提醒

仅证明，忽略直线在平面内的特殊情况。【例2】（2026高一·山东枣庄·期中）如图､在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，且，点为的中点.(1)证明：平面.(2)求点到平面的距离.【答案】(1)因为，为平行四边形，，由余弦定理可得：，，则，底面，又平面平面，可得.故以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图示的空间直角坐标系，则，的中点，设平面的一个法向量，则，取，则，故.又，故.所以平面.(2)【分析】（1）根据题目条件，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量乘积为，即可求证平面；（2）利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离.【详解】（1）略（2）由（1）知，平面的一个法向量，则点与平面的距离.【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）如图，分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，.

(1)求证：平面；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值；(3)当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？【答案】(1)解法1：取，分别为的中点，连接，则过，且四边形是平行四边形.如图.因为分别为中点，所以，又平面，平面，所以平面.解法2：以点为原点，直线所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则.由上得.设得，解得，所以.因为平面，平面，所以平面.(2)(3)【分析】（1）解法1：过点作，分别交于点，结合正四棱柱的性质及平行四边形的性质得，利用线面平行的判定定理证明即可；解法2：建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，然后利用共面定理得，进而利用向量法证明线面平行即可；（2）解法1：过点作，垂足为，连接，利用线面垂直的性质和判定定理得平面，利用线面角的定义知就是直线与平面所成的角，再在直角三角形中求解即可；解法2：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量法求解线面角即可；（3）解法1：先判断在平面上的射影是的垂心，又在平面上的射影是的重心，则为正三角形，求得；再验证时，在平面内的射影为的重心.解法2：建立坐标系求出的重心，利用向量坐标运算求得，即可得解.【详解】（1）略（2）解法1：过点作，垂足为，连接.

因为平面平面，所以，平面，所以平面，所以就是直线与平面所成的角.设，则.所以，直线与平面所成角的正弦值是.解法2：当时，由，得.设平面的法向量为，则由得.，所以直线与平面所成角的大小为.（3）解法1：连接，，

因为，，平面，所以平面，所以，同理，所以在平面上的射影是的垂心.又在平面上的射影是的重心，则为正三角形，即，所以.反之，当时，，所以三棱锥为正三棱锥.所以在平面内的射影为的重心.解法2：设的重心，

所以，所以，则，若在平面内的射影恰好为的重心，则有解得.所以当时，在平面内的射影恰好为的重心.【变式2-2】（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明：法一：如图，连接，交于，连接，因为底面为矩形，所以为的中点，因为为的中点，所以是的中位线，得到，而平面，平面，故平面.法二：根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，由题意得，则，设为平面的法向量，则，即，令，则，故，，平面，平面.(2)【分析】（1）法一：连接，由中位线的性质可证，再由线面平行的判定定理可证平面；法二：以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量证明；（2）利用空间向量求线面角的方法计算.【详解】（1）略（2），，直线与平面所成角的正弦值为.【变式2-3】（2026高三·北京·专题练习）如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．(1)设点是的中点，证明：平面；(2)求与平面所成的角的正弦值；【答案】(1)证明：，为原点建立空间直角坐标系，如图，则，是的中点，，由图可知，是平面的一个法向量，由，且不在平面内，平面·(2)【分析】（1）判断方向向量平行于平面，（2）通过向量积找法向量，然后利用点积确定角度.【详解】（1）略（2）设与面所成的角为，因为，设是平面的一个法向量，则由得，令，得，又，，则，与面所成的角为正弦值为.题型03空间坐标法证四点共面1.核心逻辑

已知四点，若能证明一组对边方向向量平行（如），且两条平行线有公共平面，则四点共面；

原理：两条平行直线确定唯一一个平面，直线上所有点都在这个平面内。2.解题步骤

（1）建立空间直角坐标系，写出四个点坐标；

（2）选取一组对边，构造向量、；

（3）验证两向量坐标对应成比例，证明，即直线直线；

（4）两条平行直线确定一个平面，在直线上，在直线上；

（5）得出结论：四点共面。3.易错提醒

（1）选错向量，证明邻边平行，无法推出四点共面；

（2）只证向量平行，不说明是两组对边，推导逻辑不完整。【例1】（2026高二·浙江温州·期中）如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，.(1)用、、表示；(2)证明：、、、四点共面.【答案】(1)(2)法1：连接，易知，，故，得、、、四点共面；法2：；故，得、、、四点共面；法3：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，易得，，，，得，，故有，，得、、、四点共面．【分析】（1）由向量的线性表示即可求解；（2）法1：由题可得，，进而得到即可证明；法2：根据向量的线性运算可得即可证明；法3：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可．【详解】（1）；（2）略【变式1-1】（2026高二·河北邢台·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，分别是棱的中点.

(1)求点的坐标.(2)证明：四点共面.(3)证明：平面.【答案】(1)，，(2)连接，

由题意可得则所以，所以，故四点共面.(3)由题意可得则所以，因为平面平面，且，所以平面.【分析】（1）根据空间直角坐标系的概念直接写出点的坐标即可；（2）根据直线平行的向量坐标表示证明即可；（3）利用直线垂直的向量坐标表示和线面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）由题意可得的坐标为，的坐标为，的坐标为.（2）略（3）略【变式1-2】（2026高三·河北承德·期末）在如图所示的多面体中，正方形与直角梯形所在的平面垂直，，.(1)证明：四点共面；(2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，在直角梯形中，可知，所以两两互相垂直．以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，故四点共面．(2).【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，可证平面，因为，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示，证明，进而得出四点共面；（2）分别求平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法，得到平面与平面夹角的余弦值．【详解】（1）略（2）因为．所以，设平面的法向量为，则取．因为是的中点，所以，所以，设平面的法向量为，则取．因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.【变式1-3】（2026·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体.(1)证明：四点共面；(2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，又，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，易得，则，则，则，即，所以四点共面.(2).【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，由平行向量的坐标关系证得，即可证得四点共面；（2）由题意设，求出，分别求出平面与平面的法向量，由垂直向量的坐标表示求出，再求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式即可得出答案.【详解】（1）略（2）由（1）知，，，，，设，则，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，设平面的一个法向量为，则，取，得，由平面平面，则，解得，则，则，又，设平面的一个法向量为，则，取，得，易得平面的一个法向量为，则，则平面与平面夹角的余弦值为.▌题型04空间坐标法证线线垂直1.核心逻辑

两条直线垂直（相交/异面均可）两条直线的方向向量数量积等于0。2.解题步骤

（1）建立空间直角坐标系，写出直线端点坐标；

（2）求出两条直线对应的方向向量；

（3）对应坐标相乘再求和，计算数量积；

（4）若计算结果为0，直接得出两直线垂直。3.易错提醒

向量坐标抄写错误，导致数量积计算失误。【例4】（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高为4，点满足，．(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明：方法一：如图①，连接，由题意知，，，，由勾股定理得，，过点作⊥于点，，则，由勾股定理得，故，因此，在矩形中，为的中点，所以，所以，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以．方法二：设的中点为的中点为，连接，以所在直线分别为轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则，所以，由于，因此．(2)【分析】（1）方法一：连接，由勾股定理逆定理及线面垂直的判定得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由面面夹角的向量公式即可求解．【详解】（1）略（2）设的中点为的中点为，连接，以所在直线分别为轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为．【变式4-1】（2026高二·上海·期中）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面．(1)求证：．(2)求二面角的平面角的余弦值．(3)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明：连接交于点，则，连接．在中，，，所以．所以，所以，由于平面平面，所以底面．以所在直线为轴、轴、轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则．由于，则，所以．(2)(3)存在，点在的延长线上且使．【分析】（1）连接交于点，则，连接，先根据勾股定理和面面垂直的性质证得线面垂直，以所在直线为轴、轴、轴建立的空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直；（2）根据（1）建立的空间直角坐标系，利用空间向量法计算二面角平面角的余弦值；（3）解法一：根据（1）建立的空间直角坐标系，利用空间向量法结合线面平行计算得到点的位置；解法二：连接，根据题设知，可得平面，在平面找到过点有即为所求.【详解】（1）略（2）由于平面，由（1）可知，所以平面的法向量．设平面，则设，得到取，所以．所以二面角的平面角的余弦值是．（3）存在，点在的延长线上且使，使得平面.解法1：假设在直线上存在点，使平面．设，则，得，由（1）可知设平面，则设，得到不妨取．又因为平面，所以，即，得，即点在的延长线上且使．解法2：连接，由题设知，因为平面，平面，所以平面，所以在平面找到过点有即为所求.如图3．假设在直线上存在点，使平面，在的延长线上取点，使，则，从而平面．【变式4-2】（2026·江西新余·模拟预测）在多面体ABCDE中，平面平面为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，M，N分别为AD，BE的中点.

(1)求证：；(2)求直线MN与平面ACE所成角的正弦值.【答案】(1)连接，过作，垂足为，过作，垂足为，∵为等边三角形，N分别为BE的中点，∴∵平面平面平面平面平面，∴平面以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设等边的边长为2，则设则∵四边形ABCD为平行四边形，M为AD的中点，所以.，，∵，所以，即.

(2).【分析】（1）连接，过作，垂足为，过作，垂足为，由题意得到，利用面面垂直的性质得到平面，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设等边的边长为2，写出各点坐标，通过证明即可证得；（2）由（1）求得的坐标，进而求得平面ACE的一个法向量的坐标，根据即可求得结果.【详解】（1）略（2）由（1）知,设平面的一个法向量为，取则，所以是平面的一个法向量..所以直线MN与平面ACE所成角的正弦值为.【变式4-3】（2026高三·广西柳州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面底面是的中点．(1)证明：．(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点为，连接，，根据面面垂直的性质定理证得底面，再由线面垂直的性质定理得，，从而建立空间直角坐标系，由向量法证明垂直关系；（2）求出平面与平面的法向量，由平面夹角的向量公式计算即可求解.【详解】（1）取的中点为，连接，，因为是等边三角形，所以，因为侧面底面，侧面底面，所以底面，因为底面，所以，，所以，，两两垂直，则分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，，，因为，所以，所以；（2）在平面中，，，设为平面的一个法向量，则，令，则为平面的一个法向量．又平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．▌题型05空间坐标法证线面垂直1.核心逻辑

直线垂直平面有两种判定方式：

（1）直线方向向量与平面法向量互相平行；

（2）直线垂直平面内两条相交直线。2.解题步骤

（1）建系并写出所有点坐标；

（2）求直线方向向量、平面法向量；

（3）证明与坐标对应成比例（），即可证线面垂直。3.易错提醒

仅证明直线垂直平面内一条直线，缺少“两条相交直线”条件。【例5】（2026高二·浙江绍兴·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，．(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）结合已知条件，建立空间直角坐标系，求出相应点及向量坐标，通过向量数量积为零得出垂直关系，结合已知条件，利用线面垂直定理证明结论；（2）求出相应点和向量坐标，进而求出各平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求余弦值，再根据同角三角函数关系求解正弦值．【详解】（1）取中点，连接，则，，四边形是正方形，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，则，则，，故，平面，平面，，平面，平面，平面．（2），则，，在平面中，设平面法向量为，则，令，则，，则，在平面中，设平面法向量为，则，令，则设平面与平面所成二面角为，则,，故平面与平面所成二面角的正弦值为．【变式5-1】（2026高二·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，，，．

(1)求的长；(2)求证：直线平面．【答案】(1)(2)证明：由，所以，所以，即，又，所以，所以，即，又，，平面，所以直线平面.【分析】（1）以，，为空间向量的基底，利用基底表示向量，即可得；（2）利用基底法表示向量，再根据向量位置关系证明线面垂直.【详解】（1）以，，为空间向量的基底，则，则；（2）略【变式5-2】（2026·天津）正方体的棱长为4，分别为中点，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积．【答案】(1)法一、在正方形中，由条件易知，所以，则，故，即，在正方体中，易知平面，且，所以平面，又平面，∴，∵平面，∴平面；法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，则，所以，设是平面的一个法向量，则，令，则，所以，易知，则也是平面的一个法向量，∴平面；(2)(3)【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可；（2）利用空间向量计算面面夹角即可；（3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可.【详解】（1）略（2）同上法二建立的空间直角坐标系，所以，由（1）知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即，设平面与平面的夹角为，则；（3）由（1）知平面，平面，∴，易知，又，则D到平面的距离为，由棱锥的体积公式知：.【变式5-3】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)如图，取中点，连接，，在正三角形中，，∵平面平面，平面平面，∴平面，且平面，∴，在梯形中，，∴四边形为平行四边形，∴，又∵，∴，又，平面，平面，∴平面，平面，∴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，∵，，∴且，且，平面，平面，∴平面.(2).【分析】（1）取中点，由线面垂直证明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，然后得到点坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直，从而得到线面垂直；（2）由空间直角坐标系得到点坐标，由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得线面角的正弦值.【详解】（1）略（2）由（1）可知，∴，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，即，直线与平面所成角，则，即直线与平面所成角的正弦值为.▌题型06空间坐标法证面面垂直1.核心逻辑

两个平面垂直两个平面的法向量数量积等于0。2.解题步骤

（1）建立坐标系，标出全部关键点坐标；

（2）分别求出平面法向量，平面法向量；

（3）计算数量积；

（4）数量积计算结果为0，直接证明两个平面互相垂直。3.易错提醒

求平面法向量时方程组求解错误；混淆面面平行、面面垂直的向量判定条件。【例6】（2026高二·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：

(1)平面平面；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用空间向量法证明线面垂直证明面面垂直；（2）利用空间向量法证明平面，再根据线面垂直的性质得到面面平行；【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，，.设，则，，.因为，，，所以，.所以，，即，.又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）因为，，，所以，.所以，.因为平面，所以平面.又由（1）知平面，所以平面平面.【变式6-1】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，正方体的棱长为，为线段上的动点，，分别是线段，上的点，且，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另外一条直线距离的最小值，求异面直线与之间的距离；(3)求异面直线与所成角的余弦值的最大值，并说明点的位置.【答案】(1)如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为