专题02一元二次函数、方程和不等式02（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）专题02一元二次函数、方程和不等式3大高频考点概览考点01等式性质与不等式性质考点02基本不等式考点03二次函数与一元二次方程、不等式考点03二次函数与一元二次方程、不等式（25-26学年高一上·四川成都·期中）1．不等式的解集为，则实数的值是（

）A．-1 B．1 C．3 D．-3（2026·辽宁丹东·调研）2．已知，是方程的两个根，则（

）A．3 B． C．7 D．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）3．不等式的解集为（）A． B．C．或 D．或（25-26学年高一上·云南普洱·期中）4．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（25-26学年高一上·河南南阳·期中）5．已知命题p：，有，则（

）A．p是真命题，p的否定：，使B．p是真命题，p的否定：，使C．p是假命题，p的否定：，使D．p是假命题，p的否定：，使（25-26学年高一上·河北张家口·期中）6．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（25-26学年高一上·北京丰台·期中）7．若不等式的解集为，则对于函数有（

）A． B．C． D．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）8．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（

）A． B．C． D．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）9．已知一元二次方程的两个实根为和3，则（

）A．7 B． C． D．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）10．对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，记，则（

）A．或 B．或C．或 D．或（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）11．设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（25-26学年高一上·云南普洱·期中）12．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）13．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）14．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）15．若一元二次不等式的解集为，则最大值为（

）A． B． C．2 D．4（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）16．命题，恒成立为真命题，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）17．若，且，则的最小值为（

）A．12 B．9 C．6 D．3（25-26学年高一上·云南昆明·期中）18．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）19．设函数.若当时，对于任意，，都有，则实数的最大值为（

）A． B． C．1 D．2（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）20．已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（

）A．中最大的元素不超过1B．中最小的元素可以小于C．若集合中只有一个元素，则或D．若集合中有两个元素，则（2026·北京房山·一模）21．若是一元二次方程的两个根，则的值为___________的值为___________．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）22．不等式的解集为__________.（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）23．不等式的解集是________．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）24．已知全集，集合，集合.(1)当时，求；(2)设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.（25-26学年高一上·河南南阳·期中）25．已知函数(1)当时，求不等式的解集；(2)当时，有，求的最小值，并求取最小值时的值.（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）26．某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____.（25-26学年高一上·北京丰台·期中）27．已知二次函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)解关于的不等式．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）28．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）29．不等式的解集为__________.（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）30．已知函数满足.(1)求的解析式；(2)求关于的不等式的解集；(3)若关于的不等式的解集中只有一个整数，求的取值范围.（25-26学年高一上·山东济南·期中）31．已知函数(1)当时，求不等式的解集；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式.（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）32．若关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是_____.（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）33．若对任意的，都有，则实数的取值范围为_____.（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）34．已知函数，.(1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；(2)记函数在上的最小值为，求的表达式.（25-26学年高一上·云南普洱·期中）35．已知函数是偶函数．当时，．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围；（3）设，求在区间上的最大值，其中．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）36．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是___________．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）37．已知函数.(1)若关于的不等式的解集为，求，的值；(2)当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.（25-26学年高一上·天津期中学·期中）38．已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)当时，求关于的不等式的解集.（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）39．已知二次函数满足，且(1)求函数的解析式；(2)已知不等式在上恒成立，求函数在区间上的最小值.（25-26学年高一上·河北张家口·期中）40．已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根.(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题均为假命题，求实数的取值范围.（25-26学年高一上·河北张家口·期中）41．已知函数.(1)当时，求函数的最小值；(2)若关于的不等式的解集为，求实数的值；(3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.（25-26学年高一上·四川成都·期中）42．已知二次函数．(1)若的解集为，分别求a，b的值；(2)解关于x的不等式．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）43．已知函数．(1)若对，恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式：．（2026·北京房山·一模）44．已知函数．(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；(2)当时，求不等式的解集；(3)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．（2026·辽宁丹东·调研）45．已知二次函数满足，且图象经过点.(1)求的解析式；(2)若函数在上最小值为，求实数的值.（2026·辽宁丹东·调研）46．已知不等式.(1)若，解这个关于的不等式；(2)若且，解这个关于的不等式.（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）47．设函数.(1)当时，不等式的解集为，求实数的值；(2)若，求关于的不等式的解集；(3)若对恒成立，求的最大值.（25-26学年高一上·河南南阳·期中）48．已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：）与速度v（单位：）的平方及汽车总质量成正比.设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物以外处停车，最大限制时速应是__________（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过）（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）49．函数对一切实数，均有成立，且．（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）对任意的，，都有成立，求实数的取值范围．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）《专题02一元二次函数、方程和不等式02（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版》参考答案：1．A【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解.【详解】不等式的解集为，则-1和2是方程的两根，有，解得.故选：A2．D【详解】因为，是方程的两个根，所以，所以.3．C【分析】由题意转化为求方程的根即可求解.【详解】由题意有，方程有两个根，即和1，则的解集为或，即不等式的解集为或.故选：C.4．A【分析】解不等式可得或，根据取值的范围大小即可知“”是“”的充分不必要条件.【详解】由不等式可得或；易知是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A5．D【分析】根据全称量词命题的否定及一元二次不等式恒成立的条件判断即可.【详解】因为恒成立，所以命题p是假命题；p的否定是：，使.故选：D.6．B【分析】先解一元二次不等式得出等价条件，再结合必要不充分条件定义判断求解.【详解】，解得，可以推出“”，“”不能推出，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.7．C【分析】由一元二次不等式解集的特征得，结合二次函数的对称性判断.【详解】由不等式的解集为，则，所以开口向上，对称轴为，.故选：C.8．B【分析】当时，验证符合题意，当时，得求解得到答案.【详解】当时，不等式变为恒成立，符合题意；当时，由不等式的解集为R，则，解得，综上，的取值范围为.故选：B.9．C【分析】根据已知条件，利用根与系数的关系分别求出，进而计算．【详解】和3是一元二次方程的两个实根，，解得，．故选：C．10．D【分析】先求解一元二次不等式，再根据的定义求解.【详解】由，解得.由定义可知，可取0，1，2，则2，故或.故选：D11．A【分析】不等式对一切实数都成立，按照和讨论求解，当时，，计算求出的范围，利用充分条件和必要条件的定义得到结论.【详解】不等式对一切实数都成立，当时，不等式转化为，满足题意；当时，不等式对一切实数都成立，，，，综上可知，不等式对一切实数都成立，则；则“”是“为真命题”的充分不必要条件.故选：A.12．D【分析】先由特称命题的否定转化得全称命题，再利用二次不等式恒成立问题的解法求解即可.【详解】因为“，”为假命题，所以，为真命题，所以，解得，故的取值范围为，故选：D．13．C【分析】根据一元二次不等式的解集求出参数、的值，再利用二次不等式的解法可得出所求不等式的解集.【详解】因为不等式的解集为，所以，则方程的两根分别为、，由韦达定理可得，解得，所以，不等式即为，解得或，因此，不等式的解集为或.故选：C.14．B【分析】首先根据不等式的解集求出，然后根据分式不等式的解法求解即可.【详解】因为不等式的解集为，所以，即，.所以不等式即为，所以不等式的解集为.故选：B15．B【分析】分析可得，利用韦达定理可得出、，再利用基本不等式可求得的最大值.【详解】因为一元二次不等式的解集为，所以、为关于的方程的两根且，所以，则，所以，当且仅当时，即当时等号成立.因此的最大值为.故选：B.16．A【分析】由题设在上恒成立，得，结合对应二次函数的性质研究不等式恒成立求参数范围.【详解】由题意在上恒成立，显然，令，其对称轴为，且，当，即时，恒成立，当，即时，只需，可得，所以，综上，.故选：A17．C【分析】根据基本不等式列不等式求解即可.【详解】方法一：因为，所以，即，令，得，解得（不符合题意舍去）或，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为.方法二：因为，又，所以.所以.当且仅当时取等号.18．D【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【详解】当时，不等式恒成立，当时，满足不等式恒成立；当时，令，则在上恒成立，函数的图像抛物线对称轴为，时，在上单调递减，在上单调递增，则有，解得；时，在上单调递增，在上单调递减，则有，解得.综上可知，的取值范围是.故选：D.【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.19．B【分析】结合二次函数的对称性可得且，运算得解.【详解】，开口向上，对称轴为，当时，对于任意，，都有，则，故，得，由对称性得，，即，，即实数的最大值为.故选：B.20．AC【分析】对于A，设为数集中最大的元素，可知也是数集的元素，由,解不等式即可判断；对于B,设为数集中最小的元素，可知和都是数集的元素，则,解不等式即可判断；对于C,设为数集中唯一的元素，可知也是数集的元素，则,解方程即可求解；对于D,举出也满足条件即可判断.【详解】对于A，设为数集中最大的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素，则,解得：,所以数集中最大的元素不超过1，故A正确；对于B,设为数集中最小的元素，根据数集的定义可知和都是数集的元素，则,即,解得或，所以数集中最小的元素不小于，故B不正确；对于C,设为数集中唯一的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素，则,解得：或,则或，故C正确；对于D,设集合中有两个元素分别为,，当时，，，由于，所以，解得或(舍去)，此时；当，时，，，，所以集合中有两个元素，则也满足条件,故D不正确；故选：AC21．6【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解.【详解】由是一元二次方程的两个根，得，所以.故答案为：；622．【分析】使用换元法结合不等式的性质求不等式的解集.【详解】令，则原不等式：展开得：化简得：，即时分子正，分母负⇒整体负，时分子负，分母正⇒整体负，即可得或，解得或；故，代回：，，整理得.故答案为：23．【分析】通过换元法将不等式转化为一元二次不等式，求解后还原得到的范围．【详解】解：不等式可化为，令，则不等式可化为，解得，因为，所以，即，则．故原不等式的解集为．故答案为：．24．(1)或(2)【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；（2）分析可知，是的真子集，根据集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，且，则或，故或.（2）因为是的充分不必要条件，则是的真子集，且，，故，即实数的取值范围是.25．(1)(2)，【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得答案；（2）由可得，再利用基本不等式“1”的妙用可得答案.【详解】（1）当时，不等式可化为，即：，解得：，即原不等式的解集为（2）由可知，即：.因为，所以，当且仅当，即时等号成立，即当时，取得最小值.26．15【分析】设销售价格提高元，从而得到不等式，求出，得到答案.【详解】设销售价格提高元，其中，则，解得，故销售价格最高为元.故答案为：1527．(1)(2)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可；（2）不等式，即为，抓住与1的大小讨论求解.【详解】（1）当时，，不等式，即，，解得或，所以不等式的解集为.（2）不等式，即，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.28．【分析】由韦达定理求出与，带入计算即可．【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为，由韦达定理知，，所以当且仅当取等号．【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题．29．【分析】根据分式不等式的解法求解即可.【详解】当，即时，不等式成立；当时，由.综上所述，不等式的解集为.故答案为：.30．(1)(2)当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为(3)【分析】（1）应用方程组法计算得出解析式；（2）分，，得出解集即可；（3）根据解集只有一个整数计算求参数.【详解】（1）以代替代入，①得，②由2×②，得，③由③-①，得，所以.（2）由（1）得等价于.当时，，所以该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为.综上，当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为.（3）当时，该不等式的解集为，符合题意；当时，该不等式的解集为，则；当时，该不等式的解集为，则.综上，的取值范围是.31．(1)(2)【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）求得一元二次函数的对称轴，分，和三种情况可求得函数在上的最小值的表达式.【详解】（1）当时，不等式等价于，，解得或，∴不等式的解集为.（2）开口向上，对称轴为，①当时，即时，，②当时，即时，，③当时，即时，，综上所述，.32．3.【分析】由题可得为方程的根，结合根与系数关系可得，，代入化简，结合基本不等式即可求解.【详解】不等式可化为：，等价于，因为关于的不等式的解集为，则为方程的根，所以，因为，则，所以，因为，则，当且仅当时，即时去等号，所以的最小值是故答案为：33．；【分析】由于的解集为,可得，列出不等式即可求解.【详解】由于的解集为,则，所以，解得：，所以实数的取值范围为；故答案为：34．(1)(2)【分析】（1）由题可得1，是方程的两根，进而求出,再由分式不等式的解法求解即可；（2）讨论的范围，结合二次函数的单调性求解即可.【详解】（1）因为不等式的解集为，所以1，是方程的两根，所以，解得.不等式即为，不等式可化为，等价于解得，所以不等式的解集为.（2）因为，当时，在上单调递增，所以；当时，所以；当时，在上单调递减，所以，所以.35．（1）；（2）或；（3）函数在区间上的最大值为.【分析】（1）设，则，求得，结合函数为偶函数，即可求解；（2）由（1）及二次函数图象与性质，得到或，即可求解；（3）由（1）可知，函数，结合二次函数的图象与性质，分、和三种情况讨论，即可求解.【详解】（1）设，则，可得，又由为偶函数，所以，所以当时，，所以.（2）由（1）及二次函数，可得的增区间为，，减区间是，，又函数在区间上具有单调性，且，所以或，即或，解得或，故实数a的取值范围是或．（3）由（1）可知，函数，由于，当时，，作出在上的草图，如图所示，由图象可知，；当时，，作出在上的草图，如图所示：由图像可知，；当时，，作出在上的草图，如图所示，由图像可知，；综上所述：函数在区间上的最大值为.36．【分析】把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可.【详解】要使不等式在上有解，则，在上有解，令，，则，当且仅当，即时等号成立，故时，，因此要使不等式在上有解，则，故答案为：.37．(1)，的值分别为，，或，.(2).【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值；（2）由判别式可得．【详解】（1）由题意可知，，1是方程的两根，所以，，解得，或，.故，的值分别为，，或，.（2）当时，，若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点，则，即，解得，故的取值范围是.38．(1)(2)当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.【分析】（1）直接解不等式得到但.（2）变换，考虑，，三种情况，解不等式即可.【详解】（1）当时，，由得，即，所以，解得或，故不等式的解集为.（2）当时，，即，当时，，，，无解；当时，，的解为；当时，，的解为.综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.39．(1)；(2).【分析】（1）设出二次函数的解析式，根据题意结合待定系数法求解即可；（2）根据已知可得且，结合二次函数的性质，应用分类讨论求在上的最小值，即可得.【详解】（1）由二次函数满足，设其解析式为且，又，∴，∴，解得，，则；（2）由，则，可得，所以，可得，由，当，即时，在上单调递减，则最小值，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值，当，即时，在上单调递增，则最小值，综上，.40．(1)(2)或【分析】（1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可.（2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可.【详解】（1）由题意知对于命题，不等式恒成立，当时，恒成立，当时，则需，解得，综上，，即实数的取值范围为.（2）若是真命题，则，解得，则若是假命题，实数的取值范围为或.由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或，综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或.41．(1)最小值为(2)(3)【分析】（1）将代入函数，通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得出最小值即可.（2）根据一元二次不等式解集的端点是对应方程的根，利用韦达定理列出关于的方程组，解出的值即可.（3）先对二次函数因式分解，得到，然后根据零点的大小分类讨论，并结合和，即可得出的取值范围.【详解】（1）当时，函数，则当时，函数取得最小值，最小值为.（2）因为关于的不等式的解集为，所以1和5是一元二次方程的两个根，所以，解得.（3）由，可得，①当，即时，，要使，则或，解得或，又，可得或；②当，即时，，满足；③当，即时，，要使，则或，解得或，又，可得.综上，实数的取值范围为.42．(1)，(2)当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．【分析】（1）由题可得，b是方程的根，结合题意列式即可求解；（2）由题可得，分类讨论两根的大小关系，根据含参一元二次不等式的解法求解即可.【详解】（1）由的解集为，则，b是方程的根，且．

由，解得；又由，解得．所以，．（2）由二次函数，知，

不等式整理得，即，

当时，不等式等价于，

当，即时，解得或；

当，即时，解得；

当，即时，解得或；

当时，不等式等价于，解得，

所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．43．(1)(2)当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．【分析】（1）分析可知，恒成立，由可得出关于的不等式，解之即可；（2）将所求不等式变形为，对、的大小关系进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【详解】（1）对，恒成立，即恒成立，所以，整理得，解得，所以实数的取值范围是.（2），即，即，即，即，当，即时，原不等式即为，解得；当，即时，解原不等式得或；当，即时，解原不等式得或．综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．44．(1)最大值为，最小值为；(2)；(3).【分析】（1）根据二次函数的性质直接求解即可；（2）直接解不等式即可得答案；（3）将问题转化为对任意实数恒成立，进而分类讨论求解即可.【详解】（1）当时，函数，因为，所以，由二次函数的性质知，当时，有最小值；当时，有最大值，所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为和.（2）当时，函数，所以，不等式的解集即为的解集，因为，解得或，所以，当时，不等式的解集为.（3）因为对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，所以，对任意实数恒成立，当时，，解得，不满足题意；当时，对任意实数恒成立等价于，即：，解得综上，实数的取值范围为45．(1)(2)或【分析】（1）用待定系数法，设，由过得，再展开，与比较系数，得方程组，解出、的值，即可得出函数的解析式；（2）由，开口向上，对称轴，按对称轴在区间左侧、内部、右侧分类，分别求最小值并列方程，得的取值.【详解】（1）设因为的图象过点，所以，故，，又，由得，消去，整理得，该式对任意成立，所以，解得，故（2）已知，这是开口向上的二次函数，对称轴为直线，分以下三种情况讨论：①当