北师大版数学 2.1.认识有理数（第3课时） 学案 含答案

2.1.认识有理数（第3课时）（导学案）（原卷版）1.能用数轴上的点表示有理数，借助数轴理解相反数和绝对值的意义；2.能利用数轴比较有理数的大小；3.能够数与形的相互转化，初步体会数形结合的思想方法。重点：理理解数轴的概念、借助数轴理解相反数和绝对值的意义。难点：会用数轴上的点表示给定的有理数和借助数轴理解相反数、绝对值的意义。第一环节自主学习温故知新：①只有的符号，数量。我们称其中一个数为另一个数的，也称这两个数。特别地，0的相反数是。数的相反数为。相反数是一个数对而言的，单独的一个数称为相反数。②“－”含义有：（1）数的性质符号——；（2）运算符号——；（3）两数间的关系——.③正数的绝对值是；负数的绝对值是它的；0的绝对值是。即一个数的绝对值是,也就是。④正数0，负数0，正数负数。两个负数，绝对值大的。新知自研：自研课本第29--30页的内容【学法指导】自研课本P29-30页内容：（一）认识数轴（1）如图2-3中温度计上显示的温度各是多少？（2）温度计上的刻度有什么特点？（3）你能用直线上的点表示有理数吗？总结归纳：像这样，规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴。如图2-4，通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向。（4）这条直线像不像一个平放的温度计？（二）数轴上的点用有理数表示问题：如图中所示，指出数轴上的A、B、C、D、E、F各点所表示的数．（三）有理数在数轴上表示（1）在上面的这条数轴上+3、一4分别用怎样的点表示？尝试·思考用数轴上的哪个点表示？一1.5呢？其他数呢？（2）的点在原点的哪边？在哪两个整数之间？它是位于原点哪一侧多少个单位的点？（3）表示的一1.5点在原点的哪边？在哪两个整数之间？它是位于原点哪一侧多少个单位的点？总结：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数。（四）借助数轴认识相反数、绝对值和有理数大小比较观察·思考（1）观察图2-6中表示３与一3的两个点，它们在数轴上的位置有什么关系？表示与的两个点呢？表示5与一5的两个点呢？（2）表示３与一3的两个点到原点的距离是多少？表示与的两个点呢？表示5与一5的两个点呢？归纳总结：互为相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。一个数绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离。思考·交流将例4（2）中的各数按照从小到大的顺序排列，并用“<”连接起来；观察它们在数轴上对应点的位置（如图2-6），你有什么发现？与同伴进行交流。交流总结：数轴上左边点表示的数小于右边点表示的数。【自研自探】自研课本29-30页内容及例题：例1.（1）如图2-5，数轴上点A、B、C、D分别表示什么数？画出数轴，用数轴上的点表示下列各数：例2（1）在数轴上，与原点的距离是3的点有几个？这些点分别表示什么数？这些数之间有什么关系？与原点的距离是的点呢？（2）数轴上的点A表示的数是3，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是()A．2B．±2C．8D．8或－2第二环节合作探究1.讨论如何用直线上的点表示有理数吗？2.讨论数轴上的点如何用有理数表示？有理数如何用数轴上的点表示？3.讨论互为相反数的几何意义，一个数的绝对值的几何意义？4.讨论怎样用数轴比较有理数的大小？5.合作交流拓展：1.阅读下面的材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离。一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数，那么A、B两点之间的距离可以表示为。回答下列问题：(1)数轴上表示6与的两点之间的距离是______；数轴上表示与2的两点之间的距离是______．(2)若，则______．(3)满足的有理数有______个．(4)当______时，代数式的最小值是2．课本随堂练习1.画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“>”将它们连接起来：2．在数轴上距高原点2个单位长度的点表示什么数?3．在数轴上表示下列各数及其相反数，并求出它们的绝对值：1．（2025.山东济宁）如图，数轴上表示－2的点是（）A．M B．N C．P D．Q2.（2025.湖北）数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的是（）A．a＜b B．a＞b C．b＜0 D．a＞03．（2025.四川遂宁）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+10．（填“＞”“＝”或“＜”）1.规定了、和的直线称为数轴。通常将数轴画成直线，并选择的方向为正方向。2.数轴上的点所表示的数首先要确定，在原点右边的为，在原点左边的为；再确定，即距离是几个单位长度．任何一个有理数都可以用数轴上的来表示，但数轴上的点表示有理数。3.互为相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的，且到原点的距离。一个数绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是这个数所对应的点到的距离。4.数轴上左边点表示的数右边点表示的数。

2.1.认识有理数（第3课时）（导学案）（解析版）1.能用数轴上的点表示有理数，借助数轴理解相反数和绝对值的意义；2.能利用数轴比较有理数的大小；3.能够数与形的相互转化，初步体会数形结合的思想方法。重点：理理解数轴的概念、借助数轴理解相反数和绝对值的意义。难点：会用数轴上的点表示给定的有理数和借助数轴理解相反数、绝对值的意义。第一环节自主学习温故知新：①只有的符号不同，数量相等。我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。数的相反数为。相反数是一个数对另一个数而言的，单独的一个数不能称为相反数。②“－”的含义有：（1）数的性质符号——负号；（2）运算符号——减号；（3）两数间的关系——相反数。③正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即一个数的绝对值是大于等于0(即非负数),也就是。④正数大于0，负数小于0，正数大于负数。两个负数，绝对值大的反而小。新知自研：自研课本第29--30页的内容【学法指导】自研课本P29-30页内容：（一）认识数轴（1）如图2-3中温度计上显示的温度各是多少？5℃，0℃，-10℃（2）温度计上的刻度有什么特点？学生只要能用语言表述即可。（3）你能用直线上的点表示有理数吗？在一条水平直线上取一点（称为原点）表示0，选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向。原点右边的点可以表示正数，原点左边的点可以表示负数。这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了。总结归纳：像这样，规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴。如图2-4，通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向。（4）这条直线像不像一个平放的温度计？像一个平放的温度计。（二）数轴上的点用有理数表示问题：如图中所示，指出数轴上的A、B、C、D、E、F各点所表示的数．A、B、C、D、E、F各点所表示的数依次是、4、、5.5、0.5、7.（三）有理数在数轴上表示（1）在上面的这条数轴上+3、一4分别用怎样的点表示？在这条数轴上，+3可以用位于原点右边3个单位长度的点表示，一4可以用位于原点左边4个单位长度的点表示。尝试·思考用数轴上的哪个点表示？一1.5呢？其他数呢？（2）的点在原点的哪边？在哪两个整数之间？它是位于原点哪一侧多少个单位的点？表示的点在原点的哪右边；在0和1两个整数之间；它是位于原点右侧个单位的点。（3）表示的一1.5点在原点的哪边？在哪两个整数之间？它是位于原点哪一侧多少个单位的点？表示的一1.5点在原点的左边；在-1和-2两个整数之间；它是位于原点左侧1.5个单位的点。总结：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数。（四）借助数轴认识相反数、绝对值和有理数大小比较观察·思考（1）观察图2-6中表示３与一3的两个点，它们在数轴上的位置有什么关系？表示与的两个点呢？表示5与一5的两个点呢？它们位于原点的两侧，且到原点的距离相等。（2）表示３与一3的两个点到原点的距离是多少？表示与的两个点呢？表示5与一5的两个点呢？表示３与一3的两个点到原点的距离都是3；表示与的两个点到原点的距离都是；表示5与一5的两个点到原点的距离都是5.归纳总结：互为相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。一个数绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离。思考·交流将例4（2）中的各数按照从小到大的顺序排列，并用“<”连接起来；观察它们在数轴上对应点的位置（如图2-6），你有什么发现？与同伴进行交流。交流总结：数轴上左边点表示的数小于右边点表示的数。【自研自探】自研课本29-30页内容及例题：例1.（1）如图2-5，数轴上点A、B、C、D分别表示什么数？画出数轴，用数轴上的点表示下列各数：【分析】（1）先确定符号，在原点右边为正数，在原点左边为负数；再确定数量，即距离原点是几个单位长度。（2）先画数轴，根据符号确定点在原点左侧，还是右侧，再根据数量确定点到原点的距离。【详解】解：（1）点A、B、C、D分别－2，2，0，－1；如下图2-6所示：例2（1）在数轴上，与原点的距离是3的点有几个？这些点分别表示什么数？这些数之间有什么关系？与原点的距离是的点呢？（2）数轴上的点A表示的数是3，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是()A．2B．±2C．8D．8或－2【分析】（1）按照相反数和绝对值的几何意义解答；（2）讨论与点A相距5个单位长度的点在A点左右两边各有一个.【详解】解：（1）在数轴上，与原点的距离是3的点有2个，分别表示是3和－3，这些数之间互为相反数；与原点的距离是的点有2个，分别是和－，它们也互为相反数。（2）与点A相距5个单位长度的点表示的数有2个，分别是8或－2。第二环节合作探究1.讨论如何用直线上的点表示有理数吗？2.讨论数轴上的点如何用有理数表示？有理数如何用数轴上的点表示？3.讨论互为相反数的几何意义，一个数的绝对值的几何意义？4.讨论怎样用数轴比较有理数的大小？5.合作交流拓展：1.阅读下面的材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离。一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数，那么A、B两点之间的距离可以表示为。回答下列问题：(1)数轴上表示6与的两点之间的距离是______；数轴上表示与2的两点之间的距离是______．(2)若，则______．(3)满足的有理数有______个．(4)当______时，代数式的最小值是2．【分析】（1）根据数轴上点的位置进行计算；（2）根据数轴上点的位置，结合绝对值的意义求解；（3）由数轴上点的位置和绝对值的意义，可判断，这样的有理数x有无数个；（4）由数轴上点的位置和绝对值的意义，由题意得表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点），若，则，若，则．【详解】（1）数轴上表示6与的两点之间的距离是；数轴上表示x与2的两点之间的距离是．（2）表示与3的距离为3，则=0或6．（3）表示与的距离与它与3的距离之和为5，则，这样的有理数有无数个．（4）的值为“表示的点与表示的点的距离”与“表示x的点与表示的点的距离”之和．当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值.∴表示的点与表示的点的距离为2．若，则，∴．若，则，∴．综上，当或时，原式的最小值是2．课本随堂练习1.画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“>”将它们连接起来：2．在数轴上距高原点2个单位长度的点表示什么数?3．在数轴上表示下列各数及其相反数，并求出它们的绝对值：答案：1.图略。2.从数轴看，满足条件的点分别在原点的左边和右边,表示的数是+2或－2.3.图略。各数的相反数分别是;1．（2025.山东济宁）如图，数轴上表示－2的点是（）A．M B．N C．P D．Q【详解】解：数轴上表示－2的点是M．故选：A．2.（2025.湖北）数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的是（）A．a＜b B．a＞b C．b＜0 D．a＞0【详解】解：由图可知，a＜0，b＞0，a＜b，故选项A符合题意．故选：A．3．（2025.四川遂宁）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+10．（填“＞”“＝”或“＜”）【详解】