北师大版数学 第2章 有理数及其运算（高效培优单元自测·提升卷） 试卷 含答案

第二章有理数及其运算（高效培优单元自测·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（2026·广西·中考真题）下列四个数中，最大的数是（

）A． B． C． D．2．（2026·陕西榆林·模拟预测）根据西安市文化和旅游局数据统计，某年春节假期，全市3A级以上景区共接待游客超1300万人次，数据“1300万”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．（2026·河南三门峡·三模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（

）A． B． C． D．4．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（

）．A．原点一定在点左侧 B．原点一定在点右侧C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧5．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（

）A．或 B．10或2 C．或2 D．10或7．（25-26七年级上·广西河池·期末）居民生活用水通常按户计费，下表是我县居民生活用水的收费标准（户口不超过5人），称这样的收费方式为阶梯计价．冬冬家有4个人，2025年12月的用水量为48立方米，则冬冬家12月应交水费为（

）天峨县城区供水价格表一、居民生活用水价格（元）第一阶梯：月用水量立方米/户3.99第二阶梯：35立方米/户<月用水量立方米/户5.44第三阶梯：月用水量立方米/户6.88A．191.52元 B．210.37元 C．261.12元 D．330.24元8．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，某同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是（

）账号：密码A． B． C． D．9．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年．123456789101112天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥请你依据上述规律推断2035年为（

）A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年10．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（

）A． B． C． D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）绝对值不大于1的整数有____________．12．（2026·青海西宁·二模）在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________．13．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______．14．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________15．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______．16．（25-26九年级上·四川成都·期末）小明同学设计了一种运算程序：输入正整数，则输出另一个正整数．具体程序如下：①若为偶数，则输出；②若为奇数，则输出．对正整数进行一次输入和输出称为对的一次变换，对第一次输出的再次输入和输出则称为对的二次变换，依此类推．例如，输入正整数，根据是偶数，对进行一次变换输出的数为；将再次输入，根据是奇数，对进行二次变换后输出的数为．（1）若输入正整数进行二次变换后输出的数为，则满足条件的的值为__________；（2）已知输入正整数，若对进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为，则正整数的值为__________．三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算：(1)；(2)18．（6分）（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是．(1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________；(2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来．2.5，，，．19．（6分）（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）在数，，，，中，最大的数是，绝对值最小的数是．(1)求，的值．(2)若，求和的值．20．（6分）（25-26七年级上·江苏苏州·期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：进出数量（单位：吨）42进出次数21332(1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由：(2)根据实际情况，现有两种方案：方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．21．（8分）（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数．(1)求的值；(2)求的值．22．（8分）（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问：(1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？(2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？(3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？23．（10分）（25-26六年级上·山东泰安·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”．【初步探究】(1)直接写出计算结果：________，=________．(2)关于除方，下列说法错误的是（

）A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；B．对于任何正整数n，；C．D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．=________；=_________；=_______(4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于．(5)算一算：24．（10分）（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下：解：小红发现：，，，……于是有：原式．(1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来：；②兴趣小组的同学根据这一规律，发现：；(2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果；(3)请利用前面的思想方法计算：．25．（12分）（2025七年级上·重庆·专题练习）数形结合思想是常用的数学思想，数轴帮我们把点和数对应起来，是利用数形结合思想解决问题的有效工具．学习完七年级上册前4章后，爱思考的三位同学想“玩转”数轴．(1)小梅的玩法关键字是“折”：把数轴以点C为折点对折，使点A和点B重合．已知点A，B表示的数分别为a，b．若a，b满足，则折点C表示的数为_______；(2)小溪的玩法关键字是“添”：在小梅的基础上，在A，B两点各添加一块挡板，在C点添加一块减速板，动点M在A，B之间来回运动，遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒，若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．点M从A点出发，以5个单位长度每秒的速度向B点运动，设运动的时间为t秒．当点M对应的数是2时，求t的值；(3)小湖的玩法关键字是“去”：去掉所有含有数字k的整数，制作了一个“缺数字k的数轴”：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数字k．例如，当时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33…①在某“缺数字k的数轴”上表示100的点到原点的距离为_______；②已知正整数m，n满足，且某“缺数字k的数轴”上有分别表示和的两个点，则这两点之间的距离为_______．（用含m，n的代数式表示）

第二章有理数及其运算（高效培优单元自测·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（2026·广西·中考真题）下列四个数中，最大的数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据有理数大小比较的性质：正数大于0，0大于负数，两个正数比较，数值大的数更大即可求解．【详解】解：∵∴四个数中最大的数是8．2．（2026·陕西榆林·模拟预测）根据西安市文化和旅游局数据统计，某年春节假期，全市3A级以上景区共接待游客超1300万人次，数据“1300万”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，比原整数位数少1．【详解】1300万，．3．（2026·河南三门峡·三模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，，所以满足题意的范围是，观察各选项，只有B符合题意．．4．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（

）．A．原点一定在点左侧 B．原点一定在点右侧C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧【答案】D【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答．【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且，∴，∴，∴的中点位置是小于的，∴原点一定在中点右侧．5．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可．【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确；②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确；③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110，，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确．综上所述，正确的有3个．6．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（

）A．或 B．10或2 C．或2 D．10或【答案】A【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可．【详解】解：∵，∴，，∵，当时，，，均不符合条件，舍去；当时，，符合要求；，符合要求；分两种情况计算：当，时，；当，时，；∴的值为或，故A正确．7．（25-26七年级上·广西河池·期末）居民生活用水通常按户计费，下表是我县居民生活用水的收费标准（户口不超过5人），称这样的收费方式为阶梯计价．冬冬家有4个人，2025年12月的用水量为48立方米，则冬冬家12月应交水费为（

）天峨县城区供水价格表一、居民生活用水价格（元）第一阶梯：月用水量立方米/户3.99第二阶梯：35立方米/户<月用水量立方米/户5.44第三阶梯：月用水量立方米/户6.88A．191.52元 B．210.37元 C．261.12元 D．330.24元【答案】B【分析】根据收费规则，列出算式进行计算即可.【详解】解：（元）.8．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，某同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是（

）账号：密码A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据前两组运算规律，对于输入，输出由及它们的和组成，组合成六位数字．【详解】解：∵对于：，组成；对于：，组成；∴对于：，组成；∴密码为，故选：B．9．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年．123456789101112天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥请你依据上述规律推断2035年为（

）A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年【答案】D【分析】根据给出的计算方法，分别列式计算即可.【详解】解：天干为：，地支为：，故2035年为农历乙卯年.10．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得．【详解】解：当时，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，第三次输出的结果为，第四次输出的结果为，第五次输出的结果为，第六次输出的结果为，第七次输出的结果为，第八次输出的结果为，第九次输出的结果为，第十次输出的结果为，……由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：，∵，∴第次计算输出的结果是，故选：D．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）绝对值不大于1的整数有____________．【答案】【分析】根据绝对值的意义，明确绝对值不大于1即为绝对值小于或等于1，找出该范围内的所有整数即可．【详解】解：设这个整数为，根据题意可得：，去绝对值得，又因为是整数，因此满足条件的整数为．12．（2026·青海西宁·二模）在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________．【答案】【分析】根据题意得到点与点表示的数互为相反数是解题的关键.【详解】解：∵点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等，∴点与点表示的数互为相反数，又∵点表示的数为，∴点表示的数是．13．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______．【答案】【分析】分别求出数轴上和刻度尺上点A和点C的距离，则可求出刻度尺上在数轴上表示的长度，再求出刻度尺上点A和点B的距离，进而求出数轴上点A和点B的距离，则可得到答案．【详解】解：∵在数轴上点A表示的数为，点C表示的数为，∴在数轴上点A与点C的距离为；∵在刻度尺上，数字0对应点A，数字对应点C，∴在刻度尺上点A与点C的距离为，∴刻度尺上在数轴上表示个单位长度，∵在刻度尺上点对应刻度，∴在刻度尺上点A与点B的距离为，∴在数轴上点A与点B的距离为，∴．14．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________【答案】（答案不唯一）【详解】解：依题意可得（答案不唯一）．15．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______．【答案】【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离．【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离，∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当时，有最小值，为．16．（25-26九年级上·四川成都·期末）小明同学设计了一种运算程序：输入正整数，则输出另一个正整数．具体程序如下：①若为偶数，则输出；②若为奇数，则输出．对正整数进行一次输入和输出称为对的一次变换，对第一次输出的再次输入和输出则称为对的二次变换，依此类推．例如，输入正整数，根据是偶数，对进行一次变换输出的数为；将再次输入，根据是奇数，对进行二次变换后输出的数为．（1）若输入正整数进行二次变换后输出的数为，则满足条件的的值为__________；（2）已知输入正整数，若对进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为，则正整数的值为__________．【答案】或或【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．(1)根据二次变换输出的数为，逆推第一次变换输出为，再逆推输入为或；(2)根据两次变换输出积为，推导第一次输出为，再逆推输入为或．【详解】(1)解：设第一次变换后输出的数为，二次变换后输出的数为，当为偶数时，，，当为奇数时，，，当为偶数时，，；当为奇数时，，，不符合题意，舍去；故答案为：或；(2)设第一次变换输出为，第二次变换输出为，则有，若为偶数，则，则有，解得：，或，或；若为奇数，则，，整理得：，方程无整数解；综上所述，的值为或．故答案为：或．三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算：(1)；(2)【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：；（2）解：．18．（6分）（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是．(1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________；(2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来．2.5，，，．【答案】(1)；4；(2)，【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数；（2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可．【详解】（1）略（2）略19．（6分）（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）在数，，，，中，最大的数是，绝对值最小的数是．(1)求，的值．(2)若，求和的值．【答案】(1)，(2)，【分析】（）把有理数在数轴上表示出来，根据数轴即绝对值的意义即可求出的值；（）根据非负数的性质可得，，结合（）所得的值计算即可求解；本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，绝对值的非负数，掌握绝对值的非负性是解题的关键．【详解】（1）解：有理数在数轴上表示如下：∴，，∴最大的数是，绝对值最小的数，∴，；（2）解：∵，∴，，∵，，∴，，∴，．20．（6分）（25-26七年级上·江苏苏州·期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：进出数量（单位：吨）42进出次数21332(1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由：(2)根据实际情况，现有两种方案：方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．【答案】(1)减少9吨，见解析(2)方案二运费少【分析】（1）先分别将运进数量×运进次数，运出数量×运出次数，再把它们相加即可求解；（2）分别求出两种方案的运费，再进行比较，即可求解．【详解】（1）解：答：这天仓库的原料比原来减少了9吨；（2）解：方案一：（元），方案二（元）∵，∴方案二运费少，选择方案二比较合适．21．（8分）（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】根据题干提供的信息列式计算即可．【详解】（1）解：．（2）解：．22．（8分）（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问：(1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？(2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？(3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？【答案】(1)最重的瓜比最轻的瓜重斤(2)该班采购的个哈密瓜的总重量为斤(3)按原价购买这个瓜需付元，此次购买省了元【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．（1）用最重的减去最轻的即可；（2）实际总重量等于10个瓜的标准质量加上10个瓜与标准质量的差的总和；（3）用总重量乘以单价可得原总价，再计算活动时的总价，两者相比较即可求出省了多少元．【详解】（1）解：（1）答：最重的瓜比最轻的瓜重0.85斤；（2）解：答：该班采购的10个哈密瓜的总重量为斤；（3）活动前总价：活动时总价：此次购买省了：答：按原价购买这10个瓜需付元，此次购买省了元．23．（10分）（25-26六年级上·山东泰安·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”．【初步探究】(1)直接写出计算结果：________，=________．(2)关于除方，下列说法错误的是（

）A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；B．对于任何正整数n，；C．D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．=________；=_________；=_______(4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于．(5)算一算：【答案】(1)(2)C(3)，，(4)(5)【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果；（2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断；（3）观察例题得到规律，一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，按规律得到结果；（4）根据定义写出答案即可；（5）根据圈a的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果.【详解】（1）解：，．故答案为：，4．（2）解：，，由于，，其它三个选项均正确，所以选项错误，故选：C．（3）解：；；；故答案为：；；；（4）解：的圈次方，故答案为：；（5）解：．24．（10分）（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下：解：小红发现：，，，……于是有：原式．(1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来：；②兴趣小组的同学根据这一规律，发现：；(2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果；(3)请利用前面的思想方法计算：．【答案】(1)①；②；(2)；(3)．【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键．（1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果；（2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算；（3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算．【详解】（1）解：①，故答案为：；②，故答案为：；（2）解：；（3）解：．25．（12分）（2025七年级上·重庆·专题练习）数形结合思想是常用的数学思想，数轴帮我们把点和数对应起来，是利用数形结合思想解决问题的有效工具．学习完七年级上册前4章后，爱思考的三位同学想“玩转”数轴．(1)小梅的玩法关键字是“折”：把数轴以点C为折点对折，使点A和点B重合．已知点A，B表示的数分别为a，b．若a，b满足，则折点C表示的数为_______；(2)小溪的玩法关键字是“添”：在小梅的基础上，在A，B两点各添加一块挡板，在C点添加一块减速板，动点M在A，B之间来回运动，遇到挡