北师大版数学 第2章 有理数及其运算（知识串讲+热考题型+真题训练） 同步练习 含答案

第二章有理数及其运算【考点1】正负数【考点2】相反意义的量表示【考点3】有理数的概念辨析【考点4有理数的分类【考点5】数轴的三要素和画法【考点6】用数轴上的点表示有理数【考点7】利用数轴比较有理数的大小【考点8】数轴上两点之间的距离【考点9】数轴上点的平移(动点)【考点10】相反数的概念

【考点11】相反数的性质运用【考点12】绝对值定义

【考点13】绝对值的几何意义【考点14】非负性的性质

【考点15】有理数大小比较【考点16】有理数的加减运算【考点17】有理数乘除法运算【考点18】有理数的乘方【考点19】有理数混合运算【考点20】科学记数法

【考点21】近似数的表示【考点22】有理数的实际应用【考点23】程序流程图与有理数计算【考点24】算“24”点知识点1：正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。知识点2：有理数（1）概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。（2）分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（3）应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。（注意不带“+”“—”号）知识点4：相反数（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。（3）多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点5:绝对值（1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）（2）代数意义一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0（3）代数符号意义：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。（4）性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数。即±a。（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝01.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（6）比较大小2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。知识点6：加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。知识点7：加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知识点8：减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b知识点9：乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。知识点10：除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。知识点11：倒数（1）定义：的两个数互为倒数。（2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为.知识点12：乘法运算定律（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知识点13：乘方法则运算（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0知识点14：混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。知识点15：科学记数法和近似数1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－12.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位。（2）保留几个有效数字注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。注：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3。（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。【考点1】正负数1．（2025·贵州·一模）下列各数中，正数是（

）A．-2 B．-1 C．0 D2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）下列四个数中，是负数的是（

）A．-4 B．0 C．1 D．3．（23-24七年级上·广东汕头·期末）下列有理数中-4，2，13，-3，10，-1，A．3 B．4 C．5 D．6【考点2】相反意义的量表示1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）在生产生活中，正数和负数都有现实意义.例如收入20元记作+20元，则支出10元记作（）A．+10元 B．-10元 C．±10元 D．-2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）规定：→2表示向右移动2记作+2，则←3表示向左移动3，记作（

）A．+3 B．-3 C．-133．（2025·内蒙古·中考真题）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利100元记作+100元，则亏损200元应记作（

）A．+200元 B．-200元 C．+100元 D．-4．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）如果把116分的成绩记为+16分，那么95的成绩记为分．【考点3】有理数的概念辨析1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数227，-3.14，π，-0.4，0.7，0.A．6 B．5 C．4 D．32．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在-π，0，-2，0.1414，3.14％，22A．6个 B．5个 C．4个 D．3个3.（24-25七年级上·四川眉山·期末）观察下面六个数，-1.732，π，3.14，67%，56，3.1212212221……（两个1A．2 B．3 C．4 D．5【考点4有理数的分类1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面的说法中，正确的是（

）A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和小数统称有理数2．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）6，-3，2.4，-34，0，-3.14，29，+2，-31(1)正数：{__________________________…}；(2)非负整数：{________________________…}；(3)整数：{__________________________…}；(4)负分数：{___________________________…}．3.．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内．-3,正数集合：                                               正有理数集合：       整数集合：                                               分数集合：                                               4．（24-25七年级上·广东东莞·期中）有理数a、(1)a+b______0，abc______0，b-a______0；填（“>”或(2)如果a、c互为相反数，则a(3)计算：aa5．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材复习题1变式]教材上有这么一段话“若A1，A2分别是有理数x1，x2在数轴上对应的两点，我们就把x1，x2叫作A1，A2(1)对照数轴，填写下表：x6-2-x40--A，B两点的距离(2)请说出x-2和(3)求x+1(4)当x+1+x【考点5】数轴的三要素和画法1．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（

）A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下图中是数轴的为（

）A．

B．

C．

D．

【考点6】用数轴上的点表示有理数1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上点A表示的数是（

）A．-3 B．-2 C．-12.（2025·山西·一模）如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数可能是下列四个数中的（

）A．-3 B．-1 C．2 D3．（2025·广东深圳·二模）如图，数轴上的下列四点中，最可能表示-12的点是（A．点A B．点B C．点C D．点D【考点7】利用数轴比较有理数的大小1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数a、b在数轴上的对应点如图所示，则a、b、-a、-b的大小关系是（A．-b<aC．a<-b<-2．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）如图，若点A、B、C在数轴上所对应的数分别为a、b、c，则下列大小关系正确的是（

）A．a<b<-c B．b<-c按照从小到大的顺序排列，正确的是（

）A．a<-b<C．-b<a【考点8】数轴上两点之间的距离1．（24-25七年级上·河南周口·期末）在数轴上点A，点B分别表示数是-8、6，则数轴上到点A、点B距离相等的点表示的数为（

A．0 B．-2 C．2 D．2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）数轴上点A与点B相距3个单位，若点B表示-2，则点A表示的数是3．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）若数轴上的点A表示的数为-1，则到A的距离为2个单位长度的点所表示的数为【考点9】数轴上点的平移(动点)1．（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是-2，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（

A．3 B．-7 C．3或-7 D．52．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（

）A．1 B．1或-1 C．5或-5 D．4【考点10】相反数的概念1．（25-26七年级上·湖南·期中）-2025的相反数是（

A．2025 B．-12025 C．-20252．（24-25七年级上·湖北十堰·阶段练习）下列两个数互为相反数的是（

）A．++3与3 B．--3与-3 C．-+3与-

【考点11】相反数的性质运用1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3bA．-8 B．-5 C．-12．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）若a、b互为相反数，则a+b-A．-2 B．0 C．2 D．3．（22-23七年级上·山东日照·期中）已知a+4与2互为相反数，那么a=【考点12】绝对值定义1．（2025·西藏·中考真题）18的绝对值是（

）A．18 B．-18 C．118 D2．（25-26七年级上·湖北·阶段练习）-233．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算：+-34．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知a=-3，a=b，则b【考点13】绝对值的几何意义1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上与原点的距离等于4的点表示的数是（

）A．4 B．-4 C．4或-4 D2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是（

）A．-0.8 B．-3.6C．+2.5 D．+0.9【考点14】非负性的性质1．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）若a-3与b-A．8 B．-8 C．0 D．8或2．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若a-1+2-b=03．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）如果a-1+b+24．（23-24七年级上·河南漯河·期末）已知x-2024+y【考点15】有理数大小比较1．（2025九年级·宁夏·专题练习）下列各数中，比-3A．1 B．0 C．-2 D．2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）在4，-5，1，-2四个有理数中，比-7A．4 B．-5 C．1 D．3．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）比较大小：--213--213（填“<【考点16】有理数的加减运算

1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）冰箱冷冻室的温度为-5℃，此时房间内的温度为16℃A．-21℃ B．-11℃ C．11℃ D2．（23-24七年级上·河北保定·期中）定义新运算符号“⊕”如下：a⊕b=a-b3．（22-23七年级上·四川资阳·期中）计算(1)-20+-14(3)-【考点17】有理数乘除法运算1．（24-25七年级上·四川内江·期中）简便计算(1)23-52．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算(1)79-56+3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题．1113×4．．．．．．(1)由上述式子的规律，计算：11×2(2)类比以上式子的规律，计算：11×3(3)类比第（1）题，计算：1【考点18】有理数的乘方1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）下列各组数中，相等的是(

)A．-72与-72 B．∣-7∣2与-72 C．2．（24-25七年级上·广西桂林·期中）计算：-3．（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料：求值：1+3+3解：设S=1+3+将等式两边同时乘3，得3S②-3所以S=请你仿照此法计算：(1)1+3+3(2)1+5+5【考点19】有理数混合运算1．（24-25七年级上·河南信阳·期中）计算：(1)-5÷37×42．（24-25七年级上·福建泉州·期中）计算：(1)(-5)+(-2)+(+9)-(-17)；(2)(-5)23．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算：(1)-20+-14(3)-【考点20】科学记数法1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）某公司2024年第一季度创收3200000元，数3200000用科学记数法可记为（

）A．32×105 B．3.2×106 C．2．（25-26七年级上·全国·期中）2024年内蒙古某地煤炭产量约为9860000吨，将9860000用科学记数法表示（

）A．9.86×105 B．98.6×105 C．【考点21】近似数的表示1．（24-25七年级上·海南海口·期中）关于近似数1.08×107的精确度说法正确的是（A．精确到千分位 B．精确到万位 C．精确到十万位 D．精确到千位2．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（

）．A．0.5与0.50精确度相同 B．1.56×10C．1.30×103精确到了百分位 D．【考点22】有理数的实际应用1．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期中）某水果店销售香蕉，前一天未卖完的香蕉会有部分由于不新鲜而损耗，未损耗的水果第二天继续销售，当天结束时，若库存较前一天减少．则记为负数，若库存较前一天增多，则记为正数．10月1日至10月5日的经营情况如下表：日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日购进（千克）5545505050库存变化（千克）4--2-损耗（千克）141221(1)10月3日卖出香蕉千克．(2)问卖出香蕉最多的一天是哪一天？(3)这五天经营结束后，库存是增加了还是减少了？变化了多少？2．（24-25七年级上·河北保定·期中）出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米）-2，+5，-1，+10，-3，-2，(1)小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？(2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．而小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午盈利多少钱？3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，人均消费为50元．日期（10月）1日2日3日4日5日6日7日人数变化单位：万人+0.7+0.9+0.6--+0.2-(1)10月4日的游客人数为万人；(2)七天内游客人数最多的是10月日，游客人数为万人；(3)求该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是多少万元？4．（24-25七年级上·福建宁德·期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5--+13-+10-(1)根据记录可知前四天共生产______辆；(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆；(3)该厂实行按天计件工资制，每生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【考点23】程序流程图与有理数计算1.下图是一个计算程序，若输入的值为-1，则输出的结果应为（

A．7 B．11 C．13 D．92.如图，小李同学设计了一个计算程序．如果输入的数是1，那么最后输出的结果是．3.根据流程图中的程序，若输入x的值为2，则输出的值为．4.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2024次输出的结果为．【考点24】算“24”点1.在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，-6，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是2.以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式：=24．3.算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为．4.有一种叫做“24点”的游戏，其游戏规则是这样的：将4个绝对值为1至13之间的数进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可以加括号），使其结果为24．例如，1，2，3，4可做运算1+2+3×4=24．现有4个有理数3，4，-6，10，运用上述规则，写出一个的算式，使其结果为

第二章有理数及其运算【考点1】正负数【考点2】相反意义的量表示【考点3】有理数的概念辨析【考点4有理数的分类【考点5】数轴的三要素和画法【考点6】用数轴上的点表示有理数【考点7】利用数轴比较有理数的大小【考点8】数轴上两点之间的距离【考点9】数轴上点的平移(动点)【考点10】相反数的概念

【考点11】相反数的性质运用【考点12】绝对值定义

【考点13】绝对值的几何意义【考点14】非负性的性质

【考点15】有理数大小比较【考点16】有理数的加减运算【考点17】有理数乘除法运算【考点18】有理数的乘方【考点19】有理数混合运算【考点20】科学记数法

【考点21】近似数的表示【考点22】有理数的实际应用【考点23】程序流程图与有理数计算【考点24】算“24”点知识点1：正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。知识点2：有理数（1）概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。（2）分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（3）应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。（注意不带“+”“—”号）知识点4：相反数（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。（3）多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点5:绝对值（1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）（2）代数意义一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0（3）代数符号意义：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。（4）性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数。即±a。（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝01.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（6）比较大小2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。知识点6：加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。知识点7：加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知识点8：减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b知识点9：乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。知识点10：除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。知识点11：倒数（1）定义：的两个数互为倒数。（2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为.知识点12：乘法运算定律（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知识点13：乘方法则运算（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0知识点14：混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。知识点15：科学记数法和近似数1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－12.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位。（2）保留几个有效数字注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。注：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3。（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。【考点1】正负数1．（2025·贵州·一模）下列各数中，正数是（

）A．-2 B．-1 C．0 D【答案】D【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解题的关键，正数都大于0，负数都小于0，0既不是正数也不是负数．根据正数都大于0，注意判断即可．【详解】解：A、-2<0，是负数，故AB、-1<0，是负数，故BC、0既不是正数也不是负数，故C错误D、1>0，是正数，故D正确．故选：D．2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）下列四个数中，是负数的是（

）A．-4 B．0 C．1 D．【答案】A【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，据此即可解答．【详解】解：∵-4<0，1>0，3>0∴这四个数中，是负数的是-4故选：A3．（23-24七年级上·广东汕头·期末）下列有理数中-4，2，13，-3，10，-1，A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题考查的是有理数中正数的定义，熟练掌握正数的定义是解题关键；正数指的大于0，根据定义逐一分析判断即可．【详解】解：2，13，10这3个数是正数，0故选：A【考点2】相反意义的量表示1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）在生产生活中，正数和负数都有现实意义.例如收入20元记作+20元，则支出10元记作（）A．+10元 B．-10元 C．±10元 D．-【答案】B【分析】本题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：“正”和“负”相对，所以，在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作+20元，则支出10元记作-10故选：B．2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）规定：→2表示向右移动2记作+2，则←3表示向左移动3，记作（

）A．+3 B．-3 C．-13【答案】B【分析】本题考查了正数和负数．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对，据此求解即可，【详解】解：如果→2表示向右移动2，记作+2，则←3表示向左移动3，记作-3故选：B．3．（2025·内蒙古·中考真题）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利100元记作+100元，则亏损200元应记作（

）A．+200元 B．-200元 C．+100元 D．-【答案】B【分析】本题考查利用正负数表示具有相反意义的量，需根据题意确定相反意义的量及其符号表示即可．【详解】解：若盈利100元记作+100元，则亏损应用负数表示，亏损200元应记作-200故选：B．4．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）如果把116分的成绩记为+16分，那么95的成绩记为分．【答案】-【分析】本题考查了正数与负数的应用．由题意可得100分为基准点，从而可得出95分的成绩表示．【详解】解：∵把116分的成绩记为+16分，∴100分为基准点，故95分的成绩记为-5故答案为：-5【考点3】有理数的概念辨析1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数227，-3.14，π，-0.4，0.7，0.A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，求解即可．【详解】解：在227，-3.14，π，-0.4，0.7有理数有：227，-3.14，-0.4，0.7，0.1故选：B．2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在-π，0，-2，0.1414，3.14％，22A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】B【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义判断解答即可．【详解】解：根据题意，有理数是0，-2，0.1414，3.14％，227故选：B．3.（24-25七年级上·四川眉山·期末）观察下面六个数，-1.732，π，3.14，67%，56，3.1212212221……（两个1A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据有理数定义：“整数和分数统称为有理数”进行解答即可．【详解】解：在-1.732，π，3.14，67%，56，3.1212212221……（两个1之间的2的个数依次逐渐增加）中，有理数有-1.732，3.1故选：C．【考点4有理数的分类1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面的说法中，正确的是（

）A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和小数统称有理数【答案】C【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．根据有理数的分类进行判断即可．【详解】解：A、正有理数、0和负有理数统称为有理数，故本选项错误；B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误；C、整数和分数统称为有理数，故本选项正确；D、整数包括零，故本选项错误；故选：C．2．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）6，-3，2.4，-34，0，-3.14，29，+2，-31(1)正数：{__________________________…}；(2)非负整数：{________________________…}；(3)整数：{__________________________…}；(4)负分数：{___________________________…}．【答案】(1)6，2.4，29，+2，(2)6，0，+2(3)6，-3，0，+2，(4)-34，-3.14，【分析】本题主要考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．（1）大于0的数叫正数；（2）非负整数包括正整数和零；（3）整数包括正整数、0、负整数；（4）在正数前面加“-”的分数．【详解】（1）正数：6，2.4，29，+2，（2）非负整数：6，0，+2（3）整数：6，-3，0，+2，（4）负分数：-34，-3.14，3.．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内．-3,正数集合：                                               正有理数集合：                                               整数集合：                                               分数集合：                                               【答案】12, π, 【分析】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类．根据正数、正有理数、整数、分数的定义即可解答．【详解】解：正数集合：1正有理数集合：1整数集合：-分数集合：  4．（24-25七年级上·广东东莞·期中）有理数a、(1)a+b______0，abc______0，b-a______0；填（“>”或(2)如果a、c互为相反数，则a(3)计算：aa【答案】(1)<，<，>；(2)-1(3)1．【分析】（1）根据a、b、c在数轴上的位置即可求解；（2）根据相反数的定义即可求解；（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解；本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：由数轴可知：a<0<b<∴a+b<0，abc故答案为：<，<，>；（2）解：∵a、∴a+c=0∴ac故答案为：-1（3）解：由数轴可知：a<0<∴a==-1+1+1=1．5．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材复习题1变式]教材上有这么一段话“若A1，A2分别是有理数x1，x2在数轴上对应的两点，我们就把x1，x2叫作A1，A2(1)对照数轴，填写下表：x6-2-x40--A，B两点的距离(2)请说出x-2和(3)求x+1(4)当x+1+x【答案】(1)2，6，12，0(2)x-2的意义为表示数x的点与表示数2的点的距离；x+1的意义为表示数x(3)3(4)4【分析】此题主要考查了绝对值的几何意义和应用，解答此题的关键是要明确x-a既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与（1）根据两点距离公式进行求解即可；（2）根据绝对值的几何意义进行求解即可；（3）根据绝对值的几何意义进行求解即可；（4）根据绝对值的几何意义进行求解即可．【详解】（1）解：6-4=2,故答案为：2，6，12，0；（2）解：x-2的意义为表示数x的点与表示数2的点的距离；x+1的意义为表示数（3）解：x+1+x-2为表示数x的点到表示数2与数-1的点的距离之和，当表示数x的点在表示数2的点与表示数-1（4）解：根据题意可知，x+1+x-4+x-9为表示数x的点到表示数-【考点5】数轴的三要素和画法1．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（

）A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数【答案】C【分析】本题考查了数轴，根据数轴上表示数的特点即可求解，熟练掌握数轴上表示数的特点是解题的关键．【详解】解：原点和原点右边的点表示的数是非负数，故选：C．2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下图中是数轴的为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题考查了数轴的定义，解题的关键是熟记数轴的三要素．根据“数轴是规定了原点、单位长度和正方向的直线”，即可求解．【详解】解：A、有原点和正方向，没有单位长度，所以该选项不正确，不符合题意；B、正、负数的位置反了，所以该选项不正确，不符合题意；C、没有规定正方向，所以该选项不正确，不符合题意；D、有原点、单位长度和正方向，所以该选项正确，符合题意．故选：D．【考点6】用数轴上的点表示有理数1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上点A表示的数是（

）A．-3 B．-2 C．-1【答案】B【分析】本题主要考查了有理数与数轴．直接观察数轴，即可求解．【详解】解：数轴上点A表示的数是-2故选：B2.（2025·山西·一模）如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数可能是下列四个数中的（

）A．-3 B．-1 C．2 D【答案】A【分析】根据点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，比较解答即可.本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键.【详解】解：根据题意，得点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，故该数可能是-3故选：A.3．（2025·广东深圳·二模）如图，数轴上的下列四点中，最可能表示-12的点是（A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C【分析】本题考查的是数轴，正数和负数，根据数轴的概念和数轴上各点的分布即可得出答案．【详解】解：由数轴可知，在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数，∵-12<0，则在原点的左侧，位于-∴最可能表示-12的点是点故选：C．【考点7】利用数轴比较有理数的大小1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数a、b在数轴上的对应点如图所示，则a、b、-a、-b的大小关系是（A．-b<aC．a<-b<-【答案】B【分析】本题考查了用数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，熟练掌握数轴上点的特点是解本题的关键．根据有理数a、b在数轴上对应的点的位置可知：a<0<b，且【详解】解：由题意可知：a<0<b，且∴a<-故选：B．2．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）如图，若点A、B、C在数轴上所对应的数分别为a、b、c，则下列大小关系正确的是（

）A．a<b<-c B．b<-c【答案】B【分析】本题考查了有理数的大小比较，相反数的含义，把-a【详解】解：由题意可知，b<0<c<如图所示，把-a∴-a故选：B．3.（24-25七年级上·天津南开·期中）数轴上表示数a,b的点如图所示，把a，A．a<-b<C．-b<a【答案】A【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小是解题的关键．由数轴可知a<-【详解】解：由数轴可知a<-故选：A．【考点8】数轴上两点之间的距离1．（24-25七年级上·河南周口·期末）在数轴上点A，点B分别表示数是-8、6，则数轴上到点A、点B距离相等的点表示的数为（

A．0 B．-2 C．2 D．【答案】D【分析】本题主要考查数轴上中点表示的数．根据题意利用求中点数公式即可得到本题答案．【详解】解：∵点A，点B分别表示数是-8、6∴到点A，点B距离相等的点表示的数：-8+6故选：D．2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）数轴上点A与点B相距3个单位，若点B表示-2，则点A表示的数是【答案】1或-【分析】本题考查了数轴，分类讨论：点B在A点左边，则点A表示的数为-2+3；若点B在A点右边，则点B表示的数为-【详解】解：∵点B表示-2，点B与点A相距3若点B在A点左边，则点B表示的数为-2+3=1若点B在A点右边，则点B表示的数为-2-3=-5即点B表示的数为1或-5故答案为：1或-53．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）若数轴上的点A表示的数为-1，则到A的距离为2个单位长度的点所表示的数为【答案】-3或【分析】本题主要考查了数轴，数轴上的点，两点间的距离等知识点，到点A的距离等于2个单位长度的点可以在A的左边，也可以在A的右边，据此求解即可，熟练掌握数轴上的点和两点间的距离是解决此题的关键．【详解】解：在数轴上，点A所表示的数为-1，那么到点A的距离等于2个单位长度的点所表示的数是-1-2=-3或故答案为：-3或1【考点9】数轴上点的平移(动点)1．（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是-2，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（

A．3 B．-7 C．3或-7 D．5【答案】C【分析】此题是考查数轴的认识．点A为数轴上表示-2的点，即点A在原点左边表示2个单位长的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，有两种情况：一是向右移动；二是向左移动．若向右移动，移动5个单位长度时，到原点右边表示3个长度单位的点，即3，若向左移动5个单位，B点在原点左边7个单位长度的点，即-【详解】解：点A为数轴上表示-2的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为3或-故选：C．2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（

）A．1 B．1或-1 C．5或-5 D．4【答案】D【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可．【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：-1和1∵点A向左移动5个单位后到达点B，∴点A表示的数是4或6，故选：D．【考点10】相反数的概念1．（25-26七年级上·湖南·期中）-2025的相反数是（

A．2025 B．-12025 C．-2025【答案】A【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键，根据相反数的定义直接进行判断即可．【详解】解：∵相反数是指绝对值相等，符号不同的两个数，∴-2025的相反数是2025，故选：A．2．（24-25七年级上·湖北十堰·阶段练习）下列两个数互为相反数的是（

）A．++3与3 B．--3与-3 C．-+3与-【答案】B【分析】先对每个选项中的数进行化简，再根据相反数的定义判断两个数是否互为相反数．本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．【详解】解：∵+(+3)=3，3与3不互为相反数，∴选项A不符合；∵-(-3)=3，3与-∴选项B符合；∵-(+3)=-3，-3与∴选项C不符合；∵+(-3)=-3，-3与-∴选项D不符合．故选：B．

【考点11】相反数的性质运用1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3bA．-8 B．-5 C．-1【答案】C【分析】根据a，b互为相反数，可得a+b=0，c的倒数是4，可得c【详解】∵a，b互为相反数，∴a+∵c的倒数是4，∴c=∴3a+3b-4故选：C【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得a+b=0，2．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）若a、b互为相反数，则a+b-A．-2 B．0 C．2 D．【答案】C【分析】根据互为相反数的两数之和等于0，可得a+【详解】解：∵a、b互为相反数，∴a∴a故选C．【点睛】本题考查了互为相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两数之和等于0是解题的关键．3．（22-23七年级上·山东日照·期中）已知a+4与2互为相反数，那么a=【答案】-【分析】根据相反数的定义求解即可．【详解】解：∵a+4与2∴a+4+2=0∴a=-6故答案为：-6【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键．【考点12】绝对值定义1．（2025·西藏·中考真题）18的绝对值是（

）A．18 B．-18 C．118 D【答案】A【分析】该题考查了绝对值，根据一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，求解即可．【详解】解：18的绝对值是18，故选：A．2．（25-26七年级上·湖北·阶段练习）-23【答案】2【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可求解．【详解】解：-2故答案为：233．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算：+-3【答案】3【分析】本题考查绝对值的计算，解题的关键是理解绝对值的定义和运算规则．先计算括号内的运算，再根据绝对值的定义求出结果．【详解】+(-3)=-3，|-3|=3，故答案为：3．4．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知a=-3，a=b，则b【答案】±3【分析】本题考查绝对值运算及意义，先由a=-3，a=b【详解】解：∵a=-3，a∴b∴b故答案为：±3．

【考点13】绝对值的几何意义1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上与原点的距离等于4的点表示的数是（

）A．4 B．-4 C．4或-4 D【答案】C【分析】本题围绕数轴上点到原点的距离与绝对值的几何意义，需利用“数轴上数a到原点的距离为a”推导.【详解】解：数轴上，点到原点的距离等于该点对应数的绝对值.设所求数为x，则距离条件可表示为：∣x故x=4或x故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，掌握“数轴上数a到原点的距离为∣a∣”2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是（

）A．-0.8 B．-3.6C．+2.5 D．+0.9【答案】A【分析】本题考查了正数和负数，以及绝对值的意义，根据绝对值最小的最接近标准，可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵-0.8=0.8，-3.6=3.6，∴0.8<0.9<2.5<3.6，∴最接近标准质量的是-0.8故选：A．【考点14】非负性的性质1．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）若a-3与b-A．8 B．-8 C．0 D．8或【答案】A【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的应用，求代数式的值；根据题意，得a-3+b-5【详解】根据题意，得a-∴a-∴a=3,∴a+故选：A.2．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若a-1+2-b=0【答案】5【分析】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．根据非负数的性质求出a，b，代入代数式求值即可．【详解】解：∵a∴a-1=0解得a=1，b∴a故答案为：5．3．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）如果a-1+b+2【答案】1【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到a-1=0，b+2=0【详解】解：∵a-1+∴a-∴a-∴a=1∴a+故答案为：1．4．（23-24七年级上·河南漯河·期末）已知x-2024+y【答案】1【分析】本题考查绝对值的非负性，根据非负性求出x,【详解】解：∵x-∴x-∴x=2024,∴yx故答案为：1．

【考点15】有理数大小比较1．（2025九年级·宁夏·专题练习）下列各数中，比-3A．1 B．0 C．-2 D．【答案】D【分析】本题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较方法是解答本题的关键．根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：∵1是正数，-3∴1>-3，0>-3，∴选项A、B不符合题意，∵-3<0，-2<0，∴-2>-3∴选项C不符合题意，∵-4<0，-3<0，∴-4<-3∴选项D符合题意．故选：D．2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）在4，-5，1，-2四个有理数中，比-7A．4 B．-5 C．1 D．【答案】B【分析】此题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：∵-5∴-5<-∴比-72小的数是故选：B．3．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）比较大小：--213--213（填“<【答案】<【分析】本题考查了化简多重符号，先化简--213=-213【详解】解：--21∴-2即--故答案为：<【考点16】有理数的加减运算

1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）冰箱冷冻室的温度为-5℃，此时房间内的温度为16℃A．-21℃ B．-11℃ C．11℃ D【答案】D【分析】本题考查了有理数的减法应用，根据题意列出算式16--5【详解】解：依题意，16--即房间内的温度比冰箱冷冻室的温度高21℃故选：D．2．（23-24七年级上·河北保定·期中）定义新运算符号“⊕”如下：a⊕b=a-b【答案】6【分析】本题考查了新运算法则和有理数运算，掌握新运算法则是解题的关键．根据新运算列出算式，然后根据有理数的加减法法则计算即可．【详解】解：由a⊕3⊕-故答案为：6．3．（22-23七年级上·四川资阳·期中）计算(1)-(2)-(3)-【答案】(1)-(2)3(3)-【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算：（1）根据有理数的加减混合运算法则计算，即可求解；（2）根据有理数的加减混合运算法则计算，即可求解；（3）先把原式变形为-5-56【详解】（1）解：-=-20-14+18-13=-29；（2）解：-=-10+=38（3）解：-=-5-==0+=-1【考点17】有理数乘除法运算1．（24-25七年级上·四川内江·期中）简便计算(1)2(2)-【答案】(1)23(2)-【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数乘法分配律，是解题的关键．（1）根据有理数乘法分配律进行计算即可；（2）逆用乘法分配律进行计算即可．【详解】（1）解：2==-16+20+21-2=23；（2）解：-=7×===-66．2．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算(1)79(2)-45÷【答案】(1)11(2)-【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．（1）利用有理数的乘法分配律求解即可；（2）首先将除法转化成乘法，然后计算即可．【详解】（1）解：7==28-30+27-14=-2+13=11；（2）解：-=-45÷=-45×=-54．3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题．1113×4．．．．．．(1)由上述式子的规律，计算：11×2(2)类比以上式子的规律，计算：11×3(3)类比第（1）题，计算：1【答案】(1)9(2)10(3)11【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键；（1）根据题中所给运算拆分方法进行求解即可；（2）根据题中所给的运算拆分方法进行求解即可；（3）根据（1）（2）中的规律进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得：1=1-=1-=9（2）解：由题意得：1====10（3）解：由（1）（2）规律可得：1====11【考点18】有理数的乘方1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）下列各组数中，相等的是(

)A．-72与-72 B．∣-7∣2与-72 C．【答案】C【分析】本题考查绝对值和乘方运算，根据绝对值和乘方运算的法则计算后即可比较得到答案．【详解】A、∵-∴-72≠-B、∵∣-7∴∣-7∣2≠-C、∵-7∴-73=-D、∵∣-7∣3∴∣-7∣3≠-故选：C．2．（24-25七年级上·广西桂林·期中）计算：-【答案】-【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握乘法的运算法则是解题的关键，按有理数的乘方运算法则运算即可．【详解】原式=-1+5+(-8)-2=-6．3．（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料：求值：1+3+3解：设S=1+3+将等式两边同时乘3，得3S②-3所以S=请你仿照此法计算：(1)1+3+3(2)1+5+5【答案】(1)3101(2)52025【分析】（1）将等式两边同时乘以3求出3S，相减之后再除2（2）将等式两边同时乘以5求出5S，相加之后再除4本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，理解题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．【详解】（1）解：设S=1+3+将等式两边同时乘3，得3S②-3S所以S=（2）解：设S=1+5+将等式两边同时乘5，得5S②-5S所以S=【考点19】有理数混合运算1．（24-25七年级上·河南信阳·期中）计算：(1)-5(2)-1【答案】(1)1；(2)-1【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，含乘方的有理数的混合运算．（1）将除法变为乘法，再约分计算即可求解．（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．【详解】（1）解：-=5×=1．（2）解：-=-1-=-1-=-1+=-12．（24-25七年级上·福建泉州·期中）计算：(1)(-5)+(-2)+(+9)-(-17)；(2)(-5)2【答案】(1)19(2)-【分析】本题考查了有理数的混合运算．(1)先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可；(2)先算乘方，再算乘除法，最后算加法即可．【详解】（1）解：(-5)+(-2)+(+9)-(-17)=(-5)+(-2)+9+17=19；（2）解：(-5)=25×=-15+(-8)×=-15+10=-5．3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算：(1)-(2)25÷5×(3)-【答案】(1)0(2)4(3)-【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟记“先乘方再乘除后加减，有括号优先去括号”是解题关键．（1）根据有理数的加减法则直接计算即可；（2）先将除法运算转化为乘法运算，再使用乘法运算法则计算即可；（3）根据先乘方再乘除后加减运算法则计算即可．【详解】（1）解：-=-20-14+18+13+3=0（2）解：25÷5×=25×=25×=（3）解：-=-8-=-8+=-【考点20】科学记数法1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）某公司2024年第一季度创收3200000元，数3200000用科学记数法可记为（

）A．32×105 B．3.2×106 C．【答案】B【分析】本题主要考查科学记数法的概念，掌握科学记数法的形式：a×10n（1≤a<10且n科学记数法：a×10n1≤a<10，n的取值方法：把原数变为a时，当原数的绝对值大于等于10时，小数点向左移动位数即为【详解】解：3200000=3.2×10故选：B．2．（25-26七年级上·全国·期中）2024年内蒙古某地煤炭产量约为9860000吨，将9860000用科学记数法表示（

）A．9.86×105 B．98.6×105 C．【答案】C【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，准确确定a与n值是关键．根据科学记数法表示较大的数的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为正整数；确定n的值时，要看把原【详解】解：9860000=9.86×故选：C．【考点21】近似数的表示1．（24-25七年级上·海南海口·期中）关于近似数1.08×107的精确度说法正确的是（A．精确到千分位 B．精确到万位 C．精确到十万位 D．精确到千位【答案】C【分析】本题考查了近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．根据近似数的精确度求解即可．【详解】解：近似数1.08×107还原后为故选：C．2．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（

）．A．0.5与0.50精确度相同 B．1.56×10C．1.30×103精确到了百分位 D．【答案】B【分析】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数；近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般的，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．根据近似数的取法，逐项进行分析判断即可．【详解】解：A、0.5精确到十分位，0.50精确到百分位，则0.5与0.50B、1.56×108=156000000，则6C、1.30×103=1300，则3后的第一个0D、3.5万=35000，则5在千位上，因此3.5万精确到了千位，此选项不符合题意．故选：B．【考点22】有理数的实际应用1．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期中）某水果店销售香蕉，前一天未卖完的香蕉会有部分由于不新鲜而损耗，未损耗的水果第二天继续销售，当天结束时，若库存较前一天减少．则记为负数，若库存较前一天增多，则记为正数．10月1日至10月5日的经营情况如下表：日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日购进（千克）5545505050库存变化（千克）4--2-损耗（千克）141221(1)10月3日卖出香蕉千克．(2)问卖出香蕉最多的一天是哪一天？(3)这五天经营结束后，库存是增加了还是减少了？变化了多少？【答案】(1)46(2)卖出香蕉最多的一天是10月5日(3)库存减少了，减少了7千克【分析】题目主要考查有理数的加减运算及正负数的应用，理解题意，列式计算是解题关键．（1）根据题意列式计算即可；（2）分别求出每一天卖出的量，即可得出结果；（3）根据题意直接列式计算即可．【详解】（1）解：根据题意得：50-(-8)-12=46（千克），故答案为：46．（2）10月1日卖出的香蕉55-4-1=50（千克），10月2日卖出的香蕉45-(-2)-4=43（千克），10月3日卖出的香蕉50-(-8)-12=46（千克），10月4日卖出的香蕉50-2-2=46（千克），10月5日卖出的香蕉50-(-3)-1=52（千克），∴卖出香蕉最多的一天是10月5日；（3）4+(-2)+(-8)+2+(-3)=-7，答：库存减少了，减少了7千克．2．（24-25七年级上·河北保定·期中）出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米）-2，+5，-1，+10，-3，-2，(1)小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？(2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．而小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午盈利多少钱？【答案】(1)在出发地南8千米(2)小王这天下午盈利46.8元【分析】本题考查了正数和负数，注意不论正数还是负数，都耗油，计算路程耗油时要加绝对值．（1）根据正数大于0，负数小于0，可判断小王在下午出车的出发地的什么方向，距下午出车的出发地多远；（2）根据收入与支出的差，大于0盈利，小于0亏损．【详解】（1）解：-2+5-1+10-3-2-5+6=-13+21=+8答：小王在下午出车的出发地的南面，距下午出车的出发地8千米；（2）解：10+10+2×2-234×0.3×6=61.2元，108-61.2=46.8元，答：小王这天下午盈利46.8元．3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，人均消费为50元．日期（10月）1日2日3日4日5日6日7日人数变化单位：万人+0.7+0.9+0.6--+0.2-(1)10月4日的游客人数为