3.1 相似多边形（第1课时） 课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第三章图形的相似3.1相似多边形第1课时成比例线段与相似多边形北师大版·数学·九年级上册（2024新教材）2026—2027学年——从今天起，我们走进「相似」的世界1/18情境引入：找一找，哪些图形形状相同？第三章图形的相似两张邮票两张照片两个三角板观察思考：（1）每组两个图形，它们的形状相同吗？（2）它们的大小相同吗？（3）你能用数学语言描述它们的关系吗？形状相同！但大小不一样这就是——相似图形2/18形状相同的图形：放大与缩小第三章图形的相似形状相同而大小不同的两个平面图形：•较大的图形可以看成由较小的图形「放大」得到；•较小的图形可以看成由较大的图形「缩小」得到。缩小放大关键：在放大/缩小过程中，对应线段被按相同比例变化。→所以，我们可以用「对应线段长度的比」来描述形状相同图形的大小关系。3/18一、两条线段的比第三章图形的相似定义：选用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别为m、n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB:CD=m:n或写成ABCD=mn其中，AB叫做比的前项，CD叫做比的后项。若把比值记为k，则ABCD=k，即AB=k·CD。也就是说：两条线段的比，实质上就是两个数的比。注意！①必须先统一单位！②比有顺序，不能颠倒！③比值是一个没有单位的正数。4/18练一练：求线段的比第三章图形的相似例1五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB=5cm，A′B′=3cm，求AB:A′B′。解：AB:A′B′=5:3ABCDEAB=5A′B′C′D′E′A′B′=3按比例缩小思考：若AB=8cm，CD=2dm，则AB:CD=？2dm=20cm，要统一单位！8∶20=2∶55/18二、成比例线段第三章图形的相似做一做：设每个小方格边长为1，四边形ABCD中，AB=8，AD=4；四边形EFGH中，EF=4，EH=2。计算下列比值，你发现了什么？AB∶EF=84=2，AD∶EH=42=2成比例线段的定义：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab=cd，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（也可以说成「这四条线段成比例」）顺序很重要！即：a、b、c、d成比例⟺a∶b=c∶d（顺序不能乱！）6/18例2判断下列线段是否成比例第三章图形的相似判断下列各组线段是否是成比例线段（单位统一为cm）：（1）a=4，b=8，c=5，d=10；解：先排顺序→4，5，8，10最小×最大=4×10=40，中间两数乘积=5×8=40，相等✓所以a、c、b、d成比例（即a∶c=b∶d）。（2）a=2，b=√5，c=√15，d=4√3；解：排顺序→2，√5，√15，4√3最小×最大=2×4√3=8√3中间两数=√5·√15=√75=5√3≠8√3✗所以这四条线段不成比例。方法：一化二排三算四判①统一单位②从小到大排③最小×最大vs中间×中间7/18三、比例的基本性质第三章图形的相似如果ab=cd（b、d≠0），那么ad=bc；反过来，如果ad=bc（a、b、c、d≠0），那么ab=cd。通俗记忆：交叉相乘相等——「内项积=外项积」a:b=c:d中，b、c是内项，a、d是外项。a:b=c:d外项内项内项外项太有用了！以后解比例方程就靠它8/18例3矩形绸布裁剪问题第三章图形的相似如图，一块矩形绸布长AB=am，宽AD=1m，按图裁成三面相同的小矩形彩旗，使每面彩旗的宽与长的比等于原绸布的宽与长的比，即AE∶AD=AD∶AB，求a的值。AB=aAD=1AE解：由题意：AB=am，AD=1m，AE=a÷3m=(frac{a}{3})m由AEAD=ADAB得a÷31=1a交叉相乘：(a÷3)·a=1·1，即a²÷3=1所以a²=3，a=√3（舍去负根）答：a的值为√3米。这种矩形就是我们常说的「√3矩形」。9/18四、相似多边形的概念第三章图形的相似观察下图两个形状相同的五边形：ABCDEA′B′C′D′E′形状相同思考：（1）两个多边形中，是否有相等的内角？（2）夹相等内角的两边是否成比例？两个条件必须同时满足！10/18相似多边形的定义第三章图形的相似相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形，叫做相似多边形。相似用符号「∽」表示，读作「相似于」。例如：五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′⚠记两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上！相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。例如：若ABCDE∽A′B′C′D′E′，且AB∶A′B′=1∶2，则相似比k=12。相似比有顺序！反过来是2∶111/18相似多边形的性质第三章图形的相似性质1：对应角相等若多边形ABCDEF∽多边形A′B′C′D′E′F′，则∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，∠E=∠E′，∠F=∠F′。性质2：对应边成比例即ABA′B′=BCB′C′=CDC′D′=DED′E′=EFE′F′=FAF′A′=k判一判：①两个矩形一定相似吗？②两个菱形一定相似吗？（提示：矩形角都是直角但邻边比不一定相等；菱形边都相等但角不一定对应相等）答案：都不一定！必须两角+两边都满足12/18例4相似多边形求未知边与角第三章图形的相似如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知角α和未知边x、y。AB(77°)C(83°)D(117°)1815yA′B′C′D′(α)1210x解：相似比k=18∶12=3∶2①对应角相等：α=360°−77°−83°−117°=83°②对应边成比例：18∶12=15∶x=y∶10=3∶2；由18∶12=15∶x得x=10；由18∶12=y∶10得y=15。对应！对应！字母位置要看清13/18议一议：哪些图形一定相似？第三章图形的相似图形组是否一定相似理由两个正三角形✓一定相似角都是60°，边都相等，边比相等两个正方形✓一定相似角都是90°，边都相等，边比相等两个矩形✗不一定角都是90°，但邻边比不一定相等两个菱形✗不一定边比相等，但角不一定对应相等两个等腰三角形✗不一定顶角不一定相等，形状可能不同两个等腰直角三角形✓一定相似角都是90°、45°、45°，边比1∶1∶√2口诀：各角相等+各边成比例，两个条件缺一不可！14/18随堂练习第三章图形的相似1.判断下列四条线段是否成比例：（1）a=2cm，b=4cm，c=3m，d=6m；（2）a=0.8，b=3，c=1，d=2.4。2.地图比例尺1∶10000，量得A、B图上距离为5cm，则实际距离是多少？3.两个相似多边形一组对应边分别为3cm和4.5cm，则相似比为多少？4.若四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=70°，∠B=80°，∠F=80°，∠H=120°，求∠G。（在练习本上完成，稍后请同学上台展示）5分钟独立完成15/18课堂小结第三章图形的相似一、两条线段的比同一长度单位下两条线段长度的比；比有顺序；单位要统一。二、成比例线段四条线段a、b、c、d满足a∶b=c∶d时，称为成比例线段；比例基本性质：a/b=c/d⇔ad=bc（交叉相乘相等）。三、相似多边形各角分别相等，各边成比例的两个多边形；相似用「∽」表示；相似多边形对应角相等、对应边成比例，对应边之比叫相似比。这节课的核心就是两个字：「比例」16/18拓展思考第三章图形的相似问题：将一张矩形纸片沿长边对折，得到两个小矩形，若小矩形长边与短边的比等于原矩形长边与短边的比，求原矩形长边与短边之比。原矩形对折后小矩形提示：设长边为a，短边为b，列比例式a∶b=b∶(a÷2)，这就是著名的