1.2 矩形的判定（第2课时）教学课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形矩形的判定1.2矩形的性质与判定（第2课时）ABCDO北师大版·九年级数学上册1/24学习目标与本课学习路线学习目标①经历矩形判定方法的探究过程，理解三种判定方法各自的来由②掌握三种判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形，并能写出对应的几何语言③能根据题设图形是四边形还是平行四边形，选择恰当的判定方法，完成判定与计算的综合问题本课学习路线复习矩形的定义与性质探究平行四边形活动框架判定方法一：定义法判定方法二：三个角是直角判定方法三：对角线相等方法对比、例题与巩固练习课堂小结与课后作业北师大版·九年级数学上册2/24一、复习引入与探索活动01本环节要点回顾矩形的定义与三条性质，为判定做铺垫用平行四边形活动框架做操作实验，观察角与对角线的变化北师大版·九年级数学上册3/24回顾：矩形的定义与性质定义有一个角是直角的平行四边形是矩形性质①矩形的对边平行且相等②矩形的四个角都是直角③矩形的两条对角线相等且互相平分追问把性质的条件与结论交换位置，得到的逆命题能否作为判定矩形的依据？ABCDO矩形ABCD：四个角都是直角，对角线AC=BD北师大版·九年级数学上册4/24探索活动：拉动平行四边形活动框架操作如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。观察设相邻两边所夹的角为∠α。随着∠α由小变大，两条对角线的长度分别怎样变化？当两条对角线的长度相等时，平行四边形具有什么特征？猜想①当∠α=90°时，平行四边形变成矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形。αABCDACBD北师大版·九年级数学上册5/2402二、判定方法（一）：有一个角是直角的平行四边形是矩形定义既是矩形的“样子”，也是判定矩形的第一条依据。用定义法判定时，必须先说明四边形是平行四边形。北师大版·九年级数学上册6/24判定方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形文字表述有一个角是直角的平行四边形是矩形几何语言∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形。说明平行四边形的一组对边平行，只要有一个角是直角，与它相邻的角也依次是直角。所以，矩形一定是四个角都是直角。∠ADC=90°ABCD北师大版·九年级数学上册7/24条件辨析：两个条件缺一不可反例如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，但AB与CD不平行，它不是矩形，说明「有一个角是直角」对任意四边形并不充分。结论用定义法判定矩形，必须先说明四边形是平行四边形，再指出其中一个角是直角；两个条件缺一不可。对照教材随堂练习中「有一个角是直角的四边形是矩形」这一说法是错的，理由就是缺少「平行四边形」这个前提。∥∥∠A=90°ABCD北师大版·九年级数学上册8/24三、判定方法（二）：有三个角是直角的四边形是矩形03本环节要点把矩形「四个角都是直角」这一性质反过来，写成逆命题逐步减少直角的个数，看几个直角就足以确定一个矩形北师大版·九年级数学上册9/24思考·交流：一个四边形至少有几个角是直角性质与逆命题矩形的四个角都是直角。逆命题：如果一个四边形的四个角都是直角，那么这个四边形是矩形。讨论一个四边形至少有几个角是直角时，它就是矩形？请证明你的结论，并与同伴交流。观察与猜想①只有∠A=90°时，其余三个角可以任意改变，形状不唯一；②∠A=∠B=90°时，形状仍不唯一；③∠A=∠B=∠C=90°时，由同旁内角互补可得两组对边分别平行，形状被唯一确定。猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。ABCD∠A=90°，一个直角其余三个角可变，形状不唯一。ABCD∠A=∠B=90°，两个直角仍不能唯一确定形状。ABCD∠A=∠B=∠C=90°，三个直角两组对边分别平行，形状唯一确定。北师大版·九年级数学上册10/24判定方法二的证明已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。求证：四边形ABCD是矩形。（按教材格式：已知—求证—证明）证明∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC。同理，由∠B=∠C=90°得∠B+∠C=180°，∴AB∥CD。∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。点评关键是把「三个直角」转化为「两组对边平行」，先得到平行四边形，再回到矩形的定义，这也是新定理与定义之间的联系。ABCD∠A=90°∠B=90°∠C=90°∠A=∠B=∠C=90°→四边形ABCD是矩形北师大版·九年级数学上册11/24判定方法二：有三个角是直角的四边形是矩形定理有三个角是直角的四边形是矩形几何语言∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形。提醒题设是「四边形」，不必先证明它是平行四边形，这是它比定义法更直接的地方；但只有两个角是直角时不能判定。ABCD∠A=90°∠B=90°∠C=90°∠A=∠B=∠C=90°→四边形ABCD是矩形北师大版·九年级数学上册12/24第一章特殊平行四边形·1.2矩形的性质与判定（第2课时）四、判定方法（三）：对角线相等的平行四边形是矩形04本环节要点把矩形“对角线相等”的性质反过来猜想用三角形全等证明猜想成立北师大版·九年级数学上册13/24思考：对角线的变化与猜想观察活动框架随着∠α的变化，两条对角线的长度随之变化；当∠α逐渐接近90°时，两条对角线的长度逐渐接近相等。追问当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？猜想对角线相等的平行四边形是矩形∠α变化时，两条对角线的长度随之变化∠αABCDO两条对角线相等时，成为矩形ABCDO北师大版·九年级数学上册14/24判定方法三的证明已知：如图，在□ABCD中，AC、DB是它的两条对角线，AC=DB。求证：□ABCD是矩形。证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC。又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ABC=∠DCB。∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=∠DCB=½×180°=90°，∴□ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。点评：条件里的“平行四边形”提供了一组对边平行且相等，这是证明两个三角形全等的依据；最后仍要回到矩形的定义。如图，在□ABCD中，AC=DBABCDO△ABC≌△DCB（SSS）北师大版·九年级数学上册15/24判定方法三：对角线相等的平行四边形是矩形定理对角线相等的平行四边形是矩形几何语言∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形。提醒题设中的“是平行四边形”不能丢；直接说“对角线相等的四边形是矩形”是错的，它缺少了「对角线互相平分」这个前提。□ABCD中AC=BDABCDO北师大版·九年级数学上册16/2405五、方法对比·例题与巩固练习本环节要点对比三种判定方法的题设与条件，理清选择依据完成例题与随堂练习，体会“先判定、再计算”的解题链北师大版·九年级数学上册17/24三种判定方法的对比与选择判定矩形先要分清题设图形是四边形还是平行四边形方法题设条件结论方法一平行四边形有一个角是直角矩形方法二四边形有三个角是直角矩形方法三平行四边形对角线相等矩形选择原则题设是任意四边形时，只能用“有三个角是直角”；题设是平行四边形时，可用“有一个角是直角”或“对角线相等”；若已知对角线互相平分，可先说明它是平行四边形，再用方法一或方法三。判定路径四边形平行四边形平行四边形矩形有三个角是直角有一个角是直角对角线相等北师大版·九年级数学上册18/24例2先判定矩形，再用勾股定理求面积题目：如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积。解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD。又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∴OA=OB=OC=OD=4，∴AC=BD=2OA=2×4=8，∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）。在Rt△ABC中，由勾股定理得AB²+BC²=AC²，即4²+BC²=8²，∴BC=√(AC²−AB²)=√(8²−4²)=√48=4√3。∴S□ABCD=AB·BC=4×4√3=16√3。思路小结：先由对角线相等判定矩形，再用勾股定理求边长与面积ABCDOAB=4OA=OB=4△ABO是等边三角形，AB=4AC=BD=8，∠ABC=90°北师大版·九年级数学上册19/24巩固练习（一）：辨析与填空辨析的关键：看题设给的是“四边形”还是“平行四边形”第1题下列判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；×题设是四边形，缺少“平行四边形”的条件（2）四个角都相等的四边形是矩形；√四个角相等即都是直角，由判定方法二可知是矩形（3）对角线相等的四边形是矩形；×题设是四边形，缺少“平行四边形”的条件（4）对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形；√对角线互相平分说明它是平行四边形，再由有一个角是直角判定第2题（填空）如图，（1）当______时，□ABCD是矩形。（填AC=BD）（2）当______时，四边形ABCD是矩形。（填∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°）ABCDO答案（1）AC=BD（2）∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°北师大版·九年级数学上册20/24巩固练习（二）：证明题题目（教材P14随堂练习·第3题）如图，在□ABCD中，M是边AD的中点，且MB=MC。求证：四边形ABCD是矩形。证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC。又∵M是AD的中点，∴MA=MD。在△ABM和△DCM中，∵AB=DC，MB=MC，MA=MD，∴△ABM≌△DCM（SSS），∴∠A=∠D。又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形。方法提示题设中出现“平行四边形”时，优先考虑“有一个角是直角”或“对角线相等”；本题用两直线平行、同旁内角互补求出直角，最简捷。ABCDM图：□ABCD中M为AD中点，MB=MC北师大版·九年级数学上册21/2406六、课堂小结与课后作业用判定路径图归纳三种方法的题设与条件布置必做、选做与动手操作三类作业北师大版·九年级数学上册22/24课堂小结四边形平行四边形矩形有三个角是直角有一个角是直角对角线相等方法提醒题设是任意四边形时，只能用“有三个角是直角”；题设是平行四边形时，可用“有一个角是直角”或“对角线相等”；若已知对角线互相平分且相等，可先说明它是平行四边形，再判定为矩形。思想方法判定与性质互为逆命题，研究图形判定时，通常先