2026-2027学年福建省龙岩市龙岩第一中学高二上学期第一次月考数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列是等差数列，，则（）A.19 B.51 C.69 D.872.若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（）A. B.C. D.3.已知数列的通项公式为，则80是该数列的（）A.第8项 B.第7项 C.第6项 D.第5项4.我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（）A.24里 B.36里 C.48里 D.60里5.已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（）A. B.2 C. D.6.在数列中，，，则（）A. B. C. D.7.已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（

）A. B. C. D.8.已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使数列一定为递减数列的条件是（）A. B.C. D.10.已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（）A. B.数列为周期数列C.数列为单调递增数列 D.数列为常数列11.(多选)若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（）A.B.是奇数C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知各项均为正数的等比数列中，，为函数的两个零点，则______．13.已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________14.已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设为等差数列的前n项和，是正项等比数列，且.在①，②，③这三个条件中任选一个，回答下列问题：（1）求数列和的通项公式；（2）如果，写出的关系式，求满足不等式的的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.16.已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值．17.一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列.（1）求，，并写出与的递推关系式；（2）求数列的通项公式，并求出的最大值.18.已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前2026项和．19.定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列.（1）若，证明:数列是数列；（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；（3）设数列，问数列是否是数列？请说明理由.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列是等差数列，，则（）A.19 B.51 C.69 D.87答案：B解析：解答过程：因为，所以，则.2.若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：逐项计算前4项判断即可.解答过程：对于A，，，，，A可能.对于B，，，，，B可能.对于C，，，，，C可能.对于D，，，，故D不可能.3.已知数列的通项公式为，则80是该数列的（）A.第8项 B.第7项 C.第6项 D.第5项答案：A解析：解答过程：令，得，解得，或（舍去）.4.我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（）A.24里 B.36里 C.48里 D.60里答案：B解析：思路：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，利用等比数列求和公式解得，利用等比数列的通项公式可得．解答过程：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，．所以此人第4天和第5天共走了里，故选B．方法提示：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.5.已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（）A. B.2 C. D.答案：D解析：解答过程：因为，，所以，故是周期为3的周期数列，且，所以.6.在数列中，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可.解答过程：因为，所以．因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以，所以．7.已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（

）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，数列单调递减，，所以，即，解得.8.已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先利用等差数列前项和的性质求得数列的通项公式与前项和，再按为奇数、偶数分类讨论，分离参数后求解对应函数的最值，即可确定的取值范围.解答过程：由题意得：，所以，由得：，所以，又，所以，所以，由得，当为正奇数时，，所以对任意恒成立，令，又，即，所以数列在正奇数集上单调递减，所以，所以，当为正偶数时，，所以对任意恒成立，令，又，所以，所以数列在正偶数集上单调递增，所以，所以，所以，所以的取值范围为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使数列一定为递减数列的条件是（）A. B.C. D.答案：CD解析：思路：对A，B，当时，则等比数列是摆动数列，可判断；对C，D，由可判断.解答过程：若，则等比数列是摆动数列；若，则等比数列是常数列；当且时，由.对于A，若，当时，则等比数列是摆动数列，故A错误；对于B，若，当时，则等比数列是摆动数列，故B错误；对于C，当时，，即，等比数列是递减数列，故C正确；对于D，当时，，即，等比数列是递减数列，故D正确.故选：CD.10.已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（）A. B.数列为周期数列C.数列为单调递增数列 D.数列为常数列答案：AC解析：思路：根据给定函数式求出，求出的范围判断A；利用周期数列、递增数列、常数列的意义判断BCD.解答过程：依题意，，，对于A，，则，A正确；对于BCD，显然，则，即恒成立，因此数列为单调递增数列，不是周期数列，也不是常数列，C正确，BD错误.故选：AC11.(多选)若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（）A.B.是奇数C.D.答案：ABD解析：思路：对于A列出前9项即可判断；找出奇偶三循环规律，计算2026除以3的余数判断奇偶得出B；C项通过裂项计算偶数项和，对比即得；D项通过结合扇形面积公式与平方和结论化简验证等式.解答过程：对于A，数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以，故A正确；对于B，将斐波那契数列从第一项起按每三个数分成一段，则在每一段中前两个为奇数，后一个为偶数，因为，所以是在第676段的第一个数，为奇数，故B正确；对于C，由，得，，…，，累加得，故C错误；对于D，由，得,因,则,所以，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知各项均为正数的等比数列中，，为函数的两个零点，则______．答案：##1.5解析：思路：利用根与系数的关系求出的值，结合等比数列的下标性质与对数的运算性质求解即可.解答过程：因为，为函数的两个零点，所以，是方程的两个正根，根据根与系数的关系可得.根据等比数列的性质，有，所以（负根舍去）.所以.13.已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________答案：解析：思路：先对递推式变形构造等差数列求出的通项，进而得到的通项，再分段计算的前15项和即可.解答过程：由题意得：，所以，所以，即，，所以数列是以首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以，所以，所以.14.已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________．答案：或解析：思路：假设经过适当排序后变成等差数列，依次讨论是等比中项的情况，结合公差即可求解.解答过程：由于经过适当排序后可成等差数列，不妨设这三个数为，其中公差，这三个数经过适当排序后也可成等比数列，则有：①当是等比中项时，则有，解得，这与矛盾，所以不是等比中项；②当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得，此时，这三个数分别为，由于这三个数是互不相同的实数，所以，而这三个数要构成等比数列，只有两种排序方式，即或，因此公比或；③当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得，此时，这三个数分别为，情况与②相同；综上所述，该等比数列的公比为或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设为等差数列的前n项和，是正项等比数列，且.在①，②，③这三个条件中任选一个，回答下列问题：（1）求数列和的通项公式；（2）如果，写出的关系式，求满足不等式的的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.答案：（1），（2），满足不等式的的最小值为7解析：思路：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据所选条件得到方程，求出、，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，即可得到、的关系，从而得到，解指数不等式即可求解.（1）若选①，，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解得或（舍去），则，.若选②，，设等差数列的公差为，等比数的公比为.因为，所以，解得，所以.又因为，所以，解得，所以.若选③，，设等差数列的公差为，等比数列的公比为.因为，则，解得，则，.（2）因为，所以，即，即，由，可得，所以，解得：，所以的最小值为.16.已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值．答案：（1）（2）1解析：（1）∵，∴当时，，两式相减得，∴当时，，当时，，满足上式，∴．（2）由（1）得，∴，∴，∵，∴，又因对，恒成立，故，得，∴实数的最小值为1．17.一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列.（1）求，，并写出与的递推关系式；（2）求数列的通项公式，并求出的最大值.答案：（1），，，（2），.解析：思路：（1）由题意可得，并得到，得到答案；（2）累加法得到，，也符合上式，所以.（1）由题意可知，.在第个快递站卸下件快递，同时装上件快递，则，所以，.（2）由（1）知，.可得，，也符合上式，所以.因为，故当时，的最大值为.18.已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前2026项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由递推关系求解数列的通项公式；（2）由及倒序相加求数列的和．（1）点均在函数的图象上，，当时，，即，当时，，满足上式，；（2），，，，①，又②，①②，得，．19.定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列.（1）若，证明:数列是数列；（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；（3）设数列，问数列是否