2026-2027学年福建省龙岩市重点中学高三上学期9月月考数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.复数的实部为（）A. B. C. D.3.若，则（）A. B. C. D.4.已知向量，满足，，，则（）A. B. C. D.5.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（）A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍6.已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（）A. B. C. D.7.某科研院校培育新品种西瓜，抽取新培育的西瓜10个，称出各西瓜的质量（单位：）如下：4.8，4.9，4.9，5.0，5.0，5.0，5.0，5.1，5.1，5.2．这10个西瓜中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有（）A.4个 B.6个 C.8个 D.10个8.四棱台的各顶点都在球的球面上，其上、下底面分别是边长为和的正方形，高为3，则球的体积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的图象关于点中心对称C.函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到D.函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到10.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A. B.的值域为C.当时， D.的解集为11.已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，，为上两点，且关于原点对称，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（）A.的取值范围为B.若，则直线的斜率为0C.若，则的离心率的取值范围为D.若，则，，，四点共圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的值域为______．13.已知点在双曲线：上，则点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为______．14.已知有穷整数数列共有项．若对任意的，在中存在，使得，则的最小值为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，平面，，，，．（1）若为的中点，证明：平面．（2）求二面角的正弦值．16.甲组与乙组进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目决出胜组、负组，胜组得20分，负组得10分．已知甲组在三个项目中得胜的概率依次为0.5，0.4，0.3，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲组得分比乙组得分高的概率；（2）用表示甲组的总得分，求的分布列与期望．17.在中，角的对边分别为，．（1）证明：．（2）若为钝角，，的面积为22，求．18.已知是抛物线：的焦点，是圆：上的动点，的最大值为．（1）求抛物线的方程．（2）过抛物线上一点作圆的两条切线，，切点分别为，．（ⅰ）若直线的斜率为1，求点的坐标；（ⅱ）求面积的最小值．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）证明：．（3）证明：对任意的，，有．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以；因为，所以；因为，所以；因为，所以.所以.2.复数的实部为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，其实部为3.3.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，可得，由诱导公式得：，所以.4.已知向量，满足，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由，可得，根据向量的数量积运算及模长公式求解即可.解答过程：，因为，所以，，解得.5.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（）A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍答案：B解析：解答过程：设训练个单位数据的时间为​，训练个单位数据的时间为​，由已知，得.根据对数运算性质，可得.由题意，，因此时间之比为：，

即前者所需时间是后者的3倍.6.已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据平行线之间的距离的定义，结合图形分析可知平行直线，间的距离的最大值为.解答过程：如图，平行直线，间的距离是直线上的点与直线上的点之间的距离的最小值，所以当直线，与直线垂直时，平行直线，间的距离最大，即，.所以这两条直线之间的距离的最大值为.7.某科研院校培育新品种西瓜，抽取新培育的西瓜10个，称出各西瓜的质量（单位：）如下：4.8，4.9，4.9，5.0，5.0，5.0，5.0，5.1，5.1，5.2．这10个西瓜中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有（）A.4个 B.6个 C.8个 D.10个答案：C解析：思路：首先计算10个西瓜质量的平均数为5.0，再计算方差为，标准差为，所以1倍标准差范围内为，找出范围内数据即可.解答过程：计算平均数为：，计算方差为：，则标准差为：，所以1倍标准差范围内为，有8个数据在范围内.8.四棱台的各顶点都在球的球面上，其上、下底面分别是边长为和的正方形，高为3，则球的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设点为下底面中心，为上底面中心，由题意得，，四棱台下底面中心到上底面的顶点距离，而下底面中心到下底面各顶点的距离也为5，故下底面中心为球心，外接球半径为5，因此球的体积为，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的图象关于点中心对称C.函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到D.函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到答案：ABD解析：思路：利用求出可判断A；利用代入检验法可判断B；根据三角函数的图象变换及诱导公式可判断CD.解答过程：对于A：由图象可得，即，因为，所以，解得，故A正确；对于B：由A知，，所以的图象关于点中心对称，故B正确；对于C：，所以的图象向左平移个单位长度得到的图象，故C错误；对于D：，所以的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D正确.10.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A. B.的值域为C.当时， D.的解集为答案：ABC解析：思路：根据奇函数性质可得，即可判断A；根据奇函数的定义求函数的解析式，即可判断C；作出函数的图象，结合图象判断BD.解答过程：因为函数是定义在上的奇函数，则，故A正确；且当时，，当时，则，可得，故C正确；所以，作出函数的图象，如图所示：可知的值域为，故B正确；的解集为，故D错误；故选：ABC.11.已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，，为上两点，且关于原点对称，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（）A.的取值范围为B.若，则直线的斜率为0C.若，则的离心率的取值范围为D.若，则，，，四点共圆答案：ACD解析：思路：利用椭圆的性质、中点坐标公式以及相关的几何关系进行推理和计算.解答过程：在A选项中，短轴端点到原点距离为，长轴端点到原点距离为，故，设，因为关于原点对称，则，已知，,分别为线段，的中点，根据中点坐标公式可得：，，则，因为在椭圆上，所以，即，则，其中，因为，则当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的取值范围为，A正确，在B选项中，若，则，即，因为，所以，此时直线的斜率不存在，B错误，在C选项中，若，则，即，又因为，所以，可得，因为，所以，即，由得，得，又因为，所以离心率，C正确，在D选项中，若，则，若以为直径圆，则，，圆心，半径，圆方程为，化简可得：，将代入可得：，即在圆上，同理，将代入可得：，即在圆上，而，也在圆上，所以，，，四点共圆，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的值域为______．答案：解析：思路：根据指数复合函数值域计算求解.解答过程：因为，，当时取最小值0．所以值域为.故答案为.13.已知点在双曲线：上，则点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为______．答案：解析：解答过程：双曲线：是焦点在轴上的双曲线，其中，，即，.焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，代入参数得渐近线为，即

和

.设双曲线上点的坐标为，根据点到直线的距离公式，得点到两条渐近线的距离分别为：​，.两个距离的乘积为：，​因为点在双曲线上，满足，等式两边同乘得，代入上式得.14.已知有穷整数数列共有项．若对任意的，在中存在，使得，则的最小值为_______．答案：3解析：思路：先根据数列连续子段总数判断：时子段数量不足，无法凑出六种和，故再构造三项数列，验证其所有连续子段和恰好覆盖，满足题意。因此的最小值为3.解答过程：①证明当时，数列仅有1个连续的子段，最多只能得到1个和，无法覆盖，不符合题意，当时，连续的子段共有3个，最多只能得到3个和，无法覆盖6个不同的数值，不符合题意，因此，②构造的例子，取数列为，：，：，：，：，：，：，综上，的最小值为3.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，平面，，，，．（1）若为的中点，证明：平面．（2）求二面角的正弦值．答案：（1）如图，的中点，连接，，在中，，分别为，的中点，∴且，又且，∴且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面．（2）解析：思路：（1）先构造平行四边形，再利用线面平行判定定理证明即可.（2）先取的中点，建立空间直角坐标系，再分别求出两个面的法向量，最后利用二面角的向量求法求解即可.（1）略.（2）取的中点为，连接，作，又已知平面，所以两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，可得，，，，，设平面的法向量为，则，取，则，设平面的法向量为，则，取，则，设平面与平面所成的角为，则，由同角三角函数的基本关系得，故二面角的正弦值为．16.甲组与乙组进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目决出胜组、负组，胜组得20分，负组得10分．已知甲组在三个项目中得胜的概率依次为0.5，0.4，0.3，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲组得分比乙组得分高的概率；（2）用表示甲组的总得分，求的分布列与期望．答案：（1）0.35；（2）分布列如下：304050600.210.440.290.06数学期望为．解析：思路：（1）设出事件，分四种情况进行求解，相加可得答案；（2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望（1）设甲组在三个项目中得胜的事件依次为，，，甲组得分比乙组得分高的概率．（2）的可能取值为30，40，50，60．，，，．的分布列为304050600.210.440.290.06．17.在中，角的对边分别为，．（1）证明：．（2）若为钝角，，的面积为22，求．答案：（1）因为，，，所以.因为，所以．因为,,所以.所以或（舍去），所以．（2）解析：思路：（1）利用正弦定理，对进行转换得即可证明.（2）作边上的高，利用面积可求出，再利用，在中建立方程即可求解.（1）略（2）在中，作边上的高．因为的面积为，，所以．设，则．，．，所以，化简得，解得（舍去）．，，即．18.已知是抛物线：的焦点，是圆：上的动点，的最大值为．（1）求抛物线的方程．（2）过抛物线上一点作圆的两条切线，，切点分别为，．（ⅰ）若直线的斜率为1，求点的坐标；（ⅱ）求面积的最小值．答案：（1）；（2）（ⅰ）或；（ⅱ）解析：思路：（1）根据的最大值得到方程，求出，得到抛物线方程；（2）（ⅰ）根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到直线的方程，联立可得点的坐标；（ⅱ）由三角形相似得到的面积，设，令，则，构造函数，，求导，得到函数单调性和最值．（1），圆的圆心为，半径．的最大值为，又因为，解得（舍去），所以抛物线的方程为．（2）（ⅰ）因为，直线的斜率为1，所以直线的斜率为，所以直线的方程为．由得或，所以或．（ⅱ）记与交于点．显然，故，，．的面积，设，则，当且仅当时，等号成立．令，则，令函数，，则，所以在上单调递增，，所以面积的最小值为．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）证明：．（3）证明：对任意的，，有．答案：（1）（