2026-2027学年四川省成都市蓉城联盟高三上学期开学数学试卷（含解析）

/数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.2.已知命题，则命题的否定为（）A.B.C.D.3.函数的最大值为（）A.−2 B.−4C.−6 D.−94.是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.不等式的解集为（）A.B.C.D.6.每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（摄氏度）有关，用模型（其中为自然对数的底数）拟合，引入中间变量，令，将原始数据进行变换，得到新的成对数据：23242526273.54556.5由上表可得经验回归方程，则等于（）A.−8B.C.−12.7D.7.已知在菱形中，，将菱形沿对角线翻折，使得二面角为直二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.当经验回归方程为时，变量和负相关B.样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强C.回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好D.回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好10.下列命题为真命题的是（）A.若且，则的最小值为8B.若且，则的最小值为9C.若，则的最小值为2D.若，且，则的最小值为211.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.抛物线上任意一点到点的距离最小值为B.若点为抛物线上的动点，点，则的最小值为C.若过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，且，则D.若过点的直线与抛物线交于，两点，则点在以为直径的圆内三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.(x+1)³的展开式中13.已知集合，，，D={x|x²−(m+2)x14.从正方体两个顶点连接所得的直线中，任取一对异面直线，其所成角为的概率为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.16.如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，，，点为线段的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求二面角的余弦值.17.青白江区城厢古镇为打造群众满意的旅游景区，大力开发旅游产业.（1）某部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是从接待游客中随机抽取的100位游客的满意度调查表，依据小概率值的独立性检验，分析游客对本地景区的满意度是否与报团游或自助游有关联；

报团游自助游合计满意303060不满意301040合计6040100附表：α0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828.（2）为安排好2026年6月份的游客接待工作，该部门统计了景区2026年1月份到5月份的接待游客人数（单位：万人），统计结果如下：月份12345接待游客人数（万人）122.534求样本相关系数的值（精确到0.01），请说明月份与接待游客人数之间线性相关的强弱；若线性相关强，求出关于的经验回归方程，并预测2026年6月份游客的人数.附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为：，；相关系数，.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，.（1）求椭圆的离心率；（2）设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标；（3）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.19.已知函数.（1）求函数的极值；（2）证明：；（3）若恒成立，求实数的取值范围.

数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.答案：D解析：思路：先确定集合A的具体元素，再结合元素与集合、集合与集合的关系符号逐一判断选项.解答过程：首先，自然数集包含，因此集合；选项A：不是自然数，不属于，故A错误；选项B：是集合之间的包含关系符号，是元素，不能用集合间的关系符号描述，故B错误；选项C：是元素与集合的从属关系符号，是集合，为集合，二者为集合与集合的关系，不能用连接，故C错误；选项D：因为，集合的所有元素都属于，根据子集的定义，可得，故D正确.2.已知命题，则命题的否定为（）A.B.C.D.答案：B解析：解答过程：根据存在量词命题的否定的结构形式可得.3.函数的最大值为（）A.−2 B.−4C.−6 D.−9答案：C解析：解答过程：因为，所以，.由基本不等式得：当且仅当，即，即.时，等号成立.因此，的最小值为.所以.故当时，函数取得最大值.4.是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：先解一元二次不等式再结合充分必要条件的定义判断求解.解答过程：因为，所以，所以是的充分不必要条件.5.不等式的解集为（）A.B.C.D.答案：B解析：解答过程：由，其中，所以，可得，故不等式的解集为.6.每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（摄氏度）有关，用模型（其中为自然对数的底数）拟合，引入中间变量，令，将原始数据进行变换，得到新的成对数据：23242526273.54556.5由上表可得经验回归方程，则等于（）A.−8B.C.−12.7D.答案：D解析：解答过程：因为，，因为，故，故，故即，故.7.已知在菱形中，，将菱形沿对角线翻折，使得二面角为直二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：建立空间直角坐标系，利用空间向量计算异面直线所成角的余弦值.解答过程：设菱形的边长为1，由，可得和均为边长为1的等边三角形.取中点，连接、，由等边三角形性质得，，故为二面角的平面角，由题意，该二面角为直二面角，故，即.以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，.设异面直线与所成角为，，则，即异面直线与所成角的余弦值为.8.如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：设切点为，求出切线方程，再将点代入，转化为和的图象有三个交点，利用导函数可求.解答过程：设切点为，因为，所以，则切线方程为，即，将代入得，因为切线恰有三条，所以方程有三个根，则和的图象有三个交点，因为，所以当或时，单调递减；当时，单调递增；则，即，则实数的取值范围为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.当经验回归方程为时，变量和负相关B.样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强C.回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好D.回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好答案：ABCD解析：思路：利用回归分析的相关定义和性质对各个选项逐一分析判断即可得到结果.解答过程：选项A，当经验回归方程为时，，变量和负相关，故选项A正确；选项B，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故B正确；选项C，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项C正确；选项D，因为决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故选项D正确.10.下列命题为真命题的是（）A.若且，则的最小值为8B.若且，则的最小值为9C.若，则的最小值为2D.若，且，则的最小值为2答案：ABD解析：思路：逐项利用基本不等式求最小值，并核对等号成立条件是否满足题设约束．解答过程：A、由，得当且仅当时等号成立．结合，得，故最小值为，A正确．B、由得，即因为，所以．令，则，于是当且仅当时等号成立，此时，故最小值为，B正确．C、由且，得．于是当且仅当时等号成立，此时，故最小值为，C错误．D、设．由及，得，且又所以即因为，所以．当时满足题设条件，且，故最小值为，D正确．11.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.抛物线上任意一点到点的距离最小值为B.若点为抛物线上的动点，点，则的最小值为C.若过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，且，则D.若过点的直线与抛物线交于，两点，则点在以为直径的圆内答案：CD解析：思路：A设出抛物线上点的坐标，用距离公式转化为二次函数求最值；B由定义把转化为点到准线的距离，再求距离之和的最小值；C联立直线与抛物线方程求出交点横坐标，用焦半径公式比较与；D设直线，联立后计算，由数量积的符号判断点与圆的位置关系.解答过程：A中，设为抛物线上任意一点，则，其中.因为.配方得，当时取得最小值，即的最小值为，不等于，A错误.B中，抛物线的焦点为，准线方程为.由抛物线的定义知等于点到准线的距离，所以，即折线的长度.点到准线的距离为，而折线长度不小于点到直线的距离，且当取过垂直于的直线与抛物线的交点时取到等号.故的最小值为，不等于，B错误.C中，焦点，倾斜角为的直线斜率为，其方程为.代入得，解得，.由焦半径公式，，所以，C正确.D中，设过点的直线方程为，代入得，其判别式恒大于零.设，，则，.因为..所以为钝角，即点在以为直径的圆内，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.(x+1)³的展开式中答案：3解析：思路：利用二项展开式的通项公式，计算得到对应项的系数即可.解答过程：根据二项式定理，的展开式通项为，其中，；对于，令，，，可得其展开式通项为，，令，解得，代入得项的系数为.13.已知集合，，，D={x|x²−(m+2)x答案：解析：思路：先求解得到集合的交集，再根据转化为，结合二次不等式的解集端点限制求出的取值范围.解答过程：是函数的定义域，要使根式有意义，需满足，解得，故；是函数的值域，由算术平方根的非负性得，故；则，由可得，即内的所有元素均满足集合的不等式.对二次式因式分解得，若，则，显然，不符合要求；若，则，显然，不符合要求；若，则，要使，需左端点.综上，实数的取值范围为.14.从正方体两个顶点连接所得的直线中，任取一对异面直线，其所成角为的概率为________.答案：解析：思路：利用四面体计算总异面直线对数，根据异面直线所成角为的情况仅出现在两条异面直线的面对角线之间，进而算出满足条件的异面直线对数，利用古典概型计算公式即可求解.解答过程：正方体8个顶点中任选两点得：条直线，用四面体计算异面直线对：从8个顶点中选4个：组，其中共面的4点组：6个表面个对角面组，不共面4点组：组(每组对应一个四面体），每个四面体有3对异面直线，总异面直线对数.异面直线所成角为的情况仅出现在两条异面直线的面对角线之间，正方体一共有12条面对角线，任取一条面对角线，有4条面对角线与其异面且夹角为，故满足条件的异面直线对数：，由古典概型.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.答案：（1）证明：因为，所以，即，当时，，所以是以1为首项，以2为公比的等比数列.（2）解析：（1）略.（2）由(1)得：，所以，所以.16.如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，，，点为线段的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求二面角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意得，再结合等体积法求解即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.（1）由圆柱性质知平面，，因为是下底面圆周上一点，是底面直径，所以为直角三角形，，所以，因为点为线段的中点，所以，因为三棱锥的高为，所以，体积（2）解：根据题意，以为原点，为轴，为轴，过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系。所以，平面即为底面，取平面的一个法向量。向量：，设平面的法向量，则，即令，解得，即，所以观察图形可知二面角为锐角，故余弦值取绝对值二面角的余弦值为17.青白江区城厢古镇为打造群众满意的旅游景区，大力开发旅游产业.（1）某部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是从接待游客中随机抽取的100位游客的满意度调查表，依据小概率值的独立性检验，分析游客对本地景区的满意度是否与报团游或自助游有关联；

报团游自助游合计满意303060不满意301040合计6040100附表：α0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828.（2）为安排好2026年6月份的游客接待工作，该部门统计了景区2026年1月份到5月份的接待游客人数（单位：万人），统计结果如下：月份12345接待游客人数（万人）122.534求样本相关系数的值（精确到0.01），请说明月份与接待游客人数之间线性相关的强弱；若线性相关强，求出关于的经验回归方程，并预测2026年6月份游客的人数.附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为：，；相关系数，.答案：（1）依据小概率值的独立性检验，推断游客对本地景区的满意度与出游方式有关联。（2）样本相关系数，月份与接待游客人数线性相关极强；经验回归方程为；预测2026年6月份游客人数为4.6万人。解析：思路：（1）由列联表计算，并与对应的临界值比较；（2）计算样本相关系数判断线性相关程度，再用最小二乘估计公式求经验回归方程，最后代入进行预测．（1）设游客对本地景区的满意度与出游方式无关联，由列联表得，所以因为所以依据小概率值的独立性检验，否定，推断游客对本地景区的满意度与出游方式有关联．（2）由题中数据得又，因此故月份与接待游客人数线性相关极强．经验回归方程斜率的最小二乘估计为截距为所以经验回归方程为当时，故预测2026年6月份接待游客人数约为万人．18.已知椭圆的左、右焦点分别为，.（1）求椭圆的离心率；（2）设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标；（3）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）（3）假设存在定点，使得的值为定值.当直线AB的斜率为0时，，当直线AB的斜率不存在时，，由，得到，且，接下来判