2026-2027学年四川省广元市某校高二上学期入学考试数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倒数是（）A.5 B. C. D.2.函数图象的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）A. B. C. D.4.下列说法正确的是（）A.要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式B.一组数据，它的中位数和众数都是C.投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定为次D.一组数据，它的方差是5.已知点都在反比例函数的图象上，那么的大小关系正确的是（）A. B.C. D.6.把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，得到抛物线，则的值是（）A.1 B.2 C.3 D.47.如图，半径为的的弦，且于，连结，若，则的值为（）A. B. C.1 D.8.如图，点在正方形网格的格点上，则等于（）A. B. C. D.9.已知点为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.如图，在矩形中，以B为圆心，长为半径画弧，交于点E．以E为圆心，长为半径画弧，与相切于点F．若，则图中阴影部分的面积为（）A. B.C. D.11.如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，四边形是正方形，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点在反比例函数的图象上，若正方形的面积为4，且，则的值为（）A.12 B.8 C.6 D.312.抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限内，其部分图象如图所示，给出以下判断：（1）；（2）；（3）；（4）直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为，，则，其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13.有四张完全一样正面分别标有字母A，B，C，D的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的字母为A和C的概率是__________．14.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的最小整数值为__________.15.如图，线段于点于点，点为线段上一动点，且以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则的长为__________.16.对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是________.三、解答题：（本题共7小题，共86分．）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解答下列各题：（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．18.某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？（2）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生．现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率．19.如图，是的直径，是的弦，点P是外一点，连接、、，．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，且，的半径为，求的长．20.如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人．（1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数；（2）假设每个甲型哨所的人数为m，请用含m的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的m的值．21.如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在x轴上，点，，斜边与反比例函数交于点．（1）求n，k的值；（2）若在该反比例函数上有一点G，过G作x轴的平行线，分别交，于点E，F．当时，求G点的坐标．22.已知是一元二次方程的两个实数根.（1）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）求使的值为整数的实数的整数值.23.如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（a，c为常数，）．（1）求顶棚抛物线的函数关系式；（2）小星想驾驶一辆高为3m，宽为2m的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？（3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚A，B之间抛物线上有两个点D和E（不与点A，B重合）．它们的横坐标分别为t，2t，连接，．设点A与点D之间部分（含点A和点D）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点A与点E之间部分（含点A和点E）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出t的值．

数学一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倒数是（）A.5 B. C. D.答案：C解析：思路：根据倒数定义可得.解答过程：由倒数定义可知，的倒数是.故选：C2.函数图象的顶点坐标是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：,故顶点坐标为.3.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，结合几何体的三视图的规则，逐项判定，即可求解.解答过程：对于A中，由圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，所以A不合题意；对于B中，由三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，所以B不合题意；对于C中，由正方体的三视图都是正方形，所以C符合题意；对于D中，由圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，所以D不合题意.故选：C.4.下列说法正确的是（）A.要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式B.一组数据，它的中位数和众数都是C.投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定为次D.一组数据，它的方差是答案：D解析：解答过程：对于A，要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故A错误，对于B，数据从小排到大为，它的中位数是，众数是和，所以B错误；对于C，投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数不一定为次，可能多于或少于50次，所以C错误，对于D，数据的平均数是2，各个数据与平均数的差都是，因此方差为，所以D正确.5.已知点都在反比例函数的图象上，那么的大小关系正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据反比例函数的的变化情况，即可比较大小.解答过程：，，是正数，反比例函数的图象位于第一三象限，且在每一个象限内随的增大而减小，都在反比例函数图象上，，.故选：C.6.把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，得到抛物线，则的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：由函数的平移变化可得，即可得出答案.解答过程：解：把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到：即：由题意可知：，，故选：B.7.如图，半径为的的弦，且于，连结，若，则的值为（）A. B. C.1 D.答案：B解析：思路：连接OA，OD，由弦，可得，继而可得，然后由圆周角定理，证得，即可判定，由，，可求得，继而可得是直角三角形，则可求得，由此可解决问题．解答过程：解：弦，，，，如图，连接，，，，，，，，故选：B.8.如图，点在正方形网格的格点上，则等于（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求出，和，由勾股定理可证明是直角三角形，再由，代入即可得出答案.解答过程：解：连接，点在格点上，如图所示：设每个小正方形的边长为，则，，，，是直角三角形，，故选：D.9.已知点为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：C解析：思路：分和，结合图象对选项一一判断即可得出答案.解答过程：解：，抛物线对称轴为直线，当点恰好关于对称时，有，，即，，抛物线的开口方向没有确定，则需要对进行讨论，故排除A，B；当时，抛物线的开口向下，此时距离直线越远，值越小；，，点距离直线较远，当时，抛物线的开口向上，此时距离直线越远，值越大；，，点距离直线较远，故C符合题意，D不符合题意.故选：C.10.如图，在矩形中，以B为圆心，长为半径画弧，交于点E．以E为圆心，长为半径画弧，与相切于点F．若，则图中阴影部分的面积为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：阴影部分由两块组成：左下角是正方形去掉以为圆心、为半径的四分之一圆；右上角是去掉弦与弧所夹的弓形.由以为圆心、为半径的弧与相切可先定出的长，再由勾股定理求.解答过程：如图，因为点为以点为圆心，以长为半径的弧与边的切点，则，又因为矩形，则，又以为圆心、为半径的弧交于点E，则.此时，.则左下阴影部分的面积：.再求右上阴影部分：因；弓形面积.所以.故阴影部分的总面积为.11.如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，四边形是正方形，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点在反比例函数的图象上，若正方形的面积为4，且，则的值为（）A.12 B.8 C.6 D.3答案：B解析：思路：先由正方形的面积得出边长，据此可设B，则E，根据点在反比例函数的图象上，得，求解即可.解答过程：解：正方形的面积为4，正方形的边长为2，.设点坐标为，则点坐标，点在反比例函数的图象上，，解得.故选：B.12.抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限内，其部分图象如图所示，给出以下判断：（1）；（2）；（3）；（4）直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为，，则，其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C解析：思路：由对称轴与过点可用待定系数法把，都用表示，再由顶点在第二象限确定的符号，逐条代入判断(1)(2)(3)；(4)转化为联立后一元二次方程的两根之和与两根之积来验证.解答过程：因为抛物线的对称轴是直线，所以，即.又图象过点，所以，得，则得.故顶点坐标为.因为顶点位于第二象限，所以，得，对于（1），因，，则，故（1）正确；对于（2），，故（2）错误；对于（3），，故（3）正确.对于（4），将代入，可得.依题意，，，于是，故（4）正确.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13.有四张完全一样正面分别标有字母A，B，C，D的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的字母为A和C的概率是__________．答案：解析：解答过程：总的抽取方式为从张中选2张的组合数，即成功的情况是抽到和，只有一种组合.因此，所求概率为成功情况除以总情况数：14.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的最小整数值为__________.答案：1解析：思路：根据二次函数的图象、单调性即可求解.解答过程：二次函数的对称轴为，开口向上,所以当时，随的增大而减小，又当时，随的增大而减小，所以，即的最小整数值为1.故1.15.如图，线段于点于点，点为线段上一动点，且以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则的长为__________.答案：1或3或8.解析：思路：由三角形相似，对应边成比例，列方程求的长.解答过程：设，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，①当时，，解得.②当时，，解得或，所以当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时，的长为1或3或8，故1或3或8.16.对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是________.答案：解析：思路：根据已知得出关于的方程组，求出，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围.解答过程：因为，所以，解得，所以，，因为不等式组恰有3个整数解，所以，故答案为.三、解答题：（本题共7小题，共86分．）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解答下列各题：（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．答案：（1）（2），解析：（1）原式.（2）原式，当时，原式.18.某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？（2）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生．现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用扇形图和条形图，即可求解；（2）根据条件，将问题转化成求不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率，再列出树状图，利用古典概率公式，即可求解.（1）因为（件），所以田老师抽查的四个班级共征集到作品15件．（2）恰好抽中一名男生、两名女生的概率，也即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率，不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下：共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种，所以恰好抽中一名男生、两名女生的概率为．19.如图，是的直径，是的弦，点P是外一点，连接、、，．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，且，的半径为，求的长．答案：（1）证明：连接，如图所示，是的直径，，，，，，，即，是的切线.（2）2.解析：（1）略（2）的半径为，，，，，，，，又，，，即，.20.如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人．（1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数；（2）假设每个甲型哨所的人数为m，请用含m的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的m的值．答案：（1）甲哨所有4人，则乙哨所有3人．（2），时，y有最大值为30，当时，y有最小值为18解析：思路：（1）根据题意，列出方程即可求解；（2）设六个哨所共有y人，根据一次函数的性质即可求解．（1）设甲哨所有x人，则乙哨所有人，则，解得：，，所以甲哨所有4人，乙哨所有3人．（2）设六个哨所共有y人，则：，因为一次函数，所以随的增大而减小，又，所以当时，y有最大值为30，当时，y有最小值为18．21.如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在x轴上，点，，斜边与反比例函数交于点．（1）求n，k的值；（2）若在该反比例函数上有一点G，过G作x轴的平行线，分别交，于点E，F．当时，求G点的坐标．答案：（1），．（2）解析：思路：（1）根据待定系数法求解即可；（2）设点G的坐标为，根据列出方程即可求解．（1），，．为等腰直角三角形，．．设的解析式为．，解得，∴直线的解析式为．当时，．．将点D代入，得．，．（2）由（1）可知，，∴反比例函数的解析式为．设点G的坐标为．当时，．，．，，整理，得．解得或（舍去）．．22.已知是一元二次方程的两个实数根.（1）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）求使的值为整数的实数的整数值.答案：（1）不存在，理由如下：假设存在实数，使得成立，一元二次方程的两个实数根，，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得，，但，不存在实数，使得成立.（2）解析：思路：（1）利用反证法先假设存在实数，使得成立，