2026-2027学年云南省曲靖市马龙区第一中学高三上学期开学检测数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知命题有些实数的相反数是正数，则是（）A. B. C. D.3.下列函数最小值为4的是（）A. B.C. D.4.设则的值为（）A.9 B.11 C.28 D.145.若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.6.设，，，则的最小值为（）A. B. C. D.37.大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（）（参考数据：）A. B. C. D.8.已知函数．记，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列不等式的解集不是的是（

）A. B. C. D.10.已知正数，满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为1C.的最大值为D.的最小值为11.已知函数均为定义在上的非常值函数，且为的导函数.对且，则（）A. B.为偶函数C. D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.不等式的解集是______．13.已知,则______．14.已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.已知集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.16.已知函数，.（1）求函数单调递增区间；（2）在中，，，的对边分别为，，，角满足，，，求的值.17.如图，已知四棱锥，底面，，，，，E为棱上靠近点P的三等分点．（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18.已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，.（1）求双曲线的标准方程；（2）若的面积为，求直线的方程.19.已知函数．（1）时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）证明不等式恒成立．

数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：化简集合，结合交集的概念即可得解.解答过程：因为，，所以.故选：B.2.已知命题有些实数的相反数是正数，则是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得.解答过程：已知有些实数的相反数是正数，即，则.故选：B3.下列函数最小值为4的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断．解答过程：选项A，时，，最小值不是4，A错；选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确；选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错．故选：B．4.设则的值为（）A.9 B.11 C.28 D.14答案：B解析：思路：结合分段函数，根据自变量的范围代入计算即可.解答过程.故选:B.5.若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得.解答过程：的定义域为，，因为函数在其定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以.故选：B6.设，，，则的最小值为（）A. B. C. D.3答案：C解析：思路：由不等式“1”的代换求解即可.解答过程：因为，所以，因为，，所以.当且仅当，即时取等.故选：C.7.大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（）（参考数据：）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据条件得到，，两式相比得到，又由和，得到，从而得到，即可求解.解答过程：由题知①，②，①②两式相比得到，所以③，当时，由④，②④得到，所以⑤，由⑤③，得到，解得.故选：C.8.已知函数．记，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.解答过程：令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列不等式的解集不是的是（

）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：根据一元二次不等式的求解方法逐个分析判断即可.解答过程：对于A，由，得，解得，所以A正确，对于B，由，解得或，所以B正确，对于C，，因为，所以不等式的解集为，所以C错误，对于D，，因为，所以不等式的解集为，所以D正确，故选：ABD10.已知正数，满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为1C.的最大值为D.的最小值为答案：AD解析：思路：利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.解答过程：对于A：由题意，，.所以，.当且仅当，即，，取等号，故A正确；对于B：，由（1）知，所以，即，故B不正确；对于C.所以，故C错误；对于D：，当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确.11.已知函数均为定义在上的非常值函数，且为的导函数.对且，则（）A. B.为偶函数C. D.答案：BCD解析：思路：选项A，根据条件，令，即可求解；选项B，利用选项A中结果，令，即可求解；选项C，令，得到，进而有，再利用选项B中结果，得到为奇函数，从而得出的周期为的周期函数，即可求解；选项D，令，得到，用代替得到，利用C中结果，两式相加，即可求解.解答过程：因为，且，对于选项A，令，得到，所以或，若，令，得到，得到，与题不合，所以，故选项A错误，对于选项B，由选项A知，令，得到，即，又的定义域为，所以选项B正确，对于选项C，令，得到，所以关于点中心对称，即，所以，又由选项B知，，得到，即，所以为奇函数，令，由，得到，则有，所以，即的周期为的周期函数，所以，故选项C正确，对于D，令，得到则①，用代替得到②，由①+②得，由选项C知，所以，故选项D正确.故选：BCD.方法提示：关键点点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导数的知识，抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，本题的关键在于选项C和D的判断，选项C解答的关键是根据题意采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，即可求解，选项D，通过赋值得到和，结合条件和对称性，即可求解.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.不等式的解集是______．答案：或解析：思路：由，可知，转化为不等式组求解即可.解答过程：因为，所以或，即或或或解得或，故或方法提示：本题主要考查了一元二次不等式的解法，一次不等式的解法，属于中档题.13.已知,则______．答案：1解析：思路：由,可得，利用对数的运算法则求解即可.解答过程：因为,所以，可得，故答案为1．方法提示：本题主要考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．14.已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________.答案：解析：思路：由题意可得只有一个解，从而可得，，设，利用导数求解即可．解答过程：依题意得与只有一个交点，即两曲线相切，则只有一个解，，化简得，将其代入得，，即，.，则，设，则，在单调递减，，的取值范围是.故方法提示：关键点点睛：由指对运算可得，进而可得，构造函数，由导数求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.已知集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）依题先求出A集合，再判断A、B集合的包含关系，即可得（2）先判断出是A的真子集，再考虑B是否为空集两种情况考虑（1）由题意知，因为，所以，则，解得，则实数的取值范围是；（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是A的真子集，当时，解得；当时，（等号不能同时取得），解得，综上，.16.已知函数，.（1）求函数单调递增区间；（2）在中，，，的对边分别为，，，角满足，，，求的值.答案：（1）和；（2）.解析：思路：（1）利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将函数化为，再利用正弦函数的单调区间整体代入即可求解.（2）根据题意求出，再利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解.解答过程：（1），由得，，又，取得函数单调递增区间为：和.（2）由得，∴，由余弦定理得得，∴，从而.方法提示：本题考查了两角和的正弦公式、辅助角公式、正弦函数的性质、余弦定理、三角形的面积公式，属于基础题.17.如图，已知四棱锥，底面，，，，，E为棱上靠近点P的三等分点．（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明:连接，记，连接，如下图：在梯形中，易知，则，由题意可得，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）由相似三角形可得线段比例，从而可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案；（2）由题意建立空间直角坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案.（1）略；（2）由题意易知两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，，设平面的法向量，则，令，则，所以平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则.18.已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，.（1）求双曲线的标准方程；（2）若的面积为，求直线的方程.答案：（1）（2）或解析：思路：（1）根据双曲线的离心率公式、通径公式以及双曲线中、、的关系列出方程组，求解出、的值，进而得到双曲线的标准方程.（2）先设出直线方程，然后联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到和，再根据三角形面积公式列出关于的方程，求解出的值，从而得到直线方程.（1）由题意可得解得，故双曲线的标准方程为.（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线.联立整理得，则，.因为的面积为，所以，即，整理得，即，即，解得，所以，故直线的方程为或19.已知函数．（1）时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）证明不等式恒成立．答案：（1）（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）证明：要证恒成立，即证恒成立，令，，由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以恒成立，即有时恒成立，当且仅当时取“=”号，亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号.所以一方面，当且