2026-2027学年浙江省杭州市学军中学高二上学期开学考试适应性数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系，点关于平面的对称点是（）A. B. C. D.2.已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据，，…，的平均数和方差分别为（）A.1，4 B.2，1 C.1，1 D.2，43.“点在函数图像上”是“点在函数图像上”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（）A.1 B.2 C.1或2 D.无解5.下列有关事件与概率的说法错误的是（）A.若，则B.若，则A与B不独立C.若A与B对立，则与互斥D.若，则A与B对立6.已知函数的图象向左平移（）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.7.春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.点心盒是长宽高分别为20cm，20cm，10cm的长方体，如果不考虑花结用绳，如图所示的捆扎方式，需要最短的用绳长度是（单位：cm）（）

A.120 B.100 C. D.8.已知实数满足，则（）A. B.C.的最大值为2 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则B.的最大值为C.存在，使得D.存在，使得在上的投影向量为10.关于复数，下列说法正确的是（）A.是实数 B.z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称C.若复数z满足，则 D.若，则11.已知边长为的个全等的菱形如图所示进行排列（其中，当时，与重合），其中，下面说法正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________．13.已知函数，若函数恰有1个零点，则实数的取值范围为__________.14.四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，，且．（1）求在上的投影向量的坐标；（2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．16.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果?（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.17.在中，，，．（1）求角A的大小；（2）求；（3）若线段AB上点D满足，求CD的长．18.如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角；（3）若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置.19.已知函数，（）．（1）若，求函数的值域；（2）若方程有两个不同的根，．（i）若，求实数的取值范围；（ii）证明：．

数学一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系，点关于平面的对称点是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：在空间直角坐标系中关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数.解答过程：在空间直角坐标系，关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数，所以P关于平面对称点是，故选:C2.已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据，，…，的平均数和方差分别为（）A.1，4 B.2，1 C.1，1 D.2，4答案：A解析：思路：利用线性变换下平均数满足、方差满足的性质分步计算，分别求出变换后数据的平均数与方差.解答过程：设原数据的平均数为，方差为，由题意得，.设新数据的平均数为，则设新数据的方差为，则新数据的平均数为，方差为.3.“点在函数图像上”是“点在函数图像上”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：先求出函数的定义域结合充分必要条件判断.解答过程：函数，因为，所以函数的定义域为，函数，要使根式有意义，则，所以函数的定义域为，若点在函数图像上，则可以取任意实数，当时点不在函数图像上，所以“点在函数图像上”不能推出“点在函数图像上”，充分性不成立；若点在函数图像上，则，此时，所以若“点在函数图像上”可以推出“点在函数图像上”，必要性成立；综上“点在函数图像上”是“点在函数图像上”的必要不充分条件.故选：B4.已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（）A.1 B.2 C.1或2 D.无解答案：A解析：思路：利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可.解答过程：根据A，B，C三点共线可知存在实数满足，可知且，解得，此时，满足题意.故选：A5.下列有关事件与概率的说法错误的是（）A.若，则B.若，则A与B不独立C.若A与B对立，则与互斥D.若，则A与B对立答案：D解析：思路：根据概率的性质判断A；由独立事件的定义判断B；由对立事件与互斥事件的定义判断C；通过举例判断D.解答过程：根据概率的性质可知，若，则，故A正确；根据独立事件的定义可知，若，则A与B不独立，故B正确；若A与B对立，则与对立，所以与互斥，故C正确；一枚骰子投掷一次，记事件A＝{出现点数为1，3，6}，事件B＝{出现点数为2，4，6}，则，满足，但A与B不是对立事件，故D错误.故选：D．6.已知函数的图象向左平移（）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换的性质求出结果.解答过程：由题可得，所以，因为函数的图象关于轴对称，所以，即，又，所以的最小值是．7.春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.点心盒是长宽高分别为20cm，20cm，10cm的长方体，如果不考虑花结用绳，如图所示的捆扎方式，需要最短的用绳长度是（单位：cm）（）

A.120 B.100 C. D.答案：C解析：思路：将长方体盒子展开在一个平面上，再计算彩绳扎紧的情况下的彩绳长度即可得.解答过程：依据图（1）的捆扎方式，可以想象将长方体盒子展开在一个平面上，则彩绳的平面展开图是一条由到的折线，如下图所示：在扎紧的情况下，彩绳的平面展开图是一条由到的线段，此时用绳最短，cm.故选：C.8.已知实数满足，则（）A. B.C.的最大值为2 D.答案：B解析：思路：A选项，由根式的非负性得到；BC选项，两边平方，令，，得，将其看成一个关于的二次方程，由根的判别式得到不等式，求出，分别求导求出的值域，得到，作差法得到，B正确，C错误；D选项，，D错误.解答过程：A选项，，故，A错误；BC选项，两边平方得，整理得，令，，方程转化为，将其看成一个关于的二次方程，则，解得，取，求导得，令得，解得，故当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，极大值为，当时，，当时，，故，再取，求导得，令得，解得，故当时，，故在上单调递增，所以，综上，，故，，B正确；的最大值为4，C错误；D选项，，故，D错误.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则B.的最大值为C.存在，使得D.存在，使得在上的投影向量为答案：ABD解析：思路：根据向量垂直的坐标表示结合同角三角函数的基本关系式可判断A的正误；利用数量积的坐标形式结合辅助角公式、正弦函数的性质可判断B的正误，根据向量平行的坐标形式结合辅助角公式计算后可判断C的正误，根据投影可求，故可判断D的正误.解答过程：对于A，因为，故即，故，故，故A正确；对于B，，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故B正确；对于C，若，则，故，矛盾.故C错误；对于D，，则在上的投影向量为，故，故，由A可得，故D正确.故选：ABD.10.关于复数，下列说法正确的是（）A.是实数 B.z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称C.若复数z满足，则 D.若，则答案：ABD解析：思路：先算z与其共轭复数的乘积，再从几何的角度考虑与关于实轴对称，最后分析表示圆.解答过程：对于A，复数的共轭复数为，,正确.对于B，复数对应点，其共轭复数对应点，两点关于实轴（轴）对称，正确.对于C，假设，则，但复数平方根有双解，另一个解为，题目中仅给出，未包含全部解，C错误.对于D，表示以z为圆心、半径为1的圆.圆心z到原点的距离为，因此圆上的点到原点的距离范围为：，，即，D正确.故选：ABD.11.已知边长为的个全等的菱形如图所示进行排列（其中，当时，与重合），其中，下面说法正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：对于A，由题意可得，，由向量数量积定义，求出结果即可判断；对于B，举反例，当时，等式不成立，即可判断；对于C，因为，可得,由向量的加法法则，求出的结果，即可判断；对于D，求得,以，由向量的数量积定义，求出的结果，即可判断.解答过程：对于A，因为，且是边长为的菱形，所以，，所以，故A正确；对于B，当时，，而，此时不满足，故B错误；对于C，因为（只有），所以，所以，,所以，故C正确；对于D，因为,由C可知，所以，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________．答案：解析：思路：先求出甲、乙打卡同一地点的概率，则根据事件的互补性即可求出甲、乙打卡不相同景点的概率．解答过程：设三个景点分别为、、，则甲前往、、的概率分别为，，，乙前往、、的概率分别为，，，甲、乙都打卡景点的概率为，甲、乙都打卡景点的概率为，甲、乙都打卡景点的概率：，所以甲、乙打卡相同景点的概率为，则甲、乙打卡不相同景点的概率为．故．13.已知函数，若函数恰有1个零点，则实数的取值范围为__________.答案：解析：思路：结合函数的周期性，画出函数图象，即可求解.解答过程：由题意当时，，当时，由可知当时函数周期为，当时，，此时，作出函数图象如下：函数恰有1个零点，即与有且仅有一个交点，由函数图象可知：，所以实数的取值范围为.故14.四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______.答案：解析：思路：建立空间直角坐标系，由求解.解答过程：由题意，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，所以点到直线的距离为，故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，，且．（1）求在上的投影向量的坐标；（2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先由向量垂直坐标点积为算出，得到，再求，套用投影向量公式代入求值；（2）先化简两个向量坐标，钝角满足数量积小于且不共线反向，先列式点积不等式求，再由平行条件算出并剔除，合并取值范围．（1）因为，所以，解得，所以，，，，所以在上的投影向量为所以在上的投影向量的坐标为．（2），，因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行，所以，解得，又与不平行，则，所以，所以实数的取值范围为．16.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果?（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.答案：（1）kg（2）（3）解析：思路：（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值.（2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可．（3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，由古典概型求解.（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得．则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为:.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为．所以，每天应该进苹果．（3）由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.17.在中，，，．（1）求角A的大小；（2）求；（3）若线段AB上点D满足，求CD的长．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用已知条件切化弦，结合正弦和角公式整理化简计算即可；（2）先利用余弦定理结合第一问计算，再利用余弦定理计算即可；（3）先由内角和及正弦和角公式计算，再利用正弦定理求边即可.（1）由，即，又，所以，在中，，所以，则；（2）由，，，结合余弦定理可得，所以，则；（3）易知，所以，由正弦定理得.18.如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角；（3）若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置.答案：（1）证明：延长，交于点，延长，交于点，连接，平面，平面，，，，即是线段上靠近的三等分点，平面，平面，，，，即是线段上靠近的三等分点，为中点，是线段上靠近的三等分点，，，，平面，平面，平面；（2）（3）外接球半径的最小值为；为线段上靠近的三等分点解析：思路：（1）延长，交于点，延长，交于点，连接，利用三角形相似，即可得到，再利用线面平行判定定理即可得证；（2）利用（1）中的辅助线即可得到平面与平面的夹角的平面角，可得解；（3）作出和的外心，分别求出外接圆的半径，即可将三棱锥的外接球半径用表示，进