2026-2027学年浙江省浙南名校高三上学期练习数学试卷

/浙江省浙南名校2026-2027学年高三上学期数学学科练习试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x2≤x<7，BA.x2≤x<7 B.xx<2或x>7

C.xx2.在(1+2x)6的展开式中，第5A.15 B.6 C.240 D.1923.若平面向量a，b满足a⋅b=2，b=1,2，则aA.15,25 B.25,4.已知复数z，则“|z|=1”是“z+1zA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件5.两个线性相关变量x与y的统计数据如下表：

x2457y3.5n67.5根据表中数据，得到y关于x的经验回归直线方程为y=1.2xA.x=4.5 B.n=4.8

C.变量x和y正相关 D.x6.将函数fx=3sin2x+A.2π3 B.π3 C.π7.已知圆C1:x2+y−a2=13与圆C2:xA.−3,3 B.−5,5

8.已知a，b∈R，函数fx=x3−a+1A.12 B.34 C.1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列an满足a1=12A.a2=52 B.an为递增数列

C.10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AC的中点，F为CC1的中点，M为A1BA.EF⊥平面A1BD

B.三棱锥N−ACM的体积不是定值

C.三棱锥B1−BEM的外接球的表面积是6π11.过抛物线C:x2=4y焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限且FA>FB，已知点P4,0，若直线PA，PB与A.当FA=3时，OA=23

B.当FA=2FB时，FB=3

C.当直线AB与直线MN平行时，直线AB的斜率为2

D.当直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆锥的侧面展开图是周长为π+2的半圆，则圆锥的表面积为

．13.已知an为等差数列，定义数列bn满足：bn=3an,n为奇数an+6,n为偶数，记S14.如下图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发在数轴上移动，每次向左或向右移动一个单位且相互独立，已知向右移的概率为35，向左移的概率为25，设该质点移动n次后在数轴上对应的数为随机变量ξn，则ξn的方差Dξn=

(用含n四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sin(1)求角B的大小；(2)若点D满足AD=2DC，且BD=2，求16.(本小题15分)已知函数fx(1)求fx(2)已知a>1，求证：当x>a时，17.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，AD=2，∠BAD=120∘(1)若平面PAB∩平面PCD=m(2)求直线PD和平面PBC所成角的正弦值；(3)在棱AB上(含端点)是否存在点N，使二面角N−PC−B的余弦值为418.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y2=1a>1的左右顶点分别为A1，A2(1)若▵A1PQ的面积是▵A2(2)设直线A1P与直线A2(ⅰ)求点E的轨迹方程；(ⅱ)当点E在第一象限时，若△A1EM的面积是▵A2EM的面积的λλ>1倍，求点E19.(本小题17分)设集合M={2026,2026+1,⋯,2026+n},n∈N∗，若存在非空集合A,B，满足A∪B=M(1)当n=3时，求集合M的一个划分A,B(2)当n=2026时，是否存在集合M的一个划分A,B，使得φ(3)若集合M存在一个划分A,B，使得φ(A)=1.【正确答案】D

2.【正确答案】C

3.【正确答案】B

4.【正确答案】A

5.【正确答案】B

6.【正确答案】D

7.【正确答案】A

8.【正确答案】B

9.【正确答案】ABD

10.【正确答案】AC

11.【正确答案】ACD

12.【正确答案】3π13.【正确答案】68n14.【正确答案】24n15.【正确答案】解：(1)因为ca−b整理得a2+c因为0<B<π(2)以点B为起点，记BA=u，BC=v，则且由B=60∘因为AD=2DC，所以由BD=2，得4=解得4=19c则36−2ac=4a当且仅当4a2=c2则S△故▵ABC面积的最大值为3

16.【正确答案】解：(1)函数fx=f因为ex>0且x−12>0(所以当x<2x≠1时，f′x所以fx的单调递减区间为−∞,1和1,2；fx的单调递增区间为(2)法一：要证当x>a时，fx因为x>a>1，所以令gx=ex−g因为x>a设ha=e当a>1时，h′a>0，ha单调递增，所以综上，当x>a时，即gx在区间a因此，对于任意x∈a令m则m′aφ′a=eam′a=ea所以ma法二：要证当x>a时，fx>a当1<a≤2时，当a>2时，fxmin=f

17.【正确答案】解：(1)因为四边形ABCD为菱形，所以CD//因为AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD//又CD⊂平面PCD，且平面PAB∩平面PCD=(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，▵PAD为等边三角形，所以点P在平面ABCD上的投影为AD的中点，且P到平面ABCD的距离为以A为原点，AD所在直线为x轴，在平面ABCD内过A且垂直于AD的直线为y轴，过A且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，D2,0,0，B−1,3于是PD=1,0,−3，设平面PBC的法向量为n1=a,b,c，由n取b=1，得平面PBC的一个法向量n设直线PD和平面PBC所成的角为θ，则sinθ(3)由(2)知平面PBC的一个法向量为n1设AN=tAB(0≤t于是CN=−1−t设平面PCN的法向量为n2=x,y,z，由n于是cos〈由图可知二面角N−PC−B为锐角，所以因为0≤t≤1，所以t=所以ANNB=t

18.【正确答案】解：(1)由题意知A1−a,0，由▵A1PQ的面积是▵A2即x1+a再代入椭圆方程解得y1所以PQ=2(2)(i)直线A1直线A2Q的方程为设交点E(x,y)，由①得y两式相除消去y1得交叉相乘得：(x展开：xx化简得：2x由①式得y1=y(因为点P(x1代入x1,整理得：x2−a因为P,Q是不同的动点，所以y1所以，点E的轨迹的方程为x(ⅱ)当△A1EM的面积是▵A2即x1+a又点E坐标满足xE=a代入E的轨迹方程x2a2解得yE=2λλ−1

19.【正确答案】解：(1)当n=3时，M={2026,2027,2028,2029}，M的元素总和S=(3+1)×(2026+2029)2=8110，

因此要φ(A)=φ(B)，则φ(A)=φ(B)=4055，所以取A={2026,2029}，B={2027,2028}，满足要求(划分不唯一)．

(2)当n=2026时，M的元素总和S=(2026+1)×(2×2026+2026)2=2027×3×1013．

因为2027、3、1013均为奇数，所以2027×3×1013为奇数，即S是奇数，因此S无法拆分为两个相等的整数和，所以不存在满足条件的划分．

(3)因为要存在满足条件的划分，则需M的总元素和为偶数，即S=(n+1)(n+4052)2为偶数，所以(n+1)(n+4052)能被4整除．

因为4052=4×1013，所以(n+1)(n+4052)=n(n+1)+4052(n+1)能被4整除等价于：n(n+1)能被4整除．

因为n和n+1为相邻正整数，且互素，所以要n(n+1)能被4整除，则n+1能被4整除或n能被4整除：

①当n+1能被