2026-2027学年重庆市复旦中学教共体高一上学期第一次段考（A卷）数学试卷

/2026-2027学年重庆复旦中学教共体高一上学期第一次段考数学试卷（A卷）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知命题p：∃x＞1，x2-1＞0，那么¬p是（）A.∀x＞1，x2-1＞0 B.∀x＞1，x2-1≤0

C.∃x＞1，x2-1≤0 D.∃x≤1，x2-1≤02.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（P）∪Q（）

​​​​A.{1} B.{3，5}

C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}3.已知集合A={1，|a-1|，a+2}，且2∈A，则实数a的值为（）A.-1 B.0 C.3 D.-1或34.已知全集U=R，集合A={x|0≤x≤5}，B={x|（x-2）（x-7）＜0}，，则阴影部分对应的集合是（）

A.{x|2＜x≤5） B.{x|2＜x＜6} C.{x|5≤x＜7} D.{x|5＜x＜6}5.已知不等式m-1＜x＜m+1成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（）A.或 B.或

C. D.6.已知a、b、c∈R且a＞b,则下列不等式一定成立的是（）A. B. C.a|c|＞b|c| D.a2＞b27.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ（λ≠1），一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（）A.大于10克

B.小于10克

C.等于10克

D.当λ＞1时，大于10克；当λ∈（0，1）时，小于10克8.已知关于x的不等式（4x-3）2≤4ax2的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围是（）A.[，3] B.（2，3] C.（2，] D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列选项正确的是（）A.0∉∅ B.∅⊆{1，2}

C. D.若A⊆B，则A∩B=A10.下列不等式的推导过程正确的是（）A.若x＞0，则

B.若x＜0，则

C.

D.11.设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（）A.若A∩B=∅，则（∁UA）∪（∁UB）=U

B.若A∪B=U，则（∁UA）∩（∁UB）=∅

C.若A∩B=∅，则A=B=∅

D.若A∪B=∅，则A=B=∅三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数的定义域为

.13.在重庆复旦中学校庆嘉年华活动中，高一某班有46人，其中有31人参加了星光闪耀才艺荟，有22人参加了饕餮盛宴美食荟，两项活动均参加的有8人，则这两项活动均没有参加的有

人.14.已知集合M={1，2，3，4，5，6，7}，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以（-1）k再求和（如A={2，3，5}，可求得和为：2•（-1）2+3•（-1）3+5•（-1）5=-6），则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知全集U=R，A={x|-1≤x≤4}，B={x|-2≤x≤2}，P={x|x≤0或x≥}．

（1）求A∪B，A∩B；

（2）求（∁UB）∩P，（∁UB）∪P．16.(本小题15分)

已知集合A={x|x2+mx-3=0}，B={x|x2-3x+n=0}.

（1）若A∪B={-1，0，3}，求m,n的值；

（2）若，求n的取值范围.17.(本小题15分)

如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为36米，宽为24米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米均不小于3米，要求“转角处（图中矩形AEFG）”的面积为12平方米.

（1）试用a表示草坪的面积S（a），并指出a的取值范围；

（2）如何设计人行道的宽度a,b才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+2，（a∈R）.

（1）f（x）≤3-2x恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当a＞0时，求不等式f（x）≥0的解集；

（3）若存在m＞0使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围.19.(本小题17分)

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），若∃x0∈R，使得成立，则称x0为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的不动点.

（1）求二次函数y=x2+2x-2的不动点；

（2）若二次不等式2x2-（2+a）x+a-1＞x的解集为{x|x＜b或x＞2}，求a+b值.

（3）若二次函数y=2x2-（2+a）x+a-1有两个不相等的不动点x1，x2，且x1，x2＞0，求的最小值.

1.【正确答案】B

2.【正确答案】C

3.【正确答案】C

4.【正确答案】D

5.【正确答案】D

6.【正确答案】B

7.【正确答案】A

8.【正确答案】D

9.【正确答案】ABD

10.【正确答案】AB

11.【正确答案】ABD

12.【正确答案】（-∞，2）∪（2，4]

13.【正确答案】1

14.【正确答案】-256

15.【正确答案】解：（1）∵A={x|-1≤x≤4}，B={x|-2≤x≤2}，

∴A∪B={x|-2≤x≤4}，A∩B={x|-1≤x≤2}；

（2）∁UB={x|x＜-2或x＞2}，

∴，（∁UB）∪P={x|x≤0或x＞2}．

16.【正确答案】m=-2，n=0

17.【正确答案】解：（1）由条件知ab=12，∴，

因为b≥3，a≥3，所以，所以3≤a≤4，

所以，

所以；

（2）由（1），

当且仅当时取等号，

即a=3，b=4时，S（a）的最大值为600，

所以当人行道的宽度a=3，b=4才能使草坪的面积最大，且草坪的最大面积为600．

18.【正确答案】解：（1）由f（x）≤3-2x对任意x∈R恒成立，得ax2-ax-1≤0对任意x∈R恒成立．

当a=0时，上式化为-1≤0，恒成立．

当a≠0时，要使二次函数y=ax2-ax-1恒不大于0，需a＜0，Δ=（-a）2-4a（-1）=a2+4a≤0．

解得-4≤a＜0．

综上，实数a∈[-4，0]．

（2）根据函数f（x）=ax2-（a+2）x+2=（x-1）（ax-2），且a＞0，所以．

当a＞2时，，解集为，

当0＜a＜2时，，解集为，

当a=2时，f（x）=2（x-1）2≥0，解集为R．

（3）令．

因为m＞0，因此由基本不等式得t≥3．

原方程化为a|x|2-（a+2）|x|+2-t=0．

令s=|x|≥0，那么原方程有四个不同的实根，当且仅当关于s的方程as2-（a+2）s+2-t=0有两个不同的正根s1，s2．

那么．

由于t≥3，有2-t＜0，所以由s1s2＞0得a＜0；

再由s1+s2＞0得a+2＜0，即a＜-2．

同时还需判别式Δ=（a+2）2-4a（2-t）=a2-4a+4+4at＞0．

当a＜0时，Δ随t的增大而减小．

因此存在t≥3使Δ＞0，当且仅当在t=3时已有a2+8a+4＞0．

解得．

结合a＜-2，得．

反之，当时，取m=1，则t=3，上述方程有两个不同正根，原方程即有四个不同实根．

所以实数a∈．

19.【正确答案】解：（1）根据x2+2x-2=x,得到x2+x-2=（x+2）（x-1）=0，解得x=-2或x=1，

因此不动点为-2和1．

（2）根据2x2-（2+a）x+a-1＞x,即2x2-（3+a）x+a-1＞0的解集为{x|x＞2或x＜b}，

那么2x2-（3+a）x+a-1=0的两根